Baker-Campbell-Hausdorff formel

Baker-Campbell-Hausdorff formlen definerer et udtryk for fra følgende lighed $Z$

{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z))

her , og er elementer i Lie-algebraen tæt på nul. Udtrykket for er ret komplekst ved siden af termerne sammensat af Lie-parenteser fra , . $x$ $Y$ $Z$ $Z$ $x$ $Y$

Eksistensen af denne formel spiller en nøglerolle i at bevise, at en Lie-algebra fuldstændig bestemmer den lokale struktur af dens Lie-gruppe. Et særligt tilfælde af denne formel har anvendelser inden for kvantemekanik og især inden for kvanteoptik .

Formel

Der er flere muligheder for optagelse . Hvis de præsenteres som en serieudvidelse, vil de første par udtryk se sådan ud: $Z$ $Z$

{\begin{aligned}Z(X,Y)&=\log(\exp X\exp Y)=\\&{}=X+Y+{\frac {1}{2}}[X, Y]+{\frac {1}{12}}\venstre([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]]\højre)-\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]-\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}\venstre([Y,[Y,[Y ,[Y,X]]]]+[X,[X,[X,[X,Y]]]]\right)+\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}\ venstre([X,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[Y,[X,[X,[X,Y]]]]\højre)+\\&{}\quad +{ \frac {1}{120}}\venstre([Y,[X,[Y,[X,Y]]]]+[X,[Y,[X,[Y,X]]]]\højre) +\\&{}\quad +\cdots \end{aligned}}

hvor " " indeholder termer af højere orden. $\cdots$

Det mest generelle udtryk for er givet af Dynkin-formlen [1] : $Z$

Z

\log(\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{ \begin{smallmatrix}r_{1}+s_{1}>0\\\vdots \\r_{n}+s_{n}>0\end{smallmatrix}}{\frac {[X^{r_{1 }}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{(\sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j}))\cdot \prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},

her foretages summeringen over alle ikke-negative værdier af og , og følgende notation anvendes: $s_{i}$ $r_{i}$

[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]=[\underbrace {X,[X,\ dotsm [X} _{r_{1}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm [Y} _{s_{1}},\,\dotsm \,[\underbrace {X,[X,\ dotsm [X} _{r_{n}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm Y} _{s_{n}}]]\dotsm ]].

Noter

↑ N. Jacobson. Enveloping Algebras of Semi-Simple Lie Algebras // Nathan Jacobson indsamlede matematiske papirer. — Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1989. — s. 77–86 . — ISBN 9781461282150 , 9781461236948 .