Pakke cirkler

Artiklen beskriver pakningen af ​​cirkler på overflader. For en relateret artikel om cirkelpakning med en given skæringsgraf , se artiklen " Circle Packing Theorem ".

I geometri er cirkelpakning studiet af at placere cirkler (af samme størrelse eller forskellige størrelser) på en given overflade på en sådan måde, at de ikke skærer hinanden, og cirklerne rører hinanden. Den tilsvarende pakningstæthed η af arrangementet er brøkdelen af ​​arealet optaget af cirklerne. Det er muligt at generalisere cirkelpakninger til højere dimensioner - dette kaldes kuglepakning , som normalt fungerer med de samme kugler.

Mens cirkler har en relativt lav maksimal pakningstæthed på 0,9069 i det euklidiske plan , er denne tæthed ikke minimal. Den "værste" planpakningstal er ikke kendt, selvom en udjævnet ottekant har en pakningstæthed på omkring 0,902414, hvilket er den mindste maksimale pakningstæthed kendt for centralt symmetriske konvekse figurer [1] . Pakningstætheden af ​​konkave former, såsom stjernepolygoner , kan være vilkårligt lav.

Den gren af ​​matematik, der er kendt som "pakning af cirkler" beskæftiger sig med geometrien og kombinatorikken af ​​pakninger af cirkler af vilkårlig størrelse, og herfra opstår diskrete analoger af konforme afbildninger , Riemann-overflader og lignende.

Flad pakning

For et todimensionelt euklidisk rum beviste Joseph Louis Lagrange i 1773, at den højeste tæthed gitterpakning af cirkler er en sekskantet pakning [2] , hvor cirklernes centre er placeret på et sekskantet gitter (zigzag rækker som honningkager ), og hver cirkel er omgivet af seks andre cirkler. Tætheden af ​​en sådan pakning er lig med

Axel Thue gav det første bevis på, at denne pakning er optimal i 1890, hvilket viser, at det sekskantede gitter er det tætteste af alle mulige cirkelpakninger, både regelmæssige og uregelmæssige. Dette bevis blev dog betragtet som ufuldstændigt. Det første fuldstændige bevis tilskrives Laszlo Fejes Toth (1940) [2] .

På den anden side er der fundet stive cirkler med lav tæthed.

Homogene pakninger

Der er 11 cirkelpakninger baseret på 11 ensartede plane tesselleringer [3] . I disse pakker kan enhver cirkel kortlægges til enhver anden cirkel ved refleksion eller rotation. Sekskantede mellemrum kan udfyldes med én cirkel, og tolvkantede mellemrum kan udfyldes med 7 cirkler, der danner 3 ensartede pakninger. En afkortet trihexagonal flisebelægning med begge typer mellemrum kan udfyldes som en 4-homogen pakning. Den trihexagonale flisebelægning har to spejlformer.

1-homogene pakninger baseret på ensartede fliser

trekantet
Firkant
Sekskantet
Aflang trekantet

Tresekskantet
Snub firkant
Afskåret firkant
Afkortet sekskantet

Rhombotrihexagonal
Snub sekskantet
Snub sekskantet (spejl)
Afkortet trihexagonal

Pakning på en kugle

Et relateret problem er at bestemme minimumsenergiplaceringen af ​​lige store punkter, der skal ligge på en given overflade. Thomson-problemet betragter fordelingen af ​​elektriske ladninger med den laveste energi på overfladen af ​​en kugle. Tammes-problemet er en generalisering af dette problem og maksimerer minimumsafstanden mellem cirkler på en kugle.

Pakning i begrænsede områder

At pakke cirkler i enkle afgrænsede former er en almindelig form for rekreativt matematikproblem . Effekten af ​​beholdervægge er vigtig, og sekskantet pakning er generelt ikke optimal for et lille antal cirkler.

Ulige cirkler

Der er også en række problemer, der tillader, at størrelserne af cirklerne ikke er ensartede. En sådan udvidelse er problemet med at finde den maksimalt mulige tæthed af et system med to cirkelstørrelser ( binært system). Kun ni bestemte forhold af radier tillader en kompakt pakning , hvor hvis to cirkler rører hinanden, rører de yderligere to cirkler sammen (hvis du forbinder centrene af de rørende cirkler med linjestykker, triangulerer de overfladen) [4] . For syv sådanne forhold af radier kendes kompakte pakninger, på hvilke det maksimalt mulige pakningsforhold (højere end for cirkler med samme diameter) opnås for en blanding af cirkler med et givet radiusforhold. Den højeste pakningstæthed er 0,911627478 for et radiusforhold på 0,545151042• [5] [6] .

Det er også kendt, at hvis forholdet mellem radier er højere end 0,742, kan den binære blanding ikke pakkes bedre end cirkler af samme størrelse [5] . De øvre grænser, der kan opnås ved en sådan binær pakning for mindre forhold mellem radier, opnås også [7] .

Anvendelser af indpakningscirkler

Kvadraturamplitudemodulation er baseret på pakningen af ​​cirkler i cirkler af faseamplituderum. Modemmet transmitterer data som en række punkter på et 2-dimensionelt faseamplitudeplan. Afstanden mellem punkterne bestemmer transmissionsstøjens modtagelighed, mens diameteren af ​​den ydre cirkel bestemmer den nødvendige sendereffekt. Ydeevnen maksimeres, når signalkonstellationen af ​​kodepunkter er i centrum af de tætpakkede cirkler. I praksis bruges rektangulær pakning ofte til at forenkle afkodningen.

Pakkecirkler er blevet et væsentligt værktøj i origamikunsten , da hvert stykke i en origamifigur kræver en cirkel på et stykke papir [8] . Robert Lang brugte matematikken i cirkelpakning til at udvikle computerprogrammer designet til at designe komplekse origamiformer.

Se også

Noter

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Smoothed Octagon  på Wolfram MathWorld- webstedet .
  2. ↑ 1 2 Chang, Hai-Chau & Wang, Lih-Chung (2010), A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing, arΧiv : 1009.4322 [math.MG]. 
  3. ↑ Williams, 1979 , s. 35-39.
  4. ↑ 1 2 Kennedy, 2006 , s. 255-267.
  5. ↑ 1 2 3 Heppes, 2003 , s. 241-262.
  6. ↑ Kennedy .
  7. ↑ de Laat, de Oliveira Filho, Vallentin .
  8. ↑ Forelæsninger om moderne origami " Robert Lang på TED Arkiveret 15. oktober 2011 på Wayback Machine ."

Litteratur