Pakningstæthed

Pakningstætheden i nogle rum er den brøkdel af rummet fyldt med pakkede legemer (figurer). Ved pakningsproblemer er målet normalt at opnå en pakning med den højest mulige tæthed.

I kompakte rum

Hvis K 1 ,..., K n er målbare delmængder af X kompakt i målerum, og deres sæt af indre punkter er parvis adskilte, så er samlingen { K i } en pakning i X , og tætheden af denne pakning er lig med

\eta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\mu (K_{i})}{\mu (X)))

I det euklidiske rum

Hvis det rum, der skal pakkes, er uendeligt, såsom det euklidiske rum , defineres tætheden traditionelt som grænsen for tæthederne opnået ved at pakke i større og større kugler. Hvis B t er en kugle med radius t centreret ved origo, så er pakningsdensiteten { K i : i ∈ℕ} lig med

\eta =\lim _{t\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{\infty }\mu (K_{i}\cap B_{t})}{\ mu (B_{t})}}

Da en sådan grænse ikke altid eksisterer, er det nyttigt at definere øvre og nedre tætheder som øvre og nedre grænser. Hvis tætheden eksisterer, er den øvre og nedre tæthed den samme. Hvis det sikres, at enhver kugle i det euklidiske rum kun skærer et begrænset antal pakningselementer, og hvis elementdiametrene er afgrænset ovenfra, afhænger den øvre og nedre tæthed ikke af valget af oprindelse og μ ( K i ∩ B t ) kan erstattes af μ ( K i ) for ethvert element, der skærer med B t [1] . Kuglerne kan erstattes af homoteter af en anden konveks krop, men generelt kan de resulterende tætheder variere.

Optimal pakningstæthed

Ofte betragtes emballage med en begrænsning af brugen af elementer af et bestemt sæt elementer. For eksempel kan et sæt elementer bestå af kugler med en bestemt radius. Den optimale pakningstæthed eller pakningskonstant forbundet med en samling er en nøjagtig øvre grænse for de øvre densiteter opnået af en pakning, der indeholder en undersamling af det sæt af elementer, hvorfra pakningen er skabt. Hvis en given samling af elementer, der skal pakkes, består af konvekse legemer med begrænset diameter, er der en pakning, hvis densitet er lig med pakningskonstanten, og denne pakningskonstant ændres ikke, hvis kuglerne i densitetsdefinitionen erstattes af homoteter af nogle anden konveks krop [1] .

Alle euklidiske bevægelser et fast konveks legeme K er af interesse . I dette tilfælde kaldes pakningskonstanten pakningskonstanten for kroppen K. Keplers formodning vedrører pakningskonstanten for tredimensionelle kugler. Ulam-pakningsformodningen siger, at 3D-sfærer har den mindste pakningskonstant sammenlignet med andre konvekse kroppe. Alle parallelle translationer af en fast krop er også af interesse, og for dem introduceres pakningskonstanten for den parallelle translation af kroppen.

Se også

Atomisk pakningsfaktor
Ballonpakning

Noter

↑ 1 2 Groemer, 1986 , s. 183.

Litteratur

H. Groemer. Nogle grundlæggende egenskaber ved paknings- og dækningskonstanter // Diskret og beregningsgeometri. - 1986. - T. 1 . - S. 183 . - doi : 10.1007/BF02187693 .