Topologisk K-teori

I matematik er topologisk K-teori en delmængde af algebraisk topologi . Tidligt i sin eksistens blev det anvendt til studiet af vektorbundter på topologiske rum med ideer, der nu er anerkendt som en del af den (generelle) K-teori introduceret af Alexander Grothendieck . Tidlig arbejde med topologisk K-teori er af Michael Atiyah og Friedrich Hirzebruch .

Definitioner

Lad X være et kompakt Hausdorff-rum og eller . Så er defineret som Grothendieck-gruppen af en kommutativ monoid af finit -dimensionelle -vektorbundter over X med en Whitney-sum . Tensorproduktet af bundter definerer strukturen af en kommutativ ring på K-teori . Uden indeks betegner normalt kompleks K - teori, mens reel K - teori undertiden betegnes som . Dernæst overvejer vi kompleks K -teori. $k=\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $K_{k}(X)$ $k$ $K(X)$ $KO(X)$

Som et indledende eksempel skal du bemærke, at K -teorien for et punkt er heltal. Dette skyldes, at alle vektorbundter over et punkt er trivielle og derfor klassificeres efter deres rang, mens Grothendieck-gruppen af naturlige tal er et heltal.

Der findes en reduceret version af K- teorien, , som er defineret for X , kompakte rum med et fornemt punkt (jf . den reducerede homologi ). Den givne teori kan intuitivt ses som K ( X ) modulo trivielle bundter . Det er defineret som gruppen af stabile ækvivalensklasser af bundter. To bundter E og F siges at være stabilt isomorfe , hvis der eksisterer trivielle bundter og , sådan at . Denne ækvivalensrelation definerer en gruppestruktur på sættet af vektorbundter, da hvert vektorbundt kan kompletteres til et trivielt bundt ved at summere med dets ortogonalt komplement. På den anden side kan defineres som kernen af kortlægningen induceret ved at indlejre basispunktet x 0 i X. ${\widetilde {K}}(X)$ $\varepsilon_{1}$ $\varepsilon _{2}$ ${\displaystyle E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2))$ ${\widetilde {K}}(X)$ $K(X)\to K(x_{0})\cong \mathbb {Z}$

K -teori er en multiplikativ (generaliseret) kohomologisk teori. Kort nøjagtig rækkefølge af mellemrum med tydeligt punkt ( X , A )

{\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K}}(X)\to {\widetilde {K}}(A)

Fortsætter til en lang nøjagtig rækkefølge

\cdots \to {\widetilde {K}}(SX)\to {\widetilde {K}}(SA)\to {\widetilde {K}}(X/A)\to {\widetilde {K }} }}(X)\til {\widetilde {K}}(A).

Lad S n være den n'te reducerede ophængning af rummet. Så definerer vi:

{\widetilde {K}}^{-n}(X):={\widetilde {K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.

Negative indekser er valgt på en sådan måde, at coboundary mapping øger dimensionen.

Det giver ofte mening at overveje den ikke-reducerede version af disse grupper, defineret som:

K^{-n}(X)={\widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).

Hvor det er med et separat fremhævet punkt markeret med et "+"-tegn. [en] ${\displaystyle X_{+))$ $x$

Endelig giver Botts periodicitetssætning, formuleret nedenfor, os teorier med positive indekser.

Egenskaber

hhv. K n oger kontravariante funktorer fra homotopikategorien af rum (med et fornemt punkt) til kategorien af kommutative ringe. Derfor er for eksempel en K - teori oversammentrækbare rum ${\widetilde {K}}^{n}$ $\mathbb {Z} .$

Spektret af K -teori er (med diskret topologi på ), dvs. hvor [, ] angiver kortlægningsklasser af mærkede rum op til homotopi, og BU er en kogrænse for klassificering af rum af enhedsgrupper : Tilsvarende, $BU\times \mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $K(X)\cong \left[X^{+},\mathbb {Z} \times BU\right],$ $BU(n)\cong \operatørnavn {Gr} \left(n,\mathbb {C} ^{\infty }\right).$

{\widetilde {K}}(X)\cong [X,\mathbb {Z} \times BU].

Til den rigtige K- teori bruges rummet BO .

Analogen af Steenrod operationer i K -teori er Adams operationer . De kan bruges til at definere karakteristiske klasser i topologisk K - teori.

Spaltningsprincippet i topologisk K -teori tillader os at reducere udsagn om vilkårlige vektorbundter til udsagn om summer af endimensionelle bundter.

Thom-isomorfismen i topologisk K- teori er:

K(X)\cong {\widetilde {K}}(T(E)),

hvor T ( E ) er Thom - rummet af vektorbundtet E over X. Dette gælder, når E er et spin-bundt.

Atiyah-Hirzebruch spektralsekvensen tillader beregning af K - grupper fra de sædvanlige kohomologigrupper.

Topologisk K -teori kan generaliseres til en funktor på C*-algebraer .

Botts periodicitet

Periodicitet , opkaldt efter Raoul Botta , kan formuleres som følger:

$K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),$ og , hvor H er klassen af det tautologiske bundt på det vil sige på Riemann-sfæren . ${\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2))$ $\mathbb {S} ^{2}=\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ),$

${\widetilde {K}}^{n+2}(X)={\widetilde {K}}^{n}(X).$

$\Omega ^{2}BU\cong BU\times \mathbb {Z} .$

I den rigtige K- teori er der en lignende periodicitet, kun modulo 8.

Ansøgninger

De to mest berømte anvendelser af topologisk K -teori skyldes Frank Adams . Han løste først problemet med identiteten Hopf invariant ved at foretage beregninger ved hjælp af Adams operationer . Han viste derefter en øvre grænse for antallet af lineært uafhængige vektorfelter på kugler.

Zhens karakter

Michael Atiyah og Friedrich Hirzebruch beviste et teorem, der relaterer den topologiske K-teori for et CW-kompleks til dets rationelle kohomologi. De viste især, at der er en homomorfi $x$

ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )

sådan at

{\begin{aligned}K_{\text{top}}^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathbb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathbb { Q} )\end{aligned}}

Der er en algebraisk analog, der forbinder Grothendieck-gruppen af sammenhængende skiver og Chow-ringen af en glat projektiv sort . $x$

Se også

Atiyah-Singer indekssætning

Litteratur

Atiyah, Michael Francis. K-teori. — 2. - Addison-Wesley , 1989. - (Advanced Book Classics). - ISBN 978-0-201-09394-0 .
Håndbog i K-teori. - Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-30436-4 .
Karoubi, Max. K-teori: en introduktion. - Springer-Verlag , 1978. - ISBN 0-387-08090-2 .
Hatcher. Vektorbundter og K-teori . (ubestemt)
Stykow. Forbindelser af K-teori til geometri og topologi . (ubestemt)
Karoubi, Max (2006), K-teori. En elementær introduktion, arΧiv : math/0602082 .