Theta funktion

Theta - funktioner er specielle funktioner af flere komplekse variable . De spiller en vigtig rolle på mange områder, herunder teorien om abelske varianter , modulrum og kvadratiske former . De anvendes også i teorien om solitoner . Efter generalisering til Grassmann-algebraen optræder funktioner også i kvantefeltteorien [1] .

Den mest almindelige slags theta-funktioner er dem, der findes i teorien om elliptiske funktioner . Med hensyn til en af de komplekse variable (normalt betegnet z ), har theta-funktionen den egenskab, at den tilføjer perioderne for de tilknyttede elliptiske funktioner, hvilket gør dem kvasi-periodiske . I abstrakt teori opnås dette fra linjebundt- betingelsen drop .

Jacobi theta funktion

Der er flere relaterede funktioner, kaldet Jacobi theta-funktionerne, og mange forskellige og inkompatible notationssystemer. En Jacobi theta-funktion (opkaldt efter Carl Gustav Jacobi ), er en funktion defineret ud fra to komplekse variable z og , hvor z kan være et hvilket som helst komplekst tal , og er begrænset til den øverste halvdel af planen , hvilket betyder at tallet har en positiv imaginære del. Funktionen er givet af formlen $\tau$ $\tau$

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2 \pi inz\right)=\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau}\right)^{n^{2}} \cos(2\pi nz)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n},\end{aligned}}

hvor og . Funktionen er en Jacobi-form . Hvis vi fikser , bliver funktionen en Fourier-række for en periodisk hel funktion af z med periode 1. I dette tilfælde opfylder theta-funktionen identiteten $q=\exp(\pi {i}\tau )$ $\eta =\exp(2\pi {i}z)$ $\tau$

\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).

Funktionen opfører sig meget regelmæssigt under hensyntagen til kvasiperioden og opfylder den funktionelle ligning $\tau$

\vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\,\vartheta (z;\tau ),

hvor a og b er heltal.

Hjælpefunktioner

Jacobi theta-funktionen defineret ovenfor betragtes nogle gange sammen med tre yderligere theta-funktioner, i hvilket tilfælde den skrives med et ekstra indeks 0:

\vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )

Yderligere (semiperiodiske) funktioner er defineret af formlerne

{\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \!\left(z+{\tfrac {1}{2));\tau \right)\\[ 3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{ \tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4} }\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{ \tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{justeret}}

Disse notationer blev fulgt af Riemann og Mumford . Jacobis oprindelige formulering var i form af nome , ikke . I Jacobi-notation skrives θ -funktioner som: ${\displaystyle q=e^{i{\pi}\tau ))$ $\tau$

{\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&= \vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z; q)&=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}

Ovenstående definitioner af Jacobi theta-funktionen er langt fra de eneste. Se artiklen Jacobi Theta-funktioner (variationer af notation) for yderligere diskussion.

Hvis vi indsætter theta-funktionerne ovenfor, får vi fire funktioner, der kun afhænger af og defineret på det øverste halvplan (som nogle gange kaldes theta-konstanter.) Disse kan bruges til at definere forskellige modulære former og til at parametrisere nogle kurver. Især Jacobi-identiteten $z=0$ $\tau$

\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^ {fire}

er en fjerdegrads Fermat-kurve .

Jacobi-identiteter

Jacobi-identiteterne beskriver, hvordan theta-funktionerne transformeres af den modulære gruppe , som genereres af kortlægningerne og . Identiteterne for den første transformation er lette at finde, da tilføjelse af en til eksponenten k har samme effekt som at tilføje en til z ( mod 2). I det andet tilfælde sætter vi $\tau \mapsto \tau +1$ $\tau \mapsto -{\tfrac {1}{\tau }}$ $\tau$ ${\tfrac {1}{2))$ $n\equiv n^{2}$

\alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi}{\tau }}iz^{2}\right).

Derefter

{\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\ alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\ tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau } };{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({ \frac {z}{\tau ));{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{ justeret}}

Theta fungerer i form af en nome

I stedet for at udtrykke theta-funktioner i form af z og , kan vi udtrykke dem i form af argumentet w og nomen q , hvor , og . I dette tilfælde bliver funktionerne $\tau$ ${\displaystyle w=e^{\pi {i}z))$ $q=e^{\pi {i}\tau }$

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^ {n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{ 2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }( w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1 }{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}

Vi ser, at theta-funktionerne kan defineres i termer af w og q uden direkte reference til eksponentialfunktionen. Formler kan derfor bruges til at definere theta-funktioner over andre felter, hvor eksponentialfunktionen måske ikke er defineret overalt, såsom feltet med p -adiske tal .

Repræsentationer af værker

Jacobi-tredobbeltproduktet (et specialtilfælde af Macdonald-identiteterne ) fortæller os, at for komplekse tal w og q med og har vi $|q|<1$ $w\neq 0$

\prod _{m=1}^{\infty}\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\ venstre(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty}w^{2n}q^{n^{2}} .

Dette kan bevises med elementære midler, som for eksempel i Hardy og Wrights An Introduction to the Theory of Numbers .

Hvis vi udtrykker theta-funktionen i form af volumener og , så $q=e^{\pi {i}\tau }$ ${\displaystyle w=e^{\pi {i}z))$

\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)= \sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.

Vi får derfor en produktformel for formens theta-funktion

\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (} (2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.

Med hensyn til w og q :

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+ q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left( q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty}\,\left( -{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right) _{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned))

hvor er q -Pochhammer symbolet , og er q -theta funktionen . Hvis beslagene åbnes, vil Jacobi triple-produktet tage formen ${\displaystyle (~~;~~)_{\infty ))$ $\theta (~~;~~)$

\prod _{m=1}^{\infty}\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2 }\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},

som også kan omskrives som

\vartheta (z\midt q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\højre).

Denne formel er sand for det generelle tilfælde, men er af særlig interesse for reelle z . Lignende produktformler for yderligere theta-funktioner

{\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\ venstre(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\midt q)& =2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty}\left(1-q^{2m}\right)\left(1 +2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\midt q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2) \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}

Heltalsrepræsentationer

Jacobi theta-funktionerne har følgende integrerede repræsentationer:

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u ^{2)){\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)))}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z; \tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin (\pi u))))\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i \pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1} {4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}

Eksplicitte værdier

Se Yi (2004) [2] .

{\begin{aligned}\varphi (e^{-\pi x})&=\vartheta (0;ix)=\theta _{3}(0;e^{-\pi x})= \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-x\pi n^{2}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-\pi}\right)&= {\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{ -2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{6\pi +4{\sqrt {2}}\pi }}{2\Gamma \left({\frac {3 }{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{27\pi +18 {\sqrt {3}}\pi }}{3\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{4}]{8\pi }}+2{\sqrt[{4}]{\pi }}}{4\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[6pt]\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{225\pi +100{\sqrt {5}}\pi }}{5\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)))\\[6pt]\varphi \left(e^{-6 \pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{4}]{3}}+2{\sqrt {3 }}-{\sqrt[{4}]{27}}+{\sqrt[{4}]{1728}}-4}}\cdot {\sqrt[{8}]{243{\pi }^{ 2)))){6{\sqrt[{6}]{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}\;{\Gamma \venstre ({\frac {3}{4}}\right  )}}}\end{aligned}}

Nogle identiteter med serier

Følgende to identiteter for serier blev bevist af Istvan Mezo [3] :

{\begin{aligned}\vartheta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\vartheta _{1}\venstre({\frac {2k-1}{2i))\ln q,q\right),\\[6pt]\vartheta _ {4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty}q^{2k^{2}}\vartheta _{4}\left({\frac {k \ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}

Disse relationer gælder for alle 0 < q < 1 . Fastsættelse af q -værdierne får vi følgende parameterfrie summer

{\begin{aligned}{\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi )))){2))}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2 }\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=i\sum _{k=-\infty }^{\infty}e^{\pi \left(k-2k^{ 2}\right)}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),\\[6pt]{ \sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)))&=\ sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k ^{2}}}}\end{aligned}}}

Nuller af Jacobi theta-funktioner

Alle nuller i Jacobi theta-funktionerne er simple nuller og defineres som følger:

{\begin{aligned}\vartheta (z,\tau )=\vartheta _{3}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{ \frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{1}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z& =m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{2}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2 }}\\[3pt]\vartheta _{4}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\ ende{aligned}}

hvor m , n er vilkårlige heltal.

Relation til Riemann zeta-funktionen

Forhold

\vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )

brugt Riemann til at bevise den funktionelle ligning for Riemann zeta-funktionen via Mellin-transformationen

\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{ 2))\int _{0}^{\infty }{\big (}\vartheta (0;it)-1{\big )}t^{\frac {s}{2)){\frac {\ matematik {d} t}{t}}

og det kan vises, at transformationen er invariant under ændringen af s til 1 − s . Det tilsvarende integral for z ≠ 0 er givet i artiklen om Hurwitz zeta-funktionen .

Forbindelse med Weierstrass elliptiske funktion

Theta-funktioner blev brugt af Jacobi til at konstruere (i en form tilpasset til at forenkle beregninger) hans elliptiske funktioner som partialer af ovenstående fire theta-funktioner, og han kunne også bruge dem til at konstruere Weierstrass elliptiske funktioner , da

\wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau){\big )}''+c

hvor den anden afledede tages med hensyn til z , og konstanten c er defineret således, at Laurent-rækken af funktionen ℘( z ) i punktet z = 0 har en nulkonstantled.

Forholdet til q -gamma-funktionen

Den fjerde theta-funktion - og derefter resten - er uløseligt forbundet med Jackson q -gamma-funktionen relationen [4] .

\left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{ 2x(1-x))){\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right) }}\vartheta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).

Forholdet til Dedekinds eta-funktion

Lad være Dedekind eta-funktionen [ , og lad theta-funktionsargumentet være repræsenteret som nom . Derefter $\eta (\tau )$ $q=e^{\pi {i}\tau }$

{\begin{aligned}\theta _{2}(0,q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(0,q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^ {5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )))={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)))),\\[3pt]\theta _ {4}(0,q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \ højre )}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}

\theta _{2}(0,q)\,\theta _{3}(0,q)\,\theta _{4}(0,q)=2\eta ^{3}(\ tau).

Se også artiklen om Webers modulfunktioner .

Elliptisk modul

J-invarianten er lig

{\displaystyle k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0,\tau )^{2)){\vartheta _{00}(0,\tau )^{2))))

og det yderligere elliptiske modul er

k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}

Løsning af den termiske ligning

Jacobi theta-funktionen er en fundamental løsning af den endimensionelle varmeligning med rumlige periodiske grænsebetingelser [5] . Ved at tage ægte, og med reel og positiv t , kan vi skrive $z=x$ $\tau=it$

\vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)

hvad løser varmeligningen

{\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta(x,it).

Denne theta-løsning er 1-periodisk i x og har tendens til en periodisk deltafunktion eller Dirac-kam i betydningen fordelinger $t\to 0$

\lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (xn)

Generelle løsninger på problemet med rumlige periodiske begyndelsesværdier for varmeligningen kan opnås ved at konvolvere de indledende data ind med theta-funktionen. $t = 0$

Forbindelse med Heisenberg-gruppen

Jacobi theta-funktionen er invariant under påvirkning af en diskret undergruppe af Heisenberg-gruppen . Denne invarians er præsenteret i artiklen om theta-repræsentationen af Heisenberg-gruppen.

Generaliseringer

Hvis F er en kvadratisk form i n variable, så er theta-funktionen forbundet med F

{\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m)))

med summen over gitteret af heltal ℤ n . Denne theta-funktion er en modulær form med vægten (på en korrekt defineret undergruppe) af den modulære gruppe . I en Fourier-serieudvidelse ${\tfrac {n}{2))$

{\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},

tallene kaldes formrepræsentationstal . $R_{F}(k)$

Ramanujans theta-funktion

Riemannsk theta-funktion

Lade

\mathbb {H} _{n}=\venstre\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T)) \,,\,\operatørnavn {Im} F>0\right\}

er sættet af symmetriske kvadratiske matricer , hvis imaginære del er positiv bestemt . ℍ n kaldes det øvre Siegel-halv-rum og er den højere-dimensionelle analog af det øvre halv-plan . Den n -dimensionelle analog af den modulære gruppe er den symbolske gruppe Sp(2 n , ℤ ) . For . Rollen af den n -dimensionelle analog af kongruente undergrupper spilles af $n=1~~~\mathrm {Sp} (2,\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$

\ker {\big \{}\operatørnavn {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\højrepil \operatørnavn {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\ stor \}}.

Så, hvis givet , er Riemann theta-funktionen defineret som $\tau \in \mathbb {H} _{n}$

\theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp {\bigg (}2\pi i\left({\tfrac {1}{ 2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right){\bigg )}.

Her er en n -dimensionel kompleks vektor, og det hævede T betyder transponere . Jacobi theta-funktionen er så et specialtilfælde med og , hvor er det øverste halvplan af . $z\in \mathbb {C} _{n}$ $n=1$ $\tau \in \mathbb {H}$ ${\mathbb {H}}$

Riemann theta-funktionen konvergerer absolut og ensartet på kompakte delmængder . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n))$

Funktionel ligning af en funktion

\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^ {\mathsf {T}}\tau b\right)\theta (z,\tau )

som gælder for alle vektorer og for alle }} og . $a,b\in \mathbb {Z} ^{n}$ $z \in \mathbb{C}^n$ $\tau \in \mathbb {H} _{n}$

Poincare-serien

Poincaré-serien generaliserer theta-serien til automorfe former som anvendt på vilkårlige fuchsiske grupper .

Noter

↑ Tyurin, 2003 .
↑ Yi, 2004 , s. 381-400.
↑ Mező, 2013 , s. 2401-2410.
↑ Mező, 2012 , s. 692-704.
↑ Ohyama, 1995 , s. 431-450.

Litteratur

Yousuke Ohyama. Differentielle relationer mellem theta-funktioner // Osaka Journal of Mathematics. - 1995. - T. 32 , no. 2 . — S. 431–450 . — ISSN 0030-6126 .
Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. sek. 16.27ff. // Håndbog i matematiske funktioner . - New York: Dover Publications, 1964. - ISBN 0-486-61272-4 .
Akhiezer NI Elementer i teorien om elliptiske funktioner. - Moskva: "Nauka" Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur, 1970. - (Ingeniørens fysiske og matematiske bibliotek). - ISBN 0-8218-4532-2 .
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. ch. 6 // Riemann Flader. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-90465-4 . . (diskussion af Riemann theta-funktionen)
Hardy GH , Wright EM En introduktion til talteorien. — 4. — Oxford: Clarendon Press, 1959.
David Mumford . Tata Lectures on Theta I. - Boston: Birkhauser, 1983. - ISBN 3-7643-3109-7 .
James Pierpont. Funktioner af en kompleks variabel. — New York: Dover Publications, 1959.
Harry E. Rauch, Hershel M. Farkas. Theta-funktioner med applikationer til Riemann-overflader. - Baltimore: Williams & Wilkins, 1974. - ISBN 0-683-07196-3 .
William P. Reinhardt, Peter L. Walker. Theta Functions // NIST Handbook of Mathematical Functions / Frank WL Oliver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark. - Cambridge University Press, 2010. - ISBN 978-0521192255 ,.
Whittaker ET, Watson GN ch. 21 // Et kursus i moderne analyse. — 4. - Cambridge: Cambridge University Press, 1927. (History of Jacobi θ -funktioner)
Jinhee Yi. Theta-funktionsidentiteter og de eksplicitte formler for theta-funktion og deres applikationer // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2004. - T. 292 . — S. 381–400 . - doi : 10.1016/j.jmaa.2003.12.009 .
István Mező. En q -Raabe formel og et integral af den fjerde Jacobi theta funktion // Journal of Number Theory. - 2012. - T. 133 , no. 2 . — S. 692–704 . - doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.025 .
István Mező. Duplikeringsformler, der involverer Jacobi theta-funktioner og Gospers q -trigonometriske funktioner // Proceedings of the American Mathematical Society. - 2013. - T. 141 , no. 7 . — S. 2401–2410 . - doi : 10.1090/s0002-9939-2013-11576-5 .

Læsning for yderligere læsning

Theta-funktioner, Jacobi elliptiske funktioner // Mathematical Encyclopedia / Vinogradov I. V. - Soviet Encyclopedia, 1985. - V. 5. - (Encyklopædier, ordbøger, opslagsbøger).
Prasolov VV, Solovyov Yu. P. Algebraiske ligninger og theta-funktioner. — M. : MK NMU, 1994.

Hershel M. Farkas. Theta-funktioner i kompleks analyse og talteori // Surveys in Number Theory / Krishnaswami Alladi. - Springer-Verlag , 2008. - T. 17. - S. 57–87. — (Udviklingen i Matematik). - ISBN 978-0-387-78509-7 .
Bruno Schoeneberg. IX. Theta-serien // Elliptiske modulære funktioner. - Springer-Verlag , 1974. - T. 203. - S. 203-226. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-06382-X .
Tyurin AN Kvantisering, klassisk og kvantefeltteori og theta-funktioner. - M. , 2003.