Dirac kam

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. april 2019; checks kræver 7 redigeringer .

Dirac-kammen er en periodisk Schwartz-fordeling bygget af deltafunktioner

\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\ \sum _{{k=-\infty }}^{{\infty }}\delta (t -kT)

for en given periode . $T$

Fourier-serien

Det er klart, periodisk med punktum . Derfor $\Delta _{T}(t)$ $T$

\Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)

for alle . Den komplekse Fourier-række for en sådan periodisk funktion $t$

\Delta _{T}(t)=\sum _{{n=-\infty }}^{{+\infty }}c_{n}e^{{i2\pi nt/T}}\

hvor Fourier-koefficienterne er lig med $c_{{n}}$

$c_n$	$={\frac {1}{T}}\int _{{t_{0}}}^{{t_{0}+T}}\Delta _{T}(t)e^{{-i2\pi nt/T}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\$
	$={\frac {1}{T}}\int _{{-T/2}}^{{T/2}}\Delta _{T}(t)e^{{-i2\pi nt/T }}\,dt\$
	$={\frac {1}{T}}\int _{{-T/2}}^{{T/2}}\delta (t)e^{{-i2\pi nt/T}}\, dt\$
	$={\frac {1}{T}}e^{{-i2\pi n\,0/T}}\$
	$={\frac {1}{T}}.\$

Som et resultat af det faktum, at alle Fourier-koefficienter er lige , får vi det endelige udtryk $1/T$

\Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}e^{{i2\pi nt/T} }

Dirac kam

Fourier-serien

Links