Taylor teorem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. februar 2019; checks kræver 12 redigeringer . Denne artikel handler om Taylor-polynomier af differentiable funktioner . For Taylor-serier af analytiske funktioner, se den tilsvarende artikel.

Taylors sætning giver en tilnærmelse til en k - gange differentierbar funktion nær et givet punkt ved hjælp af et k - te ordens Taylor polynomium . For analytiske funktioner er Taylor-polynomiet i et givet punkt en delsum af deres Taylor-serier , som igen fuldstændigt definerer funktionen i et eller andet område af punktet. Det nøjagtige indhold af Taylors sætning er ikke blevet enige om indtil videre. Selvfølgelig er der flere versioner af sætningen anvendelige i forskellige situationer, og nogle af disse versioner indeholder estimater af den fejl, der opstår, når man approksimerer en funktion ved hjælp af et Taylor-polynomium.

Denne teorem er opkaldt efter matematikeren Brooke Taylor , som formulerede en version af den i 1712. Et eksplicit udtryk for tilnærmelsesfejlen blev givet meget senere af Joseph Lagrange . Tidligere, i 1671, havde James Gregory allerede nævnt konsekvensen af sætningen.

Taylors teorem giver dig mulighed for at mestre teknikkerne til beregninger på begynderniveau, og det er et af de centrale elementære værktøjer i matematisk analyse . I studiet af matematik er det udgangspunktet for studiet af asymptotisk analyse . Sætningen bruges også i matematisk fysik . Den generaliserer også til funktioner af flere variable og vektorfunktioner for alle dimensioner og . Denne generalisering af Taylors sætning er grundlaget for definitionen af såkaldte jets , som optræder i differentialgeometri og i teorien om partielle differentialligninger . ${\displaystyle f\,:\,\mathbb {R} ^{n}\højrepil \mathbb {R} ^{m))$ $n$ $m$

Forudsætninger for indførelsen af sætningen

Hvis en funktion med reel værdi f(x) er differentierbar i punktet a , så har den en lineær tilnærmelse i punktet a . Det betyder, at der er en funktion h 1 sådan, at

f(x) = f(a) + f'(a)(xa) + h_1(x)(xa), \qquad \lim_{x\to a}h_1(x)=0.

Her

P_1(x) = f(a) + f'(a)(xa) \

det er en lineær tilnærmelse af funktionen f i punktet a . Grafen for funktionen y = P 1 ( x ) er tangent til grafen for funktionen f i punktet x = a . Approksimationsfejlen er

R_1(x) = f(x)-P_1(x) = h_1(x)(xa). \

Bemærk, at fejlen nærmer sig nul lidt hurtigere end forskellen x − a nærmer sig nul, når x nærmer sig a .

Hvis vi leder efter en bedre tilnærmelse af f , kan vi bruge et andengradspolynomium i stedet for en lineær funktion. I stedet for at finde den afledede af f i punktet a , kan vi finde to afledede, og dermed få et polynomium, der ligesom f stiger (eller falder), og ligesom f har en konveksitet (eller konkavitet) i punktet a . Polynomiet af anden grad (kvadratpolynomium) vil i dette tilfælde se sådan ud:

P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(xa)+{\frac {f''(a)}{2}}(xa)^{2}.

Taylors sætning gør det muligt at verificere, at den kvadratiske tilnærmelse, i et tilstrækkeligt lille naboskab af punktet a , er en bedre tilnærmelse end den lineære. I særdeleshed,

f(x) = P_2(x) + h_2(x)(xa)^2, \qquad \lim_{x\to a}h_2(x)=0.

Her er tilnærmelsesfejlen

R_2(x) = f(x)-P_2(x) = h_2(x)(xa)^2 \

som, hvis h 2 er afgrænset , nærmer sig nul hurtigere end den nærmer sig nul ( x − a ) 2 når x nærmer sig a .

Vi vil således fortsætte med at få bedre tilnærmelser til f , hvis vi bruger højere og højere grads polynomier . Generelt vil fejlen ved tilnærmelse af en funktion med polynomier af orden k nærme sig nul lidt hurtigere end ( x − a ) k nærmer sig nul , når x nærmer sig a .

Denne konsekvens er asymptotisk af natur: den fortæller os kun, at fejlen R k af tilnærmelsen med Taylor-polynomier Pk af k . orden nærmer sig nul hurtigere end et polynomium af ikke-nul k . orden som x → a . Det fortæller os ikke , hvor stor fejlen er i ethvert kvarter af tilnærmelsescentret, men der er en formel for resten for dette (givet nedenfor).

De mest komplette versioner af Taylors sætning fører generelt til ensartede estimater af tilnærmelsesfejlen i et lille kvarter af tilnærmelsescentret, men disse estimater er ikke tilstrækkelige til kvarterer, der er for store, selvom funktionen f er analytisk . I denne situation bør flere Taylor-polynomier med forskellige tilnærmelsescentre vælges for at have en pålidelig Taylor-tilnærmelse til den oprindelige funktion (se den animerede figur ovenfor). Det er også muligt, at forøgelse af rækkefølgen af polynomiet slet ikke øger kvaliteten af tilnærmelsen, selvom funktionen f er differentieret et uendeligt antal gange. Et sådant eksempel er vist nedenfor.

Taylors teorem for funktioner af en reel variabel

Udtalelse af sætningen

Den nøjagtige formulering af de fleste grundlæggende versioner af teoremet er som følger.

Det polynomium, der forekommer i Taylors sætning, er Taylor-polynomiet af k -te orden

P_k(x) = f(a) + f'(a)(xa) + \frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + \cdots + \frac{f^{(k) )}(a)}{k!}(xa)^k

funktion f i punkt a .

Taylors sætning beskriver den asymptotiske adfærd af det resterende led

\ R_k(x) = f(x) - P_k(x),

hvilket er en fejl ved at finde en tilnærmelse af funktionen f ved hjælp af Taylor-polynomier. Ved at bruge "O" stor og "o" lille , kan Taylors sætning formuleres som følger

R_k(x) = o(|xa|^k), \qquad x\til a.

Formler for resten

Der er flere nøjagtige formler for det resterende led R k i Taylor-polynomiet, hvoraf den mest generelle er følgende.

Disse justeringer af Taylors sætning er normalt afledt ved hjælp af den endelige trinformel .

Du kan også finde andre udtryk for resten. For eksempel, hvis G ( t ) er kontinuert på et lukket interval og differentierbar med en ikke-forsvindende afledt på et åbent interval mellem a og x , så

R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!}(x-\xi)^k \frac{G(x)-G(a)}{G' (\xi)}

for et eller andet tal ξ mellem a og x . Denne version dækker Lagrange- og Cauchy-formerne som særlige tilfælde og er udledt ved hjælp af Cauchys middelværdisætning (en udvidet version af Lagranges middelværdisætning ).

At skrive formlen for resten i integralform er mere generel end tidligere formler og kræver en forståelse af Lebesgues integralteori . Det gælder dog også for Riemann-integralet, forudsat at den afledede af orden ( k +1) af f er kontinuert på det lukkede interval [ a , x ].

På grund af den absolutte kontinuitet af f ( k ) på det lukkede interval mellem a og x eksisterer dens afledte f ( k +1) som en L 1 -funktion, og denne konsekvens kan opnås ved formelle beregninger ved hjælp af Newton-Leibniz-sætningen og integration af dele .

Estimater af resten

I praksis er det ofte nyttigt at numerisk estimere værdien af resten af Taylor-tilnærmelsen.

Vi vil antage, at f er ( k + 1) gange kontinuerligt differentierbar på et interval I indeholdende a . Vi antager, at der er reelle konstante tal q og Q , således at

q\le f^{(k+1)}(x)\le Q

hele I. _ Så opfylder det resterende led uligheden [5]

q\frac{(xa)^{k+1}}{(k+1)!}\le R_k(x)\le Q\frac{(xa)^{k+1}}{(k+1) !},

hvis x > a , og et lignende skøn hvis x < a . Dette er en simpel konsekvens af Lagrange-formen af restformlen. Især hvis

|f^{(k+1)}(x)|\leq M

på intervallet I = ( a − r , a + r ) med nogle r >0, så

|R_k(x)| \le M\frac{|xa|^{k+1}}{(k+1)!}\le M\frac{r^{k+1}}{(k+1)!}

for alle x ∈( a − r , a + r ). Den anden ulighed kaldes ensartet estimator , fordi den bevarer ensartethed for alle x i intervallet ( a − r , a + r ).

Eksempel

Lad os sige, at vi vil finde en tilnærmelse af funktionen f ( x ) = e x på intervallet [−1,1] og sørge for, at fejlen ikke overstiger 10 −5 . I dette eksempel antager vi, at vi kender følgende egenskaber for eksponentialfunktionen:

(*) \qquad e^0=1, \qquad \frac{d}{dx} e^x = e^x, \qquad e^x>0, \qquad x\in\mathbb{R}.

Disse egenskaber indebærer, at f ( k ) ( x ) = e x for alle k , og især f ( k ) (0) = 1 . Det følger heraf, at Taylor-polynomiet i den k . orden af funktionen f i punktet 0 og dets resterende led i Lagrange-formen er givet ved formlen

P_k(x) = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^k}{k!}, \qquad R_k(x)=\frac{e^\xi}{ (k+1)!}x^{k+1},

hvor ξ er et tal mellem 0 og x . Da e x stiger ifølge (*), kan vi bruge e x ≤ 1 for x ∈ [−1, 0] til at estimere resten af delintervallet [−1, 0]. For at finde en øvre grænse for værdien af resten af intervallet [0,1], kan vi bruge egenskaben e ξ << e x for 0< ξ<x til at estimere

e^x = 1 + x + \frac{e^\xi}{2}x^2 < 1 + x + \frac{e^x}{2}x^2, \qquad 0 < x\leq 1

ved at bruge et andenordens Taylor-polynomium. Udtrykker vi e x fra denne ulighed , konkluderer vi, at

e^x \leq \frac{1+x}{1-\frac{x^2}{2}} = 2\frac{1+x}{2-x^2} \leq 4, \qquad 0 \ leqx\leq 1

under forudsætning af, at tælleren tager maksimum af alle dens mulige værdier, og nævneren tager minimum af alle dens mulige værdier. Ved at bruge disse estimater af værdierne af e x ser vi det

|R_k(x)| \leq \frac{4|x|^{k+1}}{(k+1)!} \leq \frac{4}{(k+1)!}, \qquad -1\leq x \leq 1 ,

og den krævede nøjagtighed opnås bestemt hvornår

\frac{4}{(k+1)!} < 10^{-5} \quad \Leftrightarrow \quad 4\cdot 10^5 < (k+1)! \quad \Leftrightarrow \quad k \geq 7.

(hvor faktoren er 7!=5040 og 8!=40320.) I sidste ende fører Taylors sætning til tilnærmelsen

e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^7}{7!} + R_7(x), \qquad |R_7(x)| < 10^{-5}, \qquad -1\leq x \leq 1.

Bemærk, at denne tilnærmelse giver os mulighed for at beregne værdien af e ≈2,71828 med en nøjagtighed på op til femte decimal.

Analytisk

Taylor-udvidelse til rigtige analytiske funktioner

Lad være et åbent interval . Per definition er en funktion reel analytisk , hvis den er defineret i et givet område ved konvergensen af en potensrække . Det betyder, at der for hver er nogle r > 0 og en sekvens af koefficienter c k ∈ R , således at ( a − r , a + r ) ⊂ I og $I\subset \mathbb {R}$ $f\,:\,I\rightarrow \mathbb {R}$ $i I$

f(x) = \sum_{k=0}^\infty c_k(xa)^k = c_0 + c_1(xa) + c_2(xa)^2 + \cdots, \qquad |xa|<r.

Generelt kan konvergensradius potensrække beregnes ved hjælp Cauchy-Hadamard formlen

\frac{1}{R} = \limsup_{k\to\infty}|c_k|^\frac{1}{k}.

Dette resultat er baseret på en sammenligning med en uendeligt aftagende geometrisk progression, og samme metode viser, at hvis en potensrække udvidet i a konvergerer for nogle b ∈ R , skal den konvergere ensartet på det lukkede interval [ a − r b , a + rb ] , hvor rb = | b - a |. Her har vi kun betragtet potensrækkens konvergens, og det er muligt, at domænet ( a − R , a + R ) strækker sig ud over domænet I af funktionen f .

Taylor-polynomium i en reel analytisk funktion f i et punkt a

P_k(x) = \sum_{j=0}^k c_j(xa)^j, \qquad c_j = \frac{f^{(j)}(a)}{j!}

er en simpel trunkering af den tilsvarende potensrække af denne funktion defineret på et eller andet interval , og det resterende led på dette interval er givet af den analytiske funktion

R_k(x) = \sum_{j=k+1}^\infty c_j(xa)^j = (xa)^k h_k(x), \qquad |xa|<r.

Her er funktionen

h_k:(ar,a+r)\til \R; \qquad h_k(x) = (xa)\sum_{j=0}^\infty c_{k+1+j}(xa)^j

er også analytisk, da dens potensrække har samme konvergensradius som den oprindelige serie. Forudsat at [ a − r , a + r ] ⊂I og r < R , konvergerer alle disse serier ensartet i intervallet ( a − r , a + r ) . I tilfælde af analytiske funktioner er det selvfølgelig muligt at estimere det resterende led R k ( x ) ved at "afskære" sekvensen af afledte f′ ( a ) i centrum af tilnærmelse, men når der anvendes kompleks analyse , muligheder dukker op, som er beskrevet nedenfor.

Taylors teorem og konvergensen af Taylor-serien

Der er en uenighed mellem Taylor-polynomier af differentiable funktioner og Taylor-rækken af analytiske funktioner. Man kan overveje (nogenlunde) Taylor-serien

f(x) \ca. \sum_{k=0}^\infty c_k(xa)^k = c_0 + c_1(xa) + c_2(xa)^2 + \ldots

et uendeligt antal gange differentierbar funktion f : R → R som dens "Taylor-polynomium af uendelig orden" i punktet a . Estimatet for resten af Taylor-polynomiet indebærer, at der for enhver orden k og for enhver r >0 er en konstant M k,r >0 , således at

(*) \quad |R_k(x)|\leq M_{k,r}\frac{|xa|^{k+1}}{(k+1)!}

for hver x ∈( ar, a+r ). Nogle gange kan disse konstanter vælges således, at M k,r → 0 som k → ∞ og r forbliver den samme. Derefter konvergerer Taylor-rækken af funktionen f ensartet til en eller anden analytisk funktion

T_f:(ar,a+r)\to\mathbb R; \qquad T_f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(xa)^k.

Det er vigtigt at nævne en subtil pointe her . Det er muligt, at en uendeligt mange gange differentierbar funktion f har en Taylor-række i punktet a , der konvergerer i et eller andet åbent naboskab til punktet a , men grænsefunktionen T f adskiller sig fra f . Et vigtigt eksempel på dette fænomen er

f:\mathbb R \to \mathbb R; \qquad f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} &, x>0, \\ 0 &, x\leq 0.\end{cases}

Ved at bruge kædereglen kan man induktivt vise , at for enhver rækkefølge k ,

f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k))}e^{-{\frac {1} {x^{2}}}}&,x>0\\0&,x\leq 0\end{cases}}}

for et eller andet polynomium p k . Funktionen har en tendens til at nulstille hurtigere end et hvilket som helst polynomium som x → 0 , så er f uendeligt differentierbar og f ( k ) (0) = 0 for hvert positivt heltal k . Nu viser estimater for resten af Taylor-polynomiet af funktionen f , at Taylor-rækken konvergerer ensartet til nulfunktionen på hele den reelle talakse. Der vil ikke være nogen fejl i følgende udsagn: $e^{-\frac{1}{x^2}}$

Taylor-rækken af funktionen f konvergerer ensartet til nulfunktionen T f ( x )=0.
Null-funktionen er analytisk, og hver koefficient i dens Taylor-serie er nul.
Funktionen f er uendeligt differentierbar, men ikke analytisk.
For enhver k ∈ N og r >0 eksisterer der M k, r >0, således at det resterende led af Taylor-polynomiet af k . orden af funktionen f opfylder betingelsen (*).

Taylors sætning i kompleks analyse

Taylors sætning generaliserer funktioner , der er komplekse differentiable på en åben delmængde U ⊂ C af den komplekse plan . Imidlertid reduceres dets anvendelighed af andre teoremer af kompleks analyse , nemlig: mere komplette versioner af lignende resultater kan udledes for komplekst differentierbare funktioner f : U → C ved hjælp af Cauchy-integralformlen som vist nedenfor. $f:\mathbb C\to\mathbb C$

Lad r > 0, således at den lukkede cirkel B ( z , r )∪S ( z , r ) er indeholdt i U. Så giver Cauchy-integralformlen med positiv parametrisering γ ( t )= re it af cirklen S ( z, r ) med t ∈ [0,2 π ]

f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{wz}dw, \quad f'(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(wz)^2}dw, \quad \ldots, \quad f^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\ pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{(wz)^{k+1}}dw.

Her er alle integrander kontinuerte på cirklen S ( z , r ), hvilket retfærdiggør differentiering under integraltegnet . Især hvis f én gang er kompleks differentierbar på et åbent sæt U , så er det faktisk et uendeligt antal gange kompleks differentierbar på U. Vi har Cauchy-estimatet [6]

|f^{(k)}(z)| \leq \frac{k!}{2\pi}\int_\gamma \frac{M_r}{|wz|^{k+1}}dw = \frac{k!M_r}{r^k}, \qquad M_r = \max_{|wc|=r}|f(w)|

for enhver z ∈ U og r > 0, således at B ( z , r ) ∪ S ( c , r ) ⊂ U . Disse skøn indebærer, at den komplekse Taylor-serie

f(z) \ca. \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(zc)^k

funktion f konvergerer ensartet i enhver cirkel B ( c , r ) ⊂ U med S ( c , r ) ⊂ U i en eller anden funktion T f . Også ved at bruge konturintegrationsformlen for de afledte f ( k ) ( c ),

\begin{align} T_f(z) = \ & \sum_{k=0}^\infty \frac{(zc)^k}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f(w)}{ (wc)^{k+1}}dw = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wc} \sum_{k=0}^\infty \Big (\frac{zc}{wc}\Big)^k dw \\ = \ & \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wc}\Big( \ frac{1}{1-\frac{zc}{wc}} \Big) dw = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{wz} dw = f (z), \end{align}

således er enhver kompleks differentierbar funktion f på en åben mængde U ⊂ C kompleks analytisk . Alt, hvad der er skrevet ovenfor for reelle analytiske funktioner, gælder også for komplekse analytiske funktioner, hvor det åbne interval I er erstattet af en åben delmængde U ∈ C og a -centrerede intervaller ( a − r , a + r ) erstattes af c - centrerede cirkler B ( c , r ). Især Taylor-udvidelsen er bevaret som

f(z) = P_k(z) + R_k(z), \qquad P_k(z) = \sum_{j=0}^k \frac{f^{(k)}(c)}{k!}( zc)^k,

hvor resten Rk er kompleks analytisk . Når man betragter Taylor-serien, giver metoderne til kompleks analyse mulighed for at opnå noget mere kraftfulde resultater. For eksempel, ved at bruge en integralformel for enhver positivt orienteret Jordan-kurve γ , der parametriserer grænsen ∂ W ⊂ U for et domæne W ⊂ U , kan man få et udtryk for de afledte af f ( j ) ( c ) som vist ovenfor, og ændre lidt på beregningerne for T f ( z ) = f ( z ) , kom frem til den nøjagtige formel

R_k(z) = \sum_{j=k+1}^\infty \frac{(zc)^j}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{(wc)^{ j+1}}dw = \frac{(zc)^{k+1}}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)dw}{(wc)^{k+1}( wz)} , \qquad z\in W.

Et vigtigt træk her er, at kvaliteten af Taylor-polynomiets approksimation i domænet W ⊂ U er domineret af værdierne af funktionen f på grænsen ∂ W ⊂ U . Ved at anvende Cauchy-estimaterne på udtrykket for resten af serien opnår vi også de ensartede estimater

|R_k(z)| \leq \sum_{j=k+1}^\infty \frac{M_r |zc|^j}{r^j} = \frac{M_r}{r^{k+1}} \frac{|zc| ^{k+1}}{1-\frac{|zc|}{r}} \leq \frac{M_r \beta^{k+1}}{1-\beta} , \qquad \frac{|zc |}{r}\leq \beta < 1.

Eksempel

Funktion f : R → R defineret af ligningen

f(x) = \frac{1}{1+x^2}

er reel analytisk , det vil sige, i det givne domæne bestemmes det af dets Taylor-serie. En af figurerne ovenfor viser, at nogle meget simple funktioner ikke kan udtrykkes ved hjælp af Taylor-tilnærmelsen i nærheden af tilnærmelsescentret, hvis dette kvarter er for stort. Denne egenskab er let at forstå inden for rammerne af kompleks analyse. Mere specifikt udvides funktionen f til en meromorf funktion

f:\mathbb C\cup\{\infty\} \til \mathbb C\cup\{\infty\}; \quad f(z) = \frac{1}{1+z^2}

på det komprimerede komplekse plan. Den har simple akser i punkterne z = i og z = − i , og den er overalt analytisk. Dens Taylor-serie centreret ved z 0 konvergerer på enhver cirkel B ( z 0 , r ) med r <| zz 0 |, hvor den samme Taylor-række konvergerer for z ∈ C . Som et resultat konvergerer Taylor-rækken af funktionen f centreret ved 0 til B (0,1), og den konvergerer ikke for nogen z ∈ C med | z |>1 på grund af tilstedeværelsen af akser i punkterne i og − i . Af samme årsager konvergerer Taylor-serien af funktionen f centreret ved 1 til B (1,√2) og konvergerer ikke for nogen z ∈ C med | z -1|>√2.

Generaliseringer af Taylors teorem

Højere rækkefølger af differentiabilitet

En funktion f : R n → R er differentierbar i et punkt a ∈ R n , hvis og kun hvis der findes en lineær form L : R n → R og en funktion h : R n → R således, at

f(\fedsymbol{x}) = f(\fedsymbol{a}) + L(\fedsymbol{x}-\fedsymbol{a}) + h(\fedsymbol{x})(\fedsymbol{x}-\fedsymbol {a}), \qquad \lim_{\boldsymbol{x}\to\boldsymbol{a}}h(\boldsymbol{x})=0.

Hvis dette tilfælde holder, så er L = df ( a ) differentialet for funktionen f i punktet a . Derudover, når de partielle afledte af funktionen f eksisterer i punktet a , så er differentialet af f i punktet a givet af formlen

df( \boldsymbol{a} )( \boldsymbol{v} ) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(\boldsymbol{a})v_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(\boldsymbol{a})v_n.

Vi introducerer multiindekset , skriver vi

|\alfa| = \alpha_1+\cdots+\alpha_n, \quad \alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n!, \quad \boldsymbol{x}^\alpha=x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}

for α ∈ N n og x ∈ R n . Hvis alle partielle afledte af den k . orden af en funktion f : R n → R er kontinuerte ved a ∈ R n , så kan man ved Clairauts sætning ændre rækkefølgen af de blandede afledte i et punkt a , og derefter skrive

D^\alpha f = \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots \partial x_n^{\alpha_n)), \qquad |\alpha|\leq k

for partielle derivater af højere orden er legitimt i denne situation. Det samme er tilfældet, hvis alle ( k − 1). ordens partielle afledninger af funktionen f findes i et eller andet område af punktet a og er differentiable i punktet a . Så kan vi sige, at funktionen f er k gange differentierbar i punktet a .

Taylors sætning for funktioner af flere variable

Hvis en funktion f : R n → R er k + 1 gange kontinuerligt differentierbar i en lukket kugle B , så kan man få en nøjagtig formel for resten af ( k + 1) ordens Taylor-udvidelse af f i dette kvarter. Nemlig

f( \boldsymbol{x}) = \sum_{|\alpha|=0}^k \frac{D^\alpha f(\boldsymbol{a})}{\alpha!} (\boldsymbol{x}-\ fed symbol{a})^\alpha + \sum_{|\beta|=k+1} R_\beta(\boldsymbol{x})(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a})^\beta, \qquad R_\beta( \boldsymbol{x} ) = \frac{|\beta|}{\beta!} \int_0^1 (1-t)^{|\beta|-1}D^\beta f \big( \boldsymbol{a}+t( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a} )\big) \, dt.

I dette tilfælde, på grund af kontinuiteten af ( k + 1). ordens partielle afledte på det kompakte sæt B , opnår vi direkte

\big|R_\beta(\boldsymbol{x})| \leq \frac{|\beta|}{\beta!} \max_{|\alpha|=|\beta|} \max_{\boldsymbol{y}\in B} |D^\alpha f(\boldsymbol{ y})|, \qquad \boldsymbol{x}\i B.

Beviser

Bevis for Taylors sætning for en reel variabel

Lad [7]

h_k(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - P(x)}{(xa)^k} & x\not=a\\ 0&x=a \end{cases}

hvor, som anført i formuleringen af Taylors sætning,

P(x) = f(a) + f'(a)(xa) + \frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + \cdots + \frac{f^{(k) )}(a)}{k!}(xa)^k.

Det er nok at vise det

\lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.

Beviset er baseret på en gentagen anvendelse af L'Hospitals regel . Bemærk, at hver j = 0,1,…, k −1 , . Derfor har hver efterfølgende afledet af funktionens tæller en tendens til nul i punktet , og det samme gælder for nævneren. Derefter $f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)$ $h_k(x)$ $x=a$

\begin{align} \lim_{x\to a} \frac{f(x) - P(x)}{(xa)^k} &= \lim_{x\to a} \frac{\frac{d }{dx}(f(x) - P(x))}{\frac{d}{dx}(xa)^k} = \cdots = \lim_{x\to a} \frac{\frac{d ^{k-1}}{dx^{k-1}}(f(x) - P(x))}{\frac{d^{k-1}}{dx^{k-1}}( xa)^k}\\ &=\frac{1}{k!}\lim_{x\to a} \frac{f^{(k-1)}(x) - P^{(k-1) }(x)}{xa}\\ &=\frac{1}{k!}(f^{(k)}(a) - P^{(k)}(a)) = 0 \end{align }

hvor overgangen fra det næstsidste udtryk til det sidste følger af definitionen af den afledte i punktet x = a .

Noter

↑ Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Taylors formel , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Klein, 1998 , §20.3; Apostol, 1967 , §7.7.
↑ Apostol, 1967 , §7.7.
↑ Apostol, 1967 , §7.5.
↑ Apostol, 1967 , §7.6
↑ Rudin, 1987, § 10.26.
↑ Stromberg, 1981

Kilder

Apostol, Tom (1967), Calculus , Jon Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-00005-1 .
Bartle & Sherbert (2000), Introduction to Real Analysis (3. udgave), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-32148-6 .
Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, bind 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3540006626 .
Klein, Morris (1998), Calculus: An Intuitive and Physical Approach , Dover, ISBN 0-486-40453-6 .
Pedrick, George (1994), A First Course in Analysis , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94108-8 .
Stromberg, Karl (1981), Introduktion til klassisk reel analyse , Wadsworth, Inc., ISBN 978-0534980122 .
Rudin, Walter (1987), Virkelig og kompleks analyse, 3. udg. , McGraw-Hill Book Company, ISBN 0-07-054234-1 .

Taylor teorem

Forudsætninger for indførelsen af ​​sætningen

Taylors teorem for funktioner af en reel variabel

Udtalelse af sætningen

Formler for resten

Estimater af resten

Eksempel

Analytisk

Taylor-udvidelse til rigtige analytiske funktioner

Taylors teorem og konvergensen af ​​Taylor-serien

Taylors sætning i kompleks analyse

Eksempel

Generaliseringer af Taylors teorem

Højere rækkefølger af differentiabilitet

Taylors sætning for funktioner af flere variable

Beviser

Bevis for Taylors sætning for en reel variabel

Noter

Kilder

Links

Forudsætninger for indførelsen af sætningen

Taylors teorem og konvergensen af Taylor-serien