Sammenhængende funktioner

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. marts 2020; checks kræver 2 redigeringer .

Adjoint funktorer er et par funktorer , der er i et bestemt forhold til hinanden. Adjoint funktorer stødes ofte på i forskellige områder af matematik.

Uformelt er funktorerne F og G konjugerede, hvis de opfylder relationen . Så kaldes F en venstre adjoint funktor, og G kaldes en højre. $\mathrm {Hom} (F(X),Y)\simeq \mathrm {Hom} (X,G(Y))$

Motivation

Adjoint functors er et af nøgleværktøjerne i kategoriteori , mange bemærkelsesværdige matematiske konstruktioner kan beskrives som adjoint functors. Som et resultat heraf kan beviser for mange interessante resultater umiddelbart følge af generelle sætninger om adjoint-funktionorer, såsom ækvivalensen af forskellige definitioner, og fra det faktum, at højre adjoint-funktionorer pendler med limits (og venstre med colimits).

Løsning af optimeringsproblemet

Vi kan sige, at en adjoint funktor er en måde at specificere den mest effektive løsning på et eller andet problem ved hjælp af en standardmetode. For eksempel er et elementært problem fra ringteori, hvordan man forvandler en pseudoring (det vil sige en ring, der måske ikke har en multiplikativ enhed) til en ring . Den mest effektive måde at gøre dette på er at tilføje en til ringen, alle de nødvendige elementer for at opfylde ringens aksiomer (f.eks. elementer af typen r +1 , hvor r er et element i ringen), og ikke antage eventuelle relationer i den nye ring, der ikke er nødvendige for at tilfredsstille aksiomerne. Denne konstruktion er standard i den forstand, at den fungerer til enhver pseudoring.

Ovenstående beskrivelse er meget vag, men kan gøres præcis ved brug af kategoriteoriens sprog: en konstruktion er " mest effektiv ", hvis den opfylder den universelle egenskab , og " standard " i den forstand, at den definerer en funktor. Universelle egenskaber er opdelt i initial og terminal, da disse begreber er dobbelte , er det nok at overveje en af dem.

Ideen med at bruge den oprindelige egenskab er at formulere problemet i form af en sådan hjælpekategori E , at det kun er tilbage at finde det oprindelige objekt E . Denne formulering har den fordel, at problemet med at "finde den mest effektive løsning" bliver ret stringent og i en vis forstand ligner problemet med at finde et ekstremum . For at vælge den rigtige kategori E , er det nogle gange nødvendigt at vælge vanskelige tricks: i tilfælde af en semiring R , er den påkrævede kategori en kategori, hvis objekter er homomorfismer af semiringer R → S , hvor S er en eller anden ring med identitet. Morfismer i E mellem R → S 1 og R → S 2 er kommutative trekanter af formen ( R → S 1 , R → S 2 , S 1 → S 2 ) , hvor S 1 → S 2 er en ringhomomorfi. Eksistensen af en morfisme mellem R → S 1 og R → S 2 betyder, at S 1 ikke er mindre effektiv løsning på problemet end S 2 : S 2 har flere tilføjede elementer og/eller flere relationer mellem dem end S 1 .

At sige, at denne metode definerer den " mest effektive " og " standard " løsning på et problem, er det samme som at sige, at den definerer adjoint-funktioner.

Formelle definitioner

Der er flere ækvivalente definitioner af adjoint funktorer. Deres ækvivalens er elementær, men ikke triviel.

Den universelle pildefinition er nem at formulere og er også tættest på vores intuition om "optimeringsproblemet".

Enheds- og tælledefinitionen er praktisk for funktorer, der ofte forekommer i algebra, fordi den giver formler, der kan kontrolleres direkte.

Hom sætdefinitionen gør definitionen symmetrisk og præciserer årsagerne til at kalde funktorer "adjoint".

Universal Arrow

En funktion F : C ← D er en venstre adjoint funktion , hvis der for hvert objekt X i kategori C findes en terminalpil ε X fra F til X . Hvis vi for hvert X i C vælger et objekt G 0 X i D , for hvilket en terminalpil ε X : F ( G 0 X ) → X er defineret , så eksisterer der en unik funktion G : C → D , således at GX = G 0 X og for enhver morfi i kategorien C f : X → Xʹ har vi ε Xʹ ∘ FG ( f ) = f ∘ ε X ; F kaldes så den venstre adjoint af funktoren G .

En funktion G : C → D er en højre adjoint funktion , hvis der for hvert objekt Y i kategorien D er en indledende pil fra Y til G . Hvis vi for hvert Y i D vælger et objekt F 0 Y i C således at startpilen η Y : Y → G ( F 0 Y ) fra Y til G er defineret , så er der en unik funktion F : C ← D sådan at FY = F 0 Y og GF ( g ) ∘ η Y = η Yʹ ∘ g for g : Y → Yʹ er en morfisme i D ; G kaldes så den højre adjoint af funktoren F .

Som terminologien antyder, er det rigtigt, at F er den venstre dual af G , hvis og kun hvis G er den højre dual af F . Dette fremgår dog ikke af definitionen i form af den universelle pil, men er indlysende på grund af definitionen i form af enheden og counten.

Enhed og couunit

For at definere en enhed og en enhed i kategorierne C og D , skal vi fiksere to funktionsfaktorer F : C ← D , G : C → D og to naturlige transformationer :

{\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{{{\mathcal C}}}\\\eta &:1_{{{\mathcal D}}}\to GF\end{aligned}}

kaldes henholdsvis en co -enhed og en konjugationsenhed, således at sammensætningerne

F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F

G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G

er identiske transformationer 1 F og 1 G af funktionerne F og G henholdsvis.

I en sådan situation er F venstre konjugat af G , og G er højre konjugat af F. Nogle gange er dette forhold betegnet eller blot . $(\varepsilon ,\eta ):F\dashv G$ $F\dashv G$

I form af ligninger kaldes ovenstående betingelser for (ε,η) tal- og enhedsligningerne :

{\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}

Definition via Hom-funktion

Overvej to funktorer F : C ← D og G : C → D. Lad der være en naturlig isomorfisme :

\Phi :{\mathrm {hom}}_{C}(F-,-)\to {\mathrm {hom}}_{D}(-,G-)

Dette definerer en familie af bijektioner:

\Phi _{{Y,X}}:{\mathrm {hom}}_{C}(FY,X)\til {\mathrm {hom}}_{D}(Y,GX)

for alle objekter X i C og Y i D .

Her kaldes F venstre konjugat for G og G kaldes højre konjugat for F .

For at forstå, hvad der menes med naturligheden af Φ , er det nødvendigt at forklare, hvordan hom C ( F -, -) og hom D ( -, G -) er funktorer. Faktisk er de begge bifunctors fra D op × C til Set . Eksplicit betyder naturligheden af Φ , at for alle morfismer f : X → X ′ i C og morfismer g : Y ′ → Y i D , pendler følgende diagram:

Eksempler

Gratis grupper

Konstruktionen af en fri gruppe er et praktisk eksempel til at tydeliggøre essensen af definitionerne. Lad F : Grp ← Sæt være en funktor, der associerer med et sæt Y den frie gruppe, der genereres af elementer i Y , og G : Grp → Sæt være en glemmefunktion , der forbinder en gruppe X med dens støttemængde. Så er F venstre adjoint af G :

Terminalpile: for hver gruppe X er gruppen FGX en fri gruppe genereret af elementerne i X som et sæt. Lad være en gruppe homomorfi, der tager generatorerne af FGX til de tilsvarende elementer i X. Så er en terminal morfisme fra F til X , fordi enhver homomorfi fra den frie gruppe FZ til X kan gennemføres ved hjælp af en enkelt funktion fra mængden Z til mængden X . Det betyder, at ( F , G ) er et par adjoint-funktionorer. $\varepsilon _{X}:FGX\to X$ $(GX,\varepsilon _{X})$ $\varepsilon _{X}:FGX\to X$

Sætter Hom: afbildninger fra den frie gruppe FY til gruppen X svarer entydigt til afbildninger fra sættet Y til sættet GX : hver homomorfi er unikt bestemt af dens værdier på generatorerne af den frie gruppe. Ved direkte beregning kan man kontrollere, at denne overensstemmelse er en naturlig transformation, og derfor er parret ( F , G ) konjugeret.

Yderligere eksempler fra algebra

Alle frie objekter er resultaterne af anvendelsen af den frie funktion, som er venstre adjoint af den glemsomme funktion .
Produkter , kerner og equalizere er eksempler på kategoriske grænser . Alle grænsefunktioner er lige ved siden af diagonalfunktionerne . Tilsvarende er coproducts , cokernels og coequalizers colimits , og colimit -funktøren er venstre adjoint af diagonalfunktøren.
Tilføjelse af en enhed til pseudo-ringen (eksempel fra afsnittet "Motivation"). Hvis vi får en pseudorerende R , så er den tilsvarende ring produktet R × Z , hvor det Z -bilineære produkt er defineret af formlen (r,0)(0,1) = (0,1)(r, 0) = (r ,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), (0,1)(0,1) = (0,1) . Den konstruerede funktor efterlades konjugeret til en glemmende funktion, der sender en ring til den tilsvarende pseudoring.
Ring forlængere. Lad R og S være ringe og ρ : R → S være en ringhomomorfi. Så kan S ses som et (venstre) R -modul, og tensorproduktet med S definerer en funktion F : R - Mod → S - Mod . Her efterlades F konjugeret til den glemsomme funktion G : S - Mod → R - Mod .
Tensor produkter . Hvis R er en ring og M er et højre R -modul, så definerer tensorproduktet med M en funktion F : R - Mod → Ab . Funktionen G : Ab → R - Mod defineret som G ( A ) = hom Z ( M , A ) er ret konjugeret til F.
Privat felt . For kategorien Dom m af integralringe og injektiv homomorfismer har den glemsomme funktion Felt → Dom m en venstre adjoint, der forbinder med hver integralring dens felt af kvotienter .
Polynomiske ringe '. For Ring * , kategorien af kommutative ringe med et fornemt element og homomorfier, der bevarer et fornemt element, den glemsomme funktion G: Ring * → Ring har en venstre dual — den forbinder et par ( R [ x ], x ) med R [ x ] , hvor R [ x ] er et ringpolynomium med koefficienter fra R .
Abelisering. Den glemsomme funktoren G : Ab → Grp har en venstre adjoint, kaldet abeliseringsfunktøren, som tildeler hver gruppe G en kvotientgruppe af kommutanten : G ab = G /[ G , G ] .

Topologi eksempler

En funktor med to konjugater. Lad G være en funktor, der forbinder et topologisk rum med dets støttesæt (det vil sige, den glemmer topologien). G har en venstre dual F , der giver mængderne den diskrete topologi , og en højre dual H , der giver mængderne den trivielle topologi .
Overbygning og Loop Spaces . Givet de topologiske rum X og Y , kan man konstruere et rum [ SX , Y ] af homotopiklasser af afbildninger fra suspensionen af SX til Y. Det er naturligt isomorft for rummet [ X , Ω Y ] af homotopiklasser af afbildninger fra X til sløjferummet Ω Y , så suspensions- og sløjferumsfunktionerne er konjugerede i homotopikategorien af topologiske rum.
Indlejringen af G : KHaus → Top af kategorien af kompakte Hausdorff-rum i kategorien af topologiske rum har en venstre tilgrænsende funktion F : Top → KHaus , Stone-Cech-komprimeringen . Tallene for dette par definerer en kontinuerlig kortlægning fra et vilkårligt topologisk rum X til dets komprimering. Denne mapping er en indlejring , hvis og kun hvis X er et helt regulært rum .

Egenskaber

Eksistens

Ikke hver funktion G : C → D har en venstre eller højre adjoint. Hvis C er en fuld kategori , så har G ifølge Peter Freuds adjoint funktorsætning en venstre adjoint, hvis og kun hvis der for et hvilket som helst Y fra kategori D eksisterer en familie af morfismer:

f i : Y → G ( X i ) ,

hvor indekserne jeg løber gennem sættet I sådan, at enhver morfisme:

h : Y → G ( X )

kan skrives som:

h = G ( t )o f i

for nogle i i I og noget morfisme:

t : Xi → X i C. _ _

Et lignende udsagn kendetegner funktorer, der har en højre adjoint.

Unikhed

Hvis en funktion F : C ← D har to rigtige konjugater G og G ′ , så er G og G ′ naturligt isomorfe .

På den anden side, hvis F efterlades konjugeret til G , og G er naturligt isomorf til G ′ , så efterlades F også konjugeret til G ′ .

Sammensætning

Konjugationssammensætninger kan tages på en naturlig måde. Hvis 〈F , G , ε, η〉 er en konjugation mellem C og D , og 〈F ′, G ′, ε′, η′〉 er en konjugation mellem D og E , så er funktoren

F'\circ F:{\mathcal {C}}\leftarrow {\mathcal {E}}

venstre konjugat til funktoren

G\circ G':{\mathcal {C}}\to {\mathcal {E}}

Man kan danne en kategori, hvis objekter alle er små kategorier, og hvis morfismer er konjugationer.

Pendling med grænser

Den vigtigste egenskab ved adjoint-funktioner er deres kontinuitet: hver funktion, der har en venstre adjoint (dvs. er en højre adjoint) pendler med grænser i kategorisk betydning. Følgelig er en funktor, der har en højre adjoint, endeligt kontinuert , det vil sige, den pendler med colimits . Da mange konstruktioner er grænser eller kogrænser, følger der umiddelbart flere konsekvenser heraf. For eksempel:

Anvendelse af den rigtige adjoint-funktion på et produkt giver et produkt af billeder.
Anvendelse af den venstre tilstødende funktion på et coprodukt giver et coprodukt af billeder.
Hver højre konjugat og additiv funktion mellem Abelske kategorier er venstre nøjagtige .
Hver venstre konjugat og additiv funktor mellem Abelske kategorier er nøjagtig til højre .

Litteratur

McLane S. Kapitel 4. Adjoint functors // Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

F. Borceux. Håndbog i Kategorisk Algebra 1. Grundlæggende Kategoriteori. — Encyclopaedia of Mathematics and its Applications. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 345 s. — ISBN 0 521 44178 1 .
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. Abstrakte og konkrete kategorier. Glæden ved katte (engelsk) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)