Nøjagtig funktion

En nøjagtig funktionor er en funktion , der kortlægger nøjagtige sekvenser til nøjagtige. Præcise funktorer er praktiske til beregninger i homologisk algebra , da de umiddelbart kan anvendes på objektopløsningsmidler . Meget af homologisk algebra er blevet bygget for at gøre det muligt at arbejde med funktorer, der ikke er nøjagtige, men deres forskel fra nøjagtige er kontrollerbar.

Definition

Lad og vær Abelske kategorier og vær en additiv funktionør . Overvej en vilkårlig kort nøjagtig rækkefølge : $P$ $Q$ $F:P\to Q$

0\to A\to B\to C\to 0

genstande . $P$

Hvis er en kovariant funktion , er: $F$ $F$

semi -præcis hvis nøjagtig; $F(A)\til F(B)\til F(C)$
nøjagtig til venstre , hvis nøjagtig; $0\til F(A)\til F(B)\til F(C)$
nøjagtig til højre , hvis nøjagtig; $F(A)\til F(B)\til F(C)\til 0$
nøjagtig , hvis nøjagtig. $0\til F(A)\til F(B)\til F(C)\til 0$

Hvis er en kontravariant funktion fra til , er: $G$ $P$ $Q$ $G$

semi -præcis hvis nøjagtig; $G(C)\to G(B)\to G(A)$
nøjagtig til venstre , hvis nøjagtig; $0\to G(C)\to G(B)\to G(A)$
nøjagtig til højre , hvis nøjagtig; $G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0$
nøjagtig , hvis nøjagtig. $0\to G(C)\to G(B)\to G(A)\to 0$

Det er ikke nødvendigt at tage præcis denne type sekvens som den indledende; for eksempel kan en eksakt funktor defineres som en funktor, der kortlægger nøjagtige sekvenser af formen til nøjagtige sekvenser. $A\to B\to C$

Der er en anden definition af en eksakt funktor: en kovariant funktor efterlades nøjagtig, hvis og kun hvis den kortlægger endelige grænser til grænser. Når man erstatter ordet "covariant" med "contravariant" eller "venstre" med "højre", skal man samtidig erstatte "grænser" med "kogrænser". En nøjagtig funktionor er en funktion, der er venstre og højre nøjagtig.

Eksempler

Enhver ækvivalens af Abelske kategorier er nøjagtig.
Det vigtigste eksempel på en venstre eksakt funktionor er Hom . Hvis er en vilkårlig abelsk kategori og er dens objekt, så er en kovariant additiv funktor i kategorien abelske grupper [1] . Denne funktion er nøjagtig, hvis og kun hvis den er projektiv . Følgelig er en kontravariant funktionor nøjagtig, hvis og kun hvis den er injektiv . ${\mathcal {A}}$ $EN$ $\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(A,X)$ $EN$ $\mathrm {Hom} _{\mathcal {A}}(X,A)$ $EN$
Hvis er et højre -modul , så er det muligt at definere en funktion fra kategorien af venstre -moduler ved at bruge tensorproduktet over . Denne funktion er rigtig nøjagtig; det er nøjagtigt, hvis og kun hvis er et fladt modul . $T$ $R$ $H_{T}$ $R$ ${\mathbf {Ab))$ $R:H_{T}(X)=T\nogle gange X$ $T$
De foregående to eksempler kan generaliseres: i et hvilket som helst par adjoint additiv funktorer er venstre adjoint højre nøjagtig og højre adjoint er venstre eksakt.

Noter

↑ Jacobson, 2009 , Sætning 3.1, s. 98.

Litteratur

Atiyah M., McDonald I. Introduktion til kommutativ algebra. - Factorial Press, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
Nathan Jacobson . Grundlæggende algebra. — 2. - Dover, 2009. - Vol. 2. - ISBN 978-0-486-47187-7 .
Artin, Michael; Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier , red. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1. Forelæsningsnotater i matematik (på fransk) 269. Berlin; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0 .