Pearson distribution

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. maj 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Pearson-fordelingen er en kontinuerlig sandsynlighedsfordeling, hvis sandsynlighedstæthed er løsningen af en differentialligning , hvor tallene er fordelingens parametre. [1] Særlige tilfælde af Pearson-fordelingen er beta-fordelingen (type I Pearson-fordeling), gamma-fordelingen (type III Pearson-fordeling), Student-fordelingen (type VII Pearson-fordeling), eksponentialfordelingen (type X Pearson-fordeling), normalfordelingen (fordeling Pearson XI type). Pearson-fordelinger er meget udbredt i matematisk statistik til udjævning af fordelinger af empiriske data. For at tilnærme sandsynlighedsfordelingen af eksperimentelle data ved hjælp af numeriske metoder beregnes deres første fire momenter, og derefter beregnes parametrene for Pearson-fordelingen baseret på dem. [2] $\frac{df(x)}{dx}=\frac{a_{1}x+a_{0}}{b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}}f( x)$ $a_{0}, a_{1}, b_{0}, b_{1}, b_{2}$

Egenskaber

Pearson-fordelingerne er fuldstændig bestemt af de første fire momenter af den stokastiske variabel. Lad være det centrale moment af en stokastisk variabel med Pearson-fordelingen. Så hvis , så $\mu_{k}$ $k$ $a_{1}=1$

a_{0}=\frac{\mu_{3}(\mu_{4}+3\mu_{2}^{2})}{A}

b_{0}=-\frac{\mu_{2}(4\mu_{2}\mu_{4}-3\mu_{3}^{2})}{A}

b_{1}=-\frac{\mu_{3}(4\mu_{2}\mu_{4}+3\mu_{2}^{2})}{A}

b_{2}=-\frac{2 \mu_{2} \mu_{4} - 3\mu_{3}^{2} - 6 \mu_{2}^{3}}{A}

hvor . [en] $A = 10 \mu_{4} \mu_{2} - 18 \mu_{2}^{3}- 12 \mu_{3}^{2}$

Typer af Pearson-distributioner

Afhængigt af fordelingen af rødderne af kvadrattrinomialet skelnes der 12 typer af Pearson-fordelinger. Lad os betegne , . [en] $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}$ $D = b_{0}b_{2}-b_{1}^{2}$ $\lambda = \frac{b_{1}^{2}}{b_{0}b_{2}}$

Jeg skriver

Type I Pearson-distributioner er beta-distributioner. Betingelser: , , , Sandsynlighedstæthed: , hvor , . [en] $D<0$ $\lambda < 0$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = (\alpha+x)(-\beta+x)b_{2}$ $\alfa ,\beta >0$ $f(x)=\begin{cases} \frac{\alpha^{2m}\beta^{2n}}{(\alpha+\beta)^{m+n+1}B(m+1, n+1 )}(\alpha+x)^{m}(\beta - x)^{n}, & x \i [ -\alpha, \beta ] \\ 0, & x \notin [ -\alpha, \beta ]\end{cases}$ $B(m+1, n+1) = \frac{\Gamma(m+1)\Gamma(n+1)}{\Gamma(m+n+2)}$ $m > -1, n > -1$

Type II

Betingelser som for type I med yderligere betingelser . [en] $\alpha = \beta, m = n$

Type III

Type III Pearson-fordelinger er gamma-fordelinger. Betingelser: , , . Sandsynlighedstæthed: . [en] $D<0$ $\lambda = \infty$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = 2(\alpha+x)b_{1}$ $f(x)=\begin{cases} \frac{k^{m+1}}{\Gamma(m+1)}(\alpha+x)^{m}e^{-k(\alpha+x )}, &x > -\alpha, k > 0 \\ 0, &x \leqslant -\alpha \end{cases}$

Type IV

Betingelser: , , . Sandsynlighedstæthed: , , , hvor . [3] $D>0$ $0 < \lambda < 1$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = (\alpha^{2}+x^{2})b_{2}$ $f(x)=c(\alpha^{2}+x^{2})^{-m}\exp{-\nu \arctan{\frac{x}{\alpha))}$ $x \in (-\infty, \infty)$ $m \geqslant \frac{1}{2}$ $c^{-1}=\int_{-\infty}^{\infty}(\alpha^{2}+x^{2})^{-m}\exp{-\nu \arctan{\frac{ x}{\alpha}}}dx$

Type V

Betingelser: , , . Sandsynlighedstæthed: . [3] $D=0$ $\lambda=1$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = (\alpha+x)^{2}b_{2}$ $f(x)=\begin{cases} \frac{\gamma^{m-1}}{\Gamma{m-1}}x^{-m}e^{-\frac{\gamma}{x} }, & \gamma > 0, m > 1, x > 0 \\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}$

Type VI

Betingelser: , , . Sandsynlighedstæthed: . [3] $D<0$ $\lambda > 1$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = (\alpha+x)(x-\beta)b_{2}$ $f(x)=\begin{cases} \frac{(\alpha+\beta)^{-(m+n+1)}}{B(-mn-1, n+1)}(x+\alpha)^ {m}(x-\beta)^{n}, & x > \beta, m - 1> 0, n > -1 \\ 0, & x \leqslant \beta \end{cases}$

Type VII

Type VII Pearson distribution er Students distribution. Betingelser: , , . Sandsynlighedstæthed: , , . [3] $D>0$ $\lambda=0$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = (\alpha^{2}+x^{2})b_{2}$ $f(x)={\frac {\alpha ^{2m-1}}{B(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}))) } (\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}$ $x \in (-\infty, \infty)$ $m \geqslant \frac{1}{2}$

Type VIII

Betingelser: , , . Sandsynlighedstæthed: . [3] $D<0$ $\lambda < 0$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = x(x+\alpha)b_{2}$ $f(x)=\begin{cases} \frac{m+1}{\alpha^{m+1}}(x+\alpha)^{m}, & x \in [ -\alpha, 0 ], - 1 < m < 0 \\ 0, & x \notin [ -\alpha, 0 ] \end{cases}$

Type IX

Betingelser: , , . Sandsynlighedstæthed: . [3] $D<0$ $\lambda < 0$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = x(x+\alpha)b_{2}$ $f(x)=\begin{cases} \frac{m+1}{\alpha^{m+1}}(x+\alpha)^{m}, & x \in [ -\alpha, 0 ], m < -1 \\ 0, & x \notin [ -\alpha, 0 ] \end{cases}$

X type

Pearson X-typefordelingen er den eksponentielle fordeling. Betingelser: , , , . Sandsynlighedstæthed: [2] $D=0$ $\lambda=0$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = b_{0}$ $a_{1} = 0$ $f(x)=\begin{cases} \gamma e^{-\gamma x}, & x > 0, \gamma > 0 \\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}$

Type XI

Pearson XI-typefordelingen er normalfordelingen. Betingelser: , på ubestemt tid, . Sandsynlighedstæthed: . [2] $D=0$ $\lambda$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = b_{0}$ $f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp{-\frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}, x \in ( - \infty, \infty )$

Type XII

Betingelser som for type I med yderligere betingelser . [en] $\alpha = \beta, m = -n$

Noter

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Korolyuk, 1985 , s. 133.
↑ 1 2 3 Korolyuk, 1985 , s. 135.
↑ 1 2 3 4 5 6 Korolyuk, 1985 , s. 134.

Litteratur

Korolyuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Håndbog i sandsynlighedsteori og matematisk statistik. - M. : Nauka, 1985. - 640 s.

Sandsynlighedsfordelinger
Diskret	Bernoulli Binomial Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerlig	Beta Weibulla Gamma- hypereksponentiel Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussisk) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformet kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerende Tracey - Vidoma Fisher Chi-kvadrat Eksponentiel Varians-gamma Multivariat normal kopula