Premier Wieferich

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. april 2022; checks kræver 2 redigeringer .

I talteorien er et Wieferich- primtal et primtal, således at det deler sig [1] , hvilket er en styrkelse af Fermats lille sætning om, at ethvert ulige primtal deler sig . Disse primtal blev først beskrevet af Arthur Wieferich i 1909 i et papir vedrørende Fermats sidste sætning . På det tidspunkt var begge Fermats sætninger velkendte for matematikere. [2] [3] $s$ $p^{2}$ $2^{{p-1}}-1$ $s$ $2^{{p-1}}-1$

Siden da er der fundet forbindelser mellem Wieferich-primtal og forskellige andre objekter i matematik, herunder andre typer af primtal ( Mersenne- og Fermat- tal ), særlige typer af pseudoprimtal og nogle generaliseringer af selve Wieferich-primtal. Med tiden blev åbne forbindelser udvidet til nogle andre egenskaber ved primtal, såvel som generelle objekter som talfeltet og abc-hypotesen .

På trods af adskillige forsøg på en bred søgning kendes kun to Wieferich-primtal - disse er 1093 og 3511 (sekvens A001220 i OEIS ).

Forklaring af egenskaberne ved Wieferich-primtal

En styrket version af Fermats lille sætning , som opfyldes af Wieferich-primtal, udtrykkes normalt som en modulokongruens . Det følger af definitionen af sammenligning, at denne egenskab svarer til definitionen givet i begyndelsen af artiklen. Således, hvis et primtal p opfylder sammenligningen, deler det primtal Fermat-kvotienten . ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$ ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p))$

Her er to eksempler:

For p = 11 får vi , hvilket giver tallet 93, som har en rest på 5, når det divideres med 11. Så 11 er ikke et Wieferich-primtal. ${\tfrac {2^{10}-1}{11}}$

For p = 1093 får vi enten 485439490310...852893958515 (de 302 cifre i midten er udeladt), og dette tal har en rest på 0, når det divideres med 1093, så 1093 er et Wieferich-primtal. ${\tfrac {2^{1092}-1}{1093}}$

Søgehistorik og status

I 1902 beviste WF Meyer sammenligningsløsningssætningen . [4] :930 Senere i samme årti viste Arthur Wieferich , at hvis det første tilfælde af Fermats sidste sætning har en løsning på et ulige primtal, så skal det primtal opfylde kongruensen for og . Med andre ord, hvis der findes en løsning i heltal og er et ulige primtal, der ikke dividerer ( ), så opfylder . I 1913 udforskede Bachmann (Paul Gustav Heinrich Bachmann) resterne . Han stillede spørgsmålet - hvornår bliver denne rest til nul , og forsøgte at finde formler til at besvare det stillede spørgsmål. [5] ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{r))))$ $a=2$ $r=2$ $x^{p}+y^{p}+z^{p}=0$ $x,y,z$ $s$ $xyz$ $p\nmidt xyz$ $s$ ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$ ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p))\,{\bmod {\,}}p$

I 1913 opdagede Waldemar Meissner, at primtallet 1093 er et Wieferich-primtal. Han viste også, at dette er den eneste primtal mindre end 2000. Han beregnede den mindste rest for alle primtal og fandt ud af, at denne rest er nul for og , og fandt derved et modeksempel til Grawes formodning om umuligheden af Wieferichs sammenligning. [6] ${\tfrac {2^{t}-1}{p))\,{\bmod {\,}}p$ $p<2000$ $t=364$ $p=1093$

Senere krævede Hentsshel (E. Haentzschel) at gentjekke rigtigheden af Meissners beregninger ved kun at bruge elementære operationer. [7] :664 Inspireret af Eulers tidlige arbejde forenklede han Meisners bevis ved at vise det , og bemærkede, at det er en divisor af . [8] Det har også vist sig, at det er muligt at teste, om 1093 er et Meisner-primtal uden at bruge komplekse tal, i modsætning til den metode, Meisner brugte, [9] selvom Meisner selv har gjort det klart, at han er opmærksom på mulighed for et sådant bevis. [6] :665 $1093^{2}\midt 2^{182}+1$ $2^{182}+1$ $2^{364}-1$

I 1922 opdagede NGWH Beeger, at primtallet 3511 er et Wieferich-primtal [10] . Et andet bevis på, at 3511 er en Wieferich-prime blev udgivet i 1965 af Richard K. Guy . [11] I 1960 fordoblede Kravitz [12] rekorden for verificerede numre, der tidligere var sat af Fröberg [13] I 1961 udvidede Riesel søgningen til 500.000 ved hjælp af BESK [14] . Omkring 1980 var Lehmer i stand til at nå grænsen på 6⋅10 9 [15] . Denne søgegrænse blev flyttet til 2,5⋅10 15 i 2006 [16] og derefter til 3⋅10 15 . Det er nu kendt, at hvis der er andre Wieferich-primtal, skal de være mindst 6,7⋅10 15 [17] . Søgningen efter nye Wieferich-primtal udføres i øjeblikket i Wieferich@Home distribuerede computerprojekt . I december 2011 blev endnu et projekt lanceret - PrimeGrid [18] . I oktober 2014 nåede den søgegrænsen på 3⋅10 17 , og søgningen fortsætter [19] .

Chris Caldwell foreslog , at der er et begrænset antal Wieferich-primtal [1] . Den modsatte formodning er også blevet fremsat, at der (som for Wilson-primtal ) er uendeligt mange Wieferich-primtal, og at antallet af Wieferich-primtal mindre end , er et heuristisk resultat efter den plausible antagelse, at for en primtal , den -te potens af enhedsroden modulo er ensartet fordelt på den multiplikative gruppe af heltal modulo [20] . $x$ $\ln \ln x$ $s$ $(s-1)$ $p^{2}$ $p^{2}$

Egenskaber

Forbindelse med Fermats sidste sætning

Følgende sætning, bevist af Wieferich i 1909, forbinder Wieferich-primtallene og Fermats sidste sætning : [21]

Lad være prime og lad være heltal sådan, at . Antag yderligere, at det ikke deler produktet . Så er et primtal fra Wieferich. $s$ $x,y,z$ $x^{p}+y^{p}+z^{p}=0$ $s$ $xyz$ $s$

Betingelsen "hvor ikke deler nogen af eller " er kendt som det første tilfælde af Fermats sidste sætning (FLTI) [22] [23] . FLTI er falsk for prime , hvis der findes en løsning til Fermats ligning for , ellers er FLTI for opfyldt [24] . I 1910 udvidede Mirimanov [25] sætningen ved at vise, at hvis betingelserne for sætningen er opfyldt for nogle primtal , så skal den også dividere . Senere beviste Granville og Monagan, at den skal dele sig for enhver prime . [26] Suzuki udvidede beviset til alle primtal . [27] $s$ $x,y$ $z$ $s$ $s$ $s$ $s$ $p^{2}$ $3^{p-1}-1$ $p^{2}$ $m^{p-1}-1$ $m\leqslant 89$ $m\leqslant 113$

Lad være et sæt af par af heltal, og deres største fælles divisor er 1. $H_{p}$

Lad , være en udvidelse af feltet opnået ved at inkludere alle polynomier i et algebraisk tal i feltet af rationelle tal (en sådan udvidelse er kendt som et talfelt eller i dette tilfælde, hvor ξ er rødder af enhed , et cirkulært talfelt ). [26] :332 $\xi =\cos 2\pi /p+i\sin 2\pi /p$ $K=\mathbb {Q} (\xi )$ $\xi$

Lad være sæt af par, der opfylder egenskaberne: $H_{p}$ $(x,y)$

jeg gcd $(x,y)=1$
ii - coprime med og $s$ $x,y$ $x+y$
iii ${\displaystyle (x+y)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$
iv er den -. grad af idealet . $x+\xi y$ $s$ $K$

Det følger af det unikke ved faktoriseringen af idealer i , at hvis de er løsninger (af det første tilfælde) af Fermats sidste sætning, så opdeler , og og er elementer af . [26] :333 Granville og Monagan viste, at hvis og kun hvis er en Wieferich-primtal. [26] :333 $\mathbb {Q} (\xi )$ $x,y,z$ $s$ $x+y+z$ $(x,y),(y,z)$ $(z,x)$ $H_{p}$ $(1,1)\i H_{p}$ $s$

Relation til abc -formodningerne og ikke-Wieferich-primtal

Et ikke-Wieferich primtal er et primtal , der opfylder betingelsen . D.H. Silverman (Joseph H. Silverman) viste i 1988, at hvis abc-hypotesen er sand, så er der uendeligt mange ikke-Wieferich-primtal. [28] $s$ ${\displaystyle 2^{p-1}\ikke \equiv 1{\pmod {p^{2))))$

Mere præcist viste han, at gyldigheden af abc-hypotesen indebærer, at antallet af ikke-Wieferich-primtal for er større for nogle konstante . [29] :227 $p<X$ $C\ln X$ $C$

Sættet af Wieferich-primtal og sættet af ikke-Wieferich-primtal , nogle gange betegnet som hhv ). Det har vist sig, at eksistensen af et uendeligt antal ikke-Wieferich-tal følger af en svækket version af abc-formodningen kaldet ABC-(k, ε)-hypotesen [31] . $W_{1}$ ${\displaystyle W_{2}^{c))$

Derudover følger eksistensen af et uendeligt antal ikke-Wieferich-tal også af eksistensen af et uendeligt antal kvadratfrie Mersenne-tal [32] .

Det samme følger af eksistensen af reelle , sådan at mængden har en tæthed på 1. Her defineres kompleksitetsindekset for helheden som og , hvor er produktet af alle primfaktorer n . [30] :4 $\xi$ ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :\lambda (2^{n}-1)<2-\xi \))$ $\lambda (n)$ $n$ ${\tfrac {\log n}{\log \gamma (n)))$ $\gamma (n)=\prod _{p\midt n}p$ $\gamma (n)$

Forbindelse med Mersenne og Fermat primtal

Det er kendt, at det th Mersenne-tal kun er primtal, hvis det er primtal. Af Fermats lille sætning følger det, at hvis er primtal, er deleligt med . Da Mersenne tal med primtal indekser og er relativt prime, en prime divisor af , hvor er et primtal, er en Wieferich prime, hvis og kun hvis den deler . [33] $n$ $M_{n}=2^{n}-1$ $n$ $p>2$ $M_{p-1}(=2^{p-1}-1)$ $s$ $M_{p}$ $M_{q}$ $s$ $M_{q}$ $q$ $p^{2}$ $M_{q}$

En Mersenne-primtal kan således ikke også være en Wieferich-primtal.

Et interessant problem forbliver uløst : Er alle Mersenne-tal med primtal fri for kvadrater ? Hvis Mersenne-tallet ikke er kvadratfrit, så eksisterer der et primtal , som dividerer , hvilket betyder, at det er et Wieferich-primtal. Så hvis der er endeligt mange Wieferich-primtal, så skal der være mindst et endeligt antal ikke-kvadratiske Mersenne-tal. Rotkevich (Rotkiewicz) viste, at det omvendte også er sandt, det vil sige, at hvis der er uendeligt mange kvadratfrie Mersenne-tal, så er der også uendeligt mange ikke-Wieferich-primtal. [34] $M_{q}$ $s$ $p^{2}$ $M_{q}$ $s$

På samme måde, hvis er primtal og dividerer Fermat-tallet , så skal det være et Wieferich-primtal [35] . $s$ $p^{2}$ $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ $s$

For primtallene 1093 og 3511 er det vist, at ingen af dem er en divisor af noget Mersenne- eller Fermat-tal [36] .

Forholdet til andre ligeværdigheder

Scott (Scott) og Styer (Styer) viste, at lighed højst har én løsning i positive heltal , hvis ved eller , hvor betyder den multiplikative rækkefølge af tallet 2 modulo . [37] :215, 217-218 $p^{x}-2^{y}=d$ $(x,y)$ $p^{4}\nmidt 2^{\operatørnavn {ord} _{p}(2)}-1$ $p\not \equiv 65{\pmod {192}}$ $p^{2}\nmidt 2^{\operatørnavn {ord} _{p}(2)}-1$ $\operatorname {ord} _{p}(2)$ $s$

De viste også, at løsningerne af ligningen skal tilhøre et bestemt sæt, men udsagnet holder op med at være sandt, hvis er et Wieferich-primtal større end . [38] :258 $\pm a^{x_{1}}\pm 2^{y_{1}}=\pm a^{x_{2}}\pm 2^{y_{2}}=c$ $-en$ $1{,}25\ gange 10^{15}$

Binær periodicitet p −1

Johnson (Johnson) bemærkede [39] , at de to kendte Wieferich-primtal er en større end tallene med en periodisk binær repræsentation ( ). Wieferich@Home-projektet leder efter Wieferich-primtal ved at kontrollere tal pr. enhed af store tal med en periodisk binær repræsentation, men blandt tal op til 3500 bit lange og med en periode på op til 24 bit blev der ikke fundet nye Wieferich-primtal [ 40] . ${\displaystyle 1092=010001000100_{2};\ 3510=110110110110_{2))$

Tilsvarende sammenligninger

Wieferich-primtal kan defineres ved en anden sammenligning, svarende til den almindeligt anvendte.

Hvis et primtal Wieferich tal, kan vi gange begge sider af sammenligningen med 2 og få . Ved at hæve begge dele af sammenligningen til magten , får vi , hvorfra for alle . $s$ ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$ ${\displaystyle 2^{p}\equiv 2{\pmod {p^{2))))$ $s$ $2^{p^{2}}\equiv 2^{p}\equiv 2{\pmod {p^{2}}}$ $2^{p^{k}}\equiv 2{\pmod {p^{2}}}$ $k\geqslant 1$

Det omvendte er også sandt: Af for alt følger det, at multiplikationsrækkefølgen af tallet 2 modulo deler gcd , hvor er Euler-funktionen , så det og tallet er et Wieferich-primtal. $2^{p^{k}}\equiv 2{\pmod {p^{2}}}$ $k\geqslant 1$ $p^{2}$ $(p^{k}-1,\varphi (p^{2}))=p-1$ $\varphi$ ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$ $s$

Boyai viste, at hvis og er simple, er et positivt heltal ikke deleligt med og , sådan at , så . Hvis vi antager , får vi . [41] :284 Og i kraft af Eulers sætning svarer til . [41] :285-286 $s$ $q$ $-en$ $s$ $q$ $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {q)),\ a^{q-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ $a^{pq-1}\equiv 1{\pmod {pq))$ $p=q$ ${\displaystyle a^{p^{2}-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$ ${\displaystyle a^{p^{2}-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$ ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))$

Forbindelse med pseudoprimer

Det blev observeret, at begge kendte Wieferich-primtal deler alle base 2 ikke-kvadratfrie pseudoprimer op til . [42] Senere beregninger har vist, at kun 1093 og 3511 er gentagne faktorer af pseudoprimer op til. [43] $25\cdot 10^{9}$ $10^{12}$

Der er følgende sammenhæng: Lad være et pseudoprimtal i basis 2 og være en primtal divisor af . Hvis , så . [24] :378 $n$ $s$ $n$ ${\tfrac {2^{n-1}-1}{n}}\ikke \equiv 0{\pmod {p}}$ ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\ikke \equiv 0{\pmod {p}}$

Yderligere, hvis er en Wieferich-primtal, så en catalansk pseudoprimtal [44] . $s$ $p^{2}$

Forholdet til rettede grafer

For alle primtal op til 100.000 kun i to tilfælde: og , hvor er modulus for fordoblingsdiagrammet og giver antallet af hjørner i cyklussen dannet af en. Udtrykket fordoblingsdiagram refererer til en rettet graf med 0 og naturlige tal mindre end som toppunkter og buer, der går fra toppunkt til toppunkt modulo . [45] :74 Det blev fundet, at for alle ulige primtal, enten , eller . [45] :75 $L(p^{n+1})=L(p^{n})$ $L(1093^{2})=L(1093)=364$ $L(3511^{2})=L(3511)=1755$ $m$ $L(m)$ $m$ $x$ $2x$ $m$ $L(p^{n+1})=p\ gange L(p^{n})$ $L(p^{n+1})=L(p^{n})$

Egenskaber forbundet med numeriske felter

Det blev fastslået, at og hvis og kun hvis , hvor er et ulige primtal og er den grundlæggende diskriminant af det komplekse kvadratiske felt . $\chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1$ $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0))}{\big )}{\big )}=1$ ${\displaystyle 2^{p-1}\ikke \equiv 1{\pmod {p^{2))))$ $s$ $D_{0}<0$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p^{2}}}{\big )))$

Følgende blev også vist:

Lad være et primtal Wieferich. Hvis , lad være den grundlæggende diskriminant af et komplekst kvadratisk felt $s$ $p\equiv 3{\pmod {4}}$ $D_{0}<0$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p}}{\big )))$

Hvis , lad være den grundlæggende diskriminant af det komplekse kvadratiske felt . $p\equiv 1{\pmod {4}}$ $D_{0}<0$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {4-p}}{\big )))$

Så og ( og i denne sammenhæng betyder Iwasawa- invarianten ). [46] :27 $\chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1$ $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0))}{\big )}{\big )}=1$ $\chi$ $\lambda$

Også installeret:

Lade være et ulige primtal, og være primtal sådan, at og modulo rækkefølgen er lig med . $q$ $k$ $s$ $p=2k+1,k\equiv 3{\pmod {4)),p\equiv -1{\pmod {q)),p\ikke \equiv -1{\pmod {q^{3} }}$ $q$ $k$ ${\tfrac {k-1}{2))$

Antag, at divider er antallet af klasser af et reelt cirkulært felt , der opnås ved at lægge summen af enhedsroden og dets omvendte element til feltet af rationelle tal . $q$ ${\displaystyle h^{+))$ ${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}\zeta \,\!_{p}+\zeta \,\!_{p}^{-1}{\big )))$ $s$

Så er et primtal fra Wieferich. [47] :55 $q$

Dette gælder fortsat, hvis betingelserne erstattes af ${\displaystyle p\equiv -1{\pmod {q)),p\ikke \equiv -1{\pmod {q^{3))))$ ${\displaystyle p\equiv -3{\pmod {q)),p\ikke \equiv -3{\pmod {q^{3))))$

Udsagnet forbliver sandt, når betingelsen erstattes af (i dette tilfælde vil det være et Fibonacci-Wieferich-primtal ), og uligheden vil blive erstattet af . [48] :376 $p\equiv -1{\pmod {q))$ $p\equiv -5{\pmod {q)),$ $q$ ${\displaystyle p\not \equiv -5{\pmod {q^{3))))$

Perioder af Wieferich-primtal

Lad perioden for tallet i basis være perioden for brøken i basis . For eksempel er perioden for tallet 3 i basis 10 1, hvilket normalt skrives som 0,(3), mens perioden for tallet 3 i basis 2 er 2, og tallet kan skrives som 0,(01 ). Generelt er perioden for et tal modulo - eksponenten . [49] :314 Et Wieferich-primtal i basis er et primtal , der opfylder sammenligningen . Hvis deler , har perioden samme periode som , og sådanne primtal er kendt som kvadratiske primtal . [49] :316 Garza og Young angiver, at perioden 1093 er 1092, og den er lig med perioden 1093 2 , [49] :314 . $s$ $x$ $b$ ${\tfrac {1}{x}}$ $b$ $s$ $x$ $b$ $x$ $b$ $x$ ${\displaystyle b^{x-1}\equiv 1{\pmod {x^{2))))$ $x^{2}$ $b^{p-1}-1$ $x^{2}$ $x$

Rækkefølgen af 2-tal-modulpotenserne af Wieferich-primtal

Kun primtallene 1093 og 3511 blandt tallene op opfylder , og det vides, at og . [50] [51] $4\cdot 10^{12}$ $\operatørnavn {ord} _{p^{2}}(2)=\operatørnavn {ord} _{p}(2)$ $\operatorname {ord} _{1093}(2)=364$ $\operatorname {ord} _{3511}(2)=1755$

HS Vandiver viste, at hvis og kun hvis . [52] :187 ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3))))$ $1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$

Generaliseringer

Wieferich næsten primtal

Et primtal , der opfylder sammenligning med et lille , kaldes normalt et næsten primtal Wieferich-tal (sekvens A195988 i OEIS ). [20] [53] Wieferich næsten primtal c er Wieferich primtal. $s$ $2^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}$ $|A|$ $A=0$

For nylig har distribuerede computerprojekter, udover hovedsøgningen efter Wieferich-primtal, også forsøgt at opdage næsten Wieferich-primtal. [17] [54]

Den følgende tabel præsenterer alle Wieferich næsten primtal med i intervallet . [55] Dette interval blev nået af en eftersøgning organiseret af P. Carlisle, R. Crandall og M. Rodenkirch. [16] [56] $|A|\leqslant 10$ $[10^{9},3\cdot 10^{15}]$

s	1 eller -1	EN
3520624567	+1	−6
46262476201	+1	+5
47004625957	−1	+1
58481216789	−1	+5
76843523891	−1	+1
1180032105761	+1	−6
12456646902457	+1	+2
134257821895921	+1	+10
339258218134349	−1	+2
2276306935816523	−1	−3

Dorais og Klyve [17] brugte en anden definition af næsten primtal Wieferich-tal, nemlig som et primtal p med lille værdi , hvor er Fermat-kvotienten for tallet 2 modulo p'. $\left|{\tfrac {\omega (p)}{p))\right|$ $\omega (p)={\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$

Følgende tabel viser alle primtal med . $p\leqslant 6{,}7\ gange 10^{15}$ ${\displaystyle \left|{\tfrac {\omega (p)}{p))\right|\leq 10^{-14))$

s	$\omega (p)$	${\displaystyle \left\|{\tfrac {\omega (p)}{p))\right\|\ gange 10^{14))$
1093	0	0
3511	0	0
2276306935816523	+6	0,264
3167939147662997	−17	0,537
3723113065138349	−36	0,967
5131427559624857	−36	0,702
5294488110626977	−31	0,586
6517506365514181	+58	0,890

Wieferich primer i base a

Et Wieferich-primtal med hensyn til basis a er et primtal p , der opfylder sammenligningen

{\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2))))

. [fire]

Sådanne primtal kan ikke dividere a , for så skal de også dividere 1.

Par Wiferich

Et Wieferich-par er et par primtal , der opfylder $p,q$

p^{q-1}\equiv 1{\pmod {q^{2}}},\ q^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}

Således danner Wieferich-primtallet et par . Det eneste kendte nummer for denne sag er . 6 par Wiferich kendes. [57] $p\equiv 1{\pmod {4}}$ $(s,2)$ $p=1093$

Wiferich numre

Wieferich-tallet er et ulige heltal , der opfylder sammenligningen , hvor angiver Euler-funktionen . Hvis et Wieferich-tal er primtal, så er det også et Wieferich-primtal. $w\geqslant 3$ ${\displaystyle 2^{\varphi (w)}\equiv 1{\pmod {w^{2))))$ $\varphi$ $w$

Flere første Wieferich-numre:

1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, … OEIS -sekvens A077816

Det kan påvises, at hvis der kun er et endeligt antal Wieferich-primtal, så er antallet af Wieferich-primtal også endeligt. Især hvis Wieferich-primtallene kun er 1093 og 3511, så er der præcis 104 Wieferich-tal, og de svarer til de tal, der er kendt i øjeblikket. [58]

Mere generelt er et heltal et Wieferich-tal i base , hvis . [59] :31 $w$ $-en$ ${\displaystyle a^{\varphi (w)}\equiv 1{\pmod {w^{2))))$

Ifølge en anden definition er Wieferich-tallet et positivt ulige q , således at q og ikke er coprime , hvor m er eksponenten 2 modulo q . De første par af disse tal er: [60] ${\tfrac {2^{m}-1}{q))$

21 , 39 , 55 , 57 , 105, 111, 147, 155 , 165, 171, 183 , ... OEIS -sekvens A182297

Som ovenfor, hvis et Wieferich-tal q er primtal, så er det et Wieferich-primtal.

Lucas-Wieferich primer

Et Lucas-Wieferich- primtal svarende til et par heltal er et primtal , således at , hvor betyder Lucas-sekvensen af den første slags og er værdien af Legendre-symbolet modulo . Alle Wieferich-primtal er Lucas-Wieferich-primtal svarende til parret . [61] :2088 $(P,Q)$ $s$ ${\displaystyle U_{p-\varepsilon }(P,Q)\equiv 0{\pmod {p^{2))))$ $U_{n}(P,Q)$ $\varepsilon$ $P^{2}-4Q$ $s$ $(3,2)$

Wieferich point

Lad være et globalt felt , dvs. et tal felt eller et felt af funktioner af en variabel over et endeligt felt og lad være en elliptisk kurve . Hvis er et ikke-arkimedisk normpunkt og , hvor , så . kaldes et Wieferich-punkt med hensyn til basen if , et elliptisk Wieferich-punkt med hensyn til basen if , og et stærkt elliptisk Wieferich-punkt med hensyn til basen hvis , hvor er modulo - rækkefølgen og giver antallet af rationelle punkter (over feltet for restprodukter ) af reduktionen på . [62] :206 $K$ $E$ $v$ ${\displaystyle q_{v))$ $K$ $i K$ $v(a)=0$ $v(a^{q_{v}-1})\geqslant 1$ $v$ $-en$ $v(a^{q_{v}-1})>1$ $P\in E$ $N_{v}(P)\i E_{2}$ $P\in E$ ${\displaystyle n_{v}(P)\i E_{2))$ ${\displaystyle n_{v))$ $P$ $v$ $N_v$ $v$ $E$ $v$

Noter

Wolstenholme primtal er en anden type primtal, der opstod fra studiet af Fermats sidste sætning.
Sammenligningstabel - en liste over andre sammenligninger, som primtal opfylder

Links

↑ 1 2 The Prime Glossary: Wieferich prime , < http://primes.utm.edu/glossary/xpage/WieferichPrime.html > Arkiveret 23. april 2013 på Wayback Machine
↑ Israel Kleiner (2000), Fra Fermat til Wiles: Fermats sidste sætning bliver en sætning , Elem. Matematik. T. 55: 21, doi : 10.1007/PL00000079 , < http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf > Arkiveret 19. februar 2012 på Wayback Machine
↑ Leonhard Euler (1736), Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio , Novi Comm. Acad. sci. Petropol. T. 8: 33–37 , < http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/translations/E054tr.pdf > Arkiveret 15. september 2012 på Wayback Machine
↑ 1 2 Wilfrid Keller; Jörg Richstein (2005), Løsninger af kongruensen a p −1 ≡ 1 (mod p r ) , Math. Comp. T. 74 (250): 927–936, doi : 10.1090 / S0025-5718-04-01666-7 04-01666-7/S0025-5718-04-01666-7.pdf > Arkiveret 2. oktober 2012 på vejen tilbage Maskine
↑ Bachmann, P. Über den Rest von ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p))\,{\bmod {\,}}p$ (tysk) // Journal für Mathematik. - 1913. - T. 142 , nr. 1 . - S. 41-50 .
↑ 1 2 Meissner, W. (1913), Über die Teilbarkeit von 2 p − 2 durch das Quadrat der Primzahl p =1093, Sitzungsber. D. Konigl. Preuss. Akad. D. Wiss. (Berlin) T. Zweiter Halbband. juli til december: 663-667
↑ Haentzschel, E. (1926), Über die Kongruenz 2 1092 ≡ 1 (mod 1093 2 ) , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung T. 34: 284 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ /load/img/?PPN=GDZPPN00212534X >
↑ Haentzschel, E. (1925), Über die Kongruenz 2 1092 ≡ 1 (mod 1093 2 ) , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung T. 34: 184 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ /load/img/?PPN=GDZPPN002127695 >
↑ Ribenboim, P. (1983), 1093 , The Mathematical Intelligencer bind 5(2): 28–34 , DOI 10.1007/BF03023623
↑ Beeger, NGWH (1922), On a new case of the congruence 2 p − 1 ≡ 1 (mod p 2 ) , Messenger of Mathematics bind 51: 149–150 , < https://archive.org/stream/messengerofmathet5051cambuof #page/148/mode/2up >
↑ Guy, RK (1965), A property of the prime 3511 , The Mathematical Gazette vol . 49 (367): 78–79 , < https://www.jstor.org/stable/3614249 > Arkiveret 19. november 2015 på Wayback maskine
↑ Kravitz, S. The Congruence 2 p -1 ≡ 1 (mod p 2 ) for p < 100.000 // Math . Comp. : journal. - 1960. - Bd. 14 . — S. 378 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0121334-7 .
↑ Fröberg CE Nogle beregninger af Wilson og Fermat-rester // Math . Comp. : journal. - 1958. - Bd. 12 . — S. 281 . - doi : 10.1090/S0025-5718-58-99270-6 .
↑ Riesel, H. Bemærk om kongruensen a p -1 ≡ 1 (mod p 2 ) // Math . Comp. : journal. - 1964. - Bd. 18 . - S. 149-150 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0157928-6 .
↑ Lehmer, D.H. Baser to på Fermats kvotient // Math . Comp. : journal. — Bd. 36 , nr. 153 . - S. 289-290 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1981-0595064-5 .
↑ 1 2 Ribenboim, Paulo (2004), Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde , New York: Springer, s. 237, ISBN 3-540-34283-4 , < https://books.google.de/books?id=-nEM9ZVr4CsC&pg=PA237 > Arkiveret 8. marts 2016 på Wayback Machine
↑ 1 2 3 Dorais, FG; Klyve, D. A Wieferich Prime Search Op til 6.7⋅10 15 // Journal of Integer Sequences : journal. - 2011. - Bd. 14 , nr. 9 .
↑ PrimeGrid -meddelelse om Wieferich og Wall-Sun-Sun-søgninger Arkiveret 14. marts 2013 på Wayback Machine
↑ PrimeGrid Wieferich prime søgeserverstatistik Arkiveret 6. april 2014 på Wayback Machine
↑ 1 2 Crandall, Richard E.; Dilcher, Karl & Pomerance, Carl (1997), A search for Wieferich and Wilson primes , Math. Comput. T. 66 (217): 433-449 , doi : 10.1090 / S0025-5718-97-00791-6
↑ Wieferich, A. (1909), Zum letzten Fermat'schen Theorem , Journal für die reine und angewandte Mathematik bind 136 (136): 293–302, doi : 10.1515/crll.1909.136.293 , < http://gdz .sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002166968 >
↑ Coppersmith, D. (1990), Fermat's Last Theorem (Case I) and the Wieferich Criterion , Math. Comp. ( AMS ). — T. 54 (190 ) 895–902: > Arkiveret 24. oktober 2012 på Wayback Machine
↑ Cikánek, P. (1994), A Special Extension of Wieferich's Criterion , Math. Comp. ( AMS ). — T. 62 (206 ) 923–930: > Arkiveret 24. oktober 2012 på Wayback Machine
↑ 1 2 Dilcher, K. & Skula, L. (1995), Et nyt kriterium for det første tilfælde af Fermats sidste sætning , Math. Comp. (AMS). — V. 64 (209 ) 363–392: > Arkiveret 29. juli 2014 på Wayback Machine
↑ Mirimanoff, D. (1910), Sur le dernier théorème de Fermat, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences T. 150: 293–206
↑ 1 2 3 4 Granville, A. & Monagan, MB (1988), The First Case of Fermat's Last Theorem er sandt for alle prime eksponenter op til 714.591.416.091.389 , Transactions of the American Mathematical Society bind 306-35922: , DOI 10.1090/S0002-9947-1988-0927694-5
↑ Suzuki, Jiro (1994), Om de generaliserede Wieferich-kriterier , Proc. Japan Acad. Ser. En matematik. sci. T. 70: 230–234 , < http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.pja/1195510946 > Arkiveret 18. august 2017 på Wayback Machine
↑ Charles, DX Om Wieferich prime Arkiveret 18. marts 2012 på Wayback Machine
↑ Silverman, JH (1988), Wieferich's criterium and the abc-conjecture , Journal of Number Theory bind 30 (2): 226–237 , DOI 10.1016/0022-314X(88)90019-4
↑ 1 2 DeKoninck, J.-M. & Doyon, N. (2007), Om sættet af Wieferich-primtal og dets komplement , Annales Univ. sci. Budapest., Sect. Comp. T. 27: 3–13 , < http://ac.inf.elte.hu/Vol_027_2007/003.pdf > Arkiveret 26. april 2012 på Wayback Machine
↑ Broughan, K. (2006), Relaxations of the ABC Conjecture using integer k 'th roots , New Zealand J. Math. V. 35(2): 121–136 , < http://www.math.waikato.ac.nz/~kab/papers/abc01.pdf > Arkiveret 18. juni 2013 på Wayback Machine
↑ Ribenboim, P. 13 Forelæsninger om Fermats sidste sætning (neopr.) . - New York: Springer, 1979. - S. 154. - ISBN 0-387-90432-8 .
↑ Mersenne Primes: Conjectures and Unsolved Problems , < http://primes.utm.edu/mersenne/index.html#unknown > Arkiveret 13. marts 2019 på Wayback Machine
↑ Rotkiewicz, A. Sur les nombres de Mersenne dépourvus de diviseurs carrés et sur les nombres naturels n, tels que n 2 ∣2 n -2 (fransk) // Mat. Vesnik. - 1965. - V. 2 , nr. 17 . - S. 78-80 .
↑ Ribenboim, Paulo (1991), The little book of big primes , New York: Springer, s. 64, ISBN 0-387-97508-X , < https://books.google.com/?id=zUCK7FT4xgAC&pg=PA64 >
↑ Bray, HG & Warren, LJ (1967), On the square-freeness of Fermat and Mersenne numbers , Pacific J. Math. T. 22(3): 563–564 , < http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102992105 > Arkiveret 2. september 2016 på Wayback Machine
↑ Scott, R.; Styer, R. På p x -q y =c og beslægtede treledseksponentielle diophantiske ligninger med primtal // Journal of Number Theory : journal. - Elsevier, 2004. - April ( vol. 105 , nr. 2 ). - S. 212-234 . - doi : 10.1016/j.jnt.2003.11.008 .
↑ Scott, R.; Styer, R. Om den generaliserede Pillai-ligning ± a x ± b y = c (engelsk) // Journal of Number Theory : journal. - 2006. - Bd. 118 , nr. 2 . - S. 236-265 . - doi : 10.1016/j.jnt.2005.09.001 . (utilgængeligt link)
↑ Wells Johnson (1977), On the nonvanishing of Fermat-kvotienter (mod p ) , J. Reine angew. Matematik. T. 292: 196-200 , < http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=resolveppn&PPN=GDZPPN002193698 >
↑ Dobeš, Jan & Kureš, Miroslav (2010), Søg efter Wieferich-primtal gennem brug af periodiske binære strenge , Serdica Journal of Computing bind 4: 293–300 , < http://sci-gems.math.bas.bg /jspui/bitstream/10525/1595/1/sjc104-vol4-num3-2010.pdf > Arkiveret 16. april 2014 på Wayback Machine
↑ 1 2 Kys, E.; Sándor, J. Om en kongruens af János Bolyai, forbundet med pseudoprimer (engelsk) // Mathematica Pannonica : journal. - 2004. - Bd. 15 , nr. 2 . - S. 283-288 .
↑ Ribenboim, P. (2004), kapitel 2. Sådan genkender du, om et naturligt tal er et primtal , The Little Book of Bigger Primes , New York: Springer-Verlag New York, Inc., s. 99, ISBN 0-387-20169-6
↑ Pinch, RGE Pseudoprimerne op til 10 13 (ubestemt) // Lecture Notes in Computer Science. - 2000. - T. 1838 . - S. 459-473 . - doi : 10.1007/10722028_30 . (utilgængeligt link)
↑ Aebi, C.; Cairns, G. Catalanske tal, primtal og tvillingeprimtal (udefineret) // Elemente der Mathematik. - 2008. - T. 63 , nr. 4 . - S. 153-164 . - doi : 10.4171/EM/103 . (utilgængeligt link)
↑ 1 2 Ehrlich, A. (1994), Cycles in Doubling Diagrams mod m , The Fibonacci Quarterly bind 32 (1): 74–78 , < http://www.fq.math.ca/Scanned/32-1 /ehrlich.pdf > Arkiveret 30. april 2012 på Wayback Machine
↑ Byeon, D. (2006), Klassenumre, Iwasawa-invarianter og modulære former , Trends in Mathematics bind 9 (1): 25–29 , < http://basilo.kaist.ac.kr/mathnet/kms_tex/985999 .pdf > Arkiveret 26. april 2012 på Wayback Machine
↑ Jakubec, S. (1995), Forbindelse mellem Wieferich-kongruensen og deleligheden af h + , Acta Arithmetica T. 71 (1): 55–64 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/ aa71/aa7114.pdf > Arkiveret 10. august 2014 på Wayback Machine
↑ Jakubec, S. (1998), Om delelighed af klassetallet h + af de reelle cyklotomiske felter i prime grad l , Mathematics of Computation T. 67 (221): 369–398 , < http://www.ams. org/journals/mcom/1998-67-221/S0025-5718-98-00916-8/S0025-5718-98-00916-8.pdf > Arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine
↑ 1 2 3 Garza, G. & Young, J. (2004), Wieferich Primes and Period Lengths for the Expansions of Fractions , Math. Mag. T. 77 (4): 314–319 , DOI 10.2307/3219294
↑ Martinez-Pérez, C.; Willems, W. Er klassen af cykliske koder asymptotisk god? (neopr.) // IEEE Transaktioner om informationsteori. - IEEE, 2006. - V. 52 , nr. 2 . - S. 696-700 . - doi : 10.1109/TIT.2005.862123 .
↑ Stevens, WH (19. juni 1995), Periodicity for the Z / p r -homology of cyclic covers of knots and Z -homology circles , < https://www.math.lsu.edu/~gilmer/waynestevenspaper.pdf > . Hentet 29. september 2012. Arkiveret 24. april 2012 på Wayback Machine
↑ Dickson, L.E. (1917), Fermat's Last Theorem and the Origin and Nature of theory of Algebraic Numbers , Annals of Mathematics bind 18 (4): 161–187 , < https://www.jstor.org/stable/ pdfplus/2007234 >
↑ Joshua Knauer; Jörg Richstein (2005), Den fortsatte søgen efter Wieferich-primtal , Math. Comp. T. 74 (251): 1559–1563, doi : 10.1090 / S0025-5718-05-01723-0 05-01723-0 / S0025-5718-05-01723-0.pdf > Arkiveret oktober 2023 Maskine
↑ Om projekt Wieferich@Home (downlink) . Dato for adgang: 25. januar 2013. Arkiveret fra originalen 22. marts 2012. (ubestemt)
↑ PrimeGrid, Wieferich & nær Wieferich primtal p < 11e15 Arkiveret 18. oktober 2012 på Wayback Machine
↑ Ribenboim, Paulo (2000), Mine tal, mine venner: populære forelæsninger om talteori , New York: Springer, s. 213-229, ISBN 978-0-387-98911-2
↑ Weisstein, Eric W. .html Dobbelt Wieferich Prime Pair på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Banks, W.D.; Luca, F. & Shparlinski, IE (2007), Estimater for Wieferich-tal , The Ramanujan Journal (Springer). — V. 14 (3): 361–378, doi : 10.1007/s11139-007-9030-z , < http://web.science.mq.edu.au/~igor/Wieferich.pdf > Arkiveret kopi af 3 maj 2013 på Wayback Machine
↑ Agoh, T.; Dilcher, K. & Skula, L. (1997), Fermat Quotients for Composite Moduli , Journal of Number Theory bind 66 (1): 29–50 , doi 10.1006/jnth.1997.2162
↑ Müller, H. {{{title}}} (tysk) // Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft i Hamborg. - Mathematische Gesellschaft i Hamborg, 2009. - V. 28 . - S. 121-130 .
↑ McIntosh, RJ & Roettger, EL (2007), En søgning efter Fibonacci-Wieferich og Wolstenholme primtal , Mathematics of Computation ( AMS ). — T. 76 (260): 2087–2094, doi : 10.1090/S0025-5718-07-01955-2 , < http://www.ams.org/journals/mcom/2007-76-260/S0025-5718 -07-01955-2/S0025-5718-07-01955-2.pdf > Arkiveret 4. oktober 2013 på Wayback Machine
↑ Voloch, JF (2000), Elliptic Wieferich Primes , Journal of Number Theory bind 81: 205–209 , DOI 10.1006/jnth.1999.2471

Yderligere læsning

Haussner, R. (1926), Über die Kongruenzen 2 p -1 -1 ≡ 0 (mod p 2 ) für die Primzahlen p =1093 und 3511 , Archiv for Mathematik og Naturvidenskab Vol . 39 (5): 7, DNB 363953469 . < http://jfm.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/jfmen/JFM/en/quick.html?first=1&maxdocs=20&type=html&an=JFM%2052.0141.06&format=complete >
Haussner, R. (1927), Über numerische Lösungen der Kongruenz u p -1 -1 ≡ 0 (mod p 2 ) , Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal). T. 1927 (156): 223–226, doi : 10.1515 / crll.1927.156.223 ,
Ribenboim, P. (1979), Tretten forelæsninger om Fermats sidste sætning , Springer-Verlag , s. 139, 151, ISBN 0-387-90432-8
Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3. udgave), Springer Verlag , s. 14, ISBN 0-387-20860-7
Crandall, RE & Pomerance, C. (2005), Prime numbers: a computational perspective , Springer Science+Business Media, Inc., s. 31–32, ISBN 0-387-25282-7 , < http://thales.doa.fmph.uniba.sk/macaj/skola/teoriapoli/primes.pdf >
Ribenboim, P. (1996), The new book of prime number records , Springer-Verlag New York, Inc., s. 333–346, ISBN 0-387-94457-5 , < https://books.google.com/?id=72eg8bFw40kC&pg=PA333 >

Eksterne links

Weisstein , Eric W. Wieferich prime hos Wolfram MathWorld .
Fermat-/Euler-kvotienter ( a p −1 − 1)/ p k med vilkårlig k
En note om de to kendte Wieferich-primtal
PrimeGrids Wieferich Prime Search - projektside
Janusz G.J., Algebraiske talfelter. Novosibirsk , videnskabelig bog. (Universitetsserie bind 6)