Tegn på Schlömilch

Schlömilch- kriteriet er et kriterium for konvergens af numeriske serier med positive udtryk, etableret af Oskar Schlömilch .

Ordlyd

Hvis der eksisterer sådan , at startende fra et tal , gælder følgende ulighed: $\delta>0$ $n$

S_{n}=n\cdot \ln \left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)\geqslant 1+\delta ,

så konvergerer serien . $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}$

Hvis , startende fra nogle , så divergerer serien. $S_{n}\leqslant 1$ $n$

Formulering i grænseform

Hvis der er en grænse :

{\displaystyle S=\lim _{n\to \infty }S_{n))

derefter for , serien konvergerer, og for , den divergerer. $S>1$ $S<1$

Kommentar. Hvis , så svarer Schlömilch-kriteriet ikke på spørgsmålet om seriens konvergens. $S=1$

Sammenligning med Raabes træk

Schlömilch-tegnet giver dig mulighed for at etablere konvergensen af nogle serier, for hvilke Raabe-tegnet ikke er anvendeligt [1] . For eksempel for en række:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n-1)!!] ^{2}}}

forholdet mellem tilstødende medlemmer:

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {4^{n-1}[(n-1)!]^{2}}{[(2n -1)!!]^{2))}\cdot {\frac {[(2n+1)!!]^{2)){4^{n}[n!]^{2))}={ \frac {1}{4}}\cdot {\frac {(2n+1)^{2}}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}

;

Raabes tegn for ham giver:

R_{n}=1+{\frac {1}{4n}}\xrightarrow {n\to \infty } 1

og Schlömilchs tegn:

S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{4n^{2}}}\right)\xrightarrow {n \to \infty } 0

På samme måde bekræfter Bertrand-testen også konvergensen af denne serie:

B_{n}={\frac {\ln n}{4n))\xrightarrow {n\to \infty } 0

Eksempel på uanvendelighed

Schlömilchs skilt er dog mindre følsomt end Bertrands skilt. For eksempel tillader det ikke at fastslå konvergensen af serien: [1]

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!]^{2))}

For ham er forholdet mellem nabovilkår:

{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}={\frac {(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!] ^{2}}}\cdot {\frac {[(n+2)!]^{2}}{n!\cdot (n+3)!}}={\frac {(n+2)^{ 2}}{n\cdot (n+3)}}=1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}}

Raabes tegn for ham giver:

R_{n}=n\cdot {\frac {n+4}{n^{2}+3n))={\frac {n^{2}+4n}{n^{2}+3n }}\xrightarrow {n\to \infty } 1

samt Schlömilch-tegnet:

S_{n}=n\cdot \ln \left(1+{\frac {n+4}{n^{2}+3n}}\right)\xrightarrow {n\to \infty } 1

På den anden side indikerer Bertrand-testen utvetydigt konvergensen af denne serie:

B_{n}=\ln n\cdot \left({\frac {n^{2}+4n}{n^{2}+3n))-1\right)={\frac {\ln n}{n+3}}\xhøjrepil {n\to \infty } 0

Noter

↑ 1 2 Franciszek Prus-Wiśniowski, Sammenligning af Raabes og Schlömilchs test Arkiveret 29. januar 2022 på Wayback Machine , Tatra Mt. Matematik. Publ. 42 (2009), 119-130

Litteratur

Subir Kumar Mukherjee. Sætning 15 // Første kursus i reel analyse (engelsk) . - Kolkata: Academic Publishers, 2009. - S. 190. - 383 s. — ISBN 9788189781903 .

Tegn på konvergens af serier
For alle rækker	Nødvendig tilstand Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
For tegn-positive serier	Hovedkriterium Sammenligningstegn Kummer tegn Gauss tegn Cauchys radikale tegn Integreret funktion Tegn af D'Alembert magt tegn logaritmisk tegn Tegn af Raabe Bertrand tegn Tegn på Jamet Tegn på Schlömilch Ermakovs tegn Lobachevskys tegn teleskopskilt Tegn på Sapogov
Til skiftende serier	Leibniz tegn
For rækker af formularen $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tegn Tegn på Dedekind Dubois-Reymond skilt Dirichlet tegn
Til funktionelle serier	Weierstrass skilt
Til Fourier-serien	Dini tegn Tegn på de la Vallée Poussin Jordan tegn Jung tegn Salem tegn Lebesgue tegn Lebesgue-Gergen tegn Tegn af Martsinkevich