Ermakovs tegn er et tegn på konvergens af numeriske serier med positive udtryk, etableret af Vasily Ermakov . Dens specificitet ligger i, at den overgår alle andre tegn med sin "følsomhed". Dette arbejde blev offentliggjort i artiklerne: "Den generelle teori om seriernes konvergens" ("Matematisk samling", 1870 og "Bullet. des sciences mathém. et astronom.", 2-me serie, t. III), "A nyt kriterium for konvergens og divergens uendelig alternerende serie" ("Universitetskie Izvestia fra University of St. Vladimir" for 1872).
Lad funktionen udføre:
Så konvergerer serien , hvis følgende ulighed gælder for: ,hvor . Hvis for , så divergerer serien. |
1. Lad følgende ulighed holde:
Vi multiplicerer begge sider af denne ulighed med og integrerer ved at bruge substitutionen :
herfra
da subtrahenden i sidste parentes er positiv. Derfor, hvis vi dividerer uligheden med , får vi:
Tilføjelse af integralet til begge sider , får vi
I betragtning af at kl
Da integralet stiger med stigende og, er der en endelig grænse for det ved :
Da dette integral konvergerer ifølge Cauchy-Maclaurin integraltesten , konvergerer serien også.
2. Lad nu følgende ulighed holde:
Hvis vi multiplicerer begge dele af denne ulighed med og integrerer, ved hjælp af substitutionen på venstre side , får vi:
Lad os tilføje integralet til begge sider :
Fordi altså . Vi definerer nu rækkefølgen som følger:
Ved at bruge denne sekvens kan den sidste ulighed skrives som:
Vi summerer dette integral over :
det vil sige, at dette integral er ubegrænset for . Derfor:
Da dette integral divergerer ifølge Cauchy-Maclaurin integraltesten, divergerer serien også. ■
Hvis der er en grænse: derefter for , serien konvergerer, og for , den divergerer. |
Lad funktionen udføre:
Lad os tage en funktion , som:
Så konvergerer serien , hvis følgende ulighed gælder: .Hvis ,så divergerer serien. |
Tegn på konvergens af serier | ||
---|---|---|
For alle rækker | ||
For tegn-positive serier | ||
Til skiftende serier | Leibniz tegn | |
For rækker af formularen | ||
Til funktionelle serier | ||
Til Fourier-serien |
|