Ermakovs tegn

Ermakovs tegn er et tegn på konvergens af numeriske serier med positive udtryk, etableret af Vasily Ermakov . Dens specificitet ligger i, at den overgår alle andre tegn med sin "følsomhed". Dette arbejde blev offentliggjort i artiklerne: "Den generelle teori om seriernes konvergens" ("Matematisk samling", 1870 og "Bullet. des sciences mathém. et astronom.", 2-me serie, t. III), "A nyt kriterium for konvergens og divergens uendelig alternerende serie" ("Universitetskie Izvestia fra University of St. Vladimir" for 1872).

Ordlyd

Lad funktionen udføre: $f(x)$

$f(x)>0\;\foralt x$ (funktion accepterer kun positive værdier);
funktionen aftager monotont som . $f(x)$ $x\geqslant 1$

Så konvergerer serien , hvis følgende ulighed gælder for: $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$ $x\geqslant x_{0}$

\varepsilon (x)={\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda

hvor . $\lambda<1$

Hvis for , så divergerer serien. $\varepsilon(x)\geqslant 1$ $x\geqslant x_{0}$

Bevis [1]

1. Lad følgende ulighed holde:

{\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\leqslant \lambda .

Vi multiplicerer begge sider af denne ulighed med og integrerer ved at bruge substitutionen : $f(x)$ $t=e^{u}$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt=\int \limits _{{x_{0}}} ^{x}f(e^{u})\cdot e^{u}\,du\leqslant \lambda \int \limits _{{x_{0}}}^{x}f(t)\,dt ,

herfra

(1-\lambda )\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant \lambda \left(\ int \limits _{{x_{0}}}}^{x}f(t)\,dt-\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{ x }}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \left(\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f ( t)\,dt-\int \limits _{x}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\right)\leqslant \lambda \int \limits _{{x_{0} } }^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt,

da subtrahenden i sidste parentes er positiv. Derfor, hvis vi dividerer uligheden med , får vi: $e^{x}>x$ $1-\lambda$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {\lambda }{(1-\ lambda )}}\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt.

Tilføjelse af integralet til begge sider , får vi $\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}\,f(t)dt$

\int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\leqslant {\frac {1}{(1-\lambda )))\int \ grænser _{{x_{0}}}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt=L.

I betragtning af at kl $e^{x}>x$ $x\geqslant x_{0}$

\int \limits _{{x_{0}}}^{x}f(t)\,dt\leqslant L.

Da integralet stiger med stigende og, er der en endelig grænse for det ved : $x$ $x\til \infty$

\int \limits _{{x_{0}}}^{\infty }f(t)\,dt\leqslant L.

Da dette integral konvergerer ifølge Cauchy-Maclaurin integraltesten , konvergerer serien også. $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

2. Lad nu følgende ulighed holde:

{\frac {e^{x}\cdot f(e^{x})}{f(x)}}\geqslant 1.

Hvis vi multiplicerer begge dele af denne ulighed med og integrerer, ved hjælp af substitutionen på venstre side , får vi: $f(x)$ $t=e^{u}$

\int \limits _{{e^{{x_{0}}}}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{{x_{0}} }^{x}f(t)\,dt.

Lad os tilføje integralet til begge sider : $\int \limits _{x}^{{e^{{x_{0}}}}}f(t)\,dt$

\int \limits _{{x}}^{{e^{x}}}f(t)\,dt\geqslant \int \limits _{{x_{0}}}^{{e^{{x_ {0}}}}}f(t)\,dt=\gamma .

Fordi altså . Vi definerer nu rækkefølgen som følger: $x_{0}<e^{{x_{0}}}$ $\gamma >0$ $\{x_i\}$

x_{i}=e^{{x_{{i-1}}}},\;\;i=0,\;1,\;\ldots ,\;n,\;\ldots

Ved at bruge denne sekvens kan den sidste ulighed skrives som:

\int \limits _{{x_{{i-1}}}}^{{x_{i}}}f(t)\,dt\geqslant \gamma .

Vi summerer dette integral over : $i=0,\;1,\;\ldots ,\;n$

\int \limits _{{x_{0}}}^{{x_{n}}}f(t)\,dt=\sum _{{i=1}}^{n}\int \limits _{ {x_{{i-1}}}}^{{x_{i}}}f(t)\,dt\geqslant n\gamma ,

det vil sige, at dette integral er ubegrænset for . Derfor: $n\til\infty$

\int \limits _{{x_{0}}}^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{{x\to \infty }}\int \limits _{{x_{0}} }^{x}f(t)\,dt=+\infty .

Da dette integral divergerer ifølge Cauchy-Maclaurin integraltesten, divergerer serien også. ■ $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

Formulering i grænseform

Hvis der er en grænse:

\varepsilon =\lim _{{x\to \infty }}\varepsilon (x),

derefter for , serien konvergerer, og for , den divergerer. $\varepsilon<1$ $\varepsilon >1$

Generalisering [2]

Lad funktionen udføre: $f(x)$

$f(x)>0\;\foralt x$ (funktion accepterer kun positive værdier);
funktionen aftager monotont som . $f(x)$ $x\geqslant 1$

Lad os tage en funktion , som: $\varphi (x)>x$

$\varphi (x)>0\;\forall x$ (funktion accepterer kun positive værdier);
stiger monotont;
har en kontinuert variabel.

Så konvergerer serien , hvis følgende ulighed gælder: $\sum _{{n=1}}^{\infty }f(n)$

{\frac {\varphi (x)\cdot f(\varphi (x))}{f(x)))\leqslant \lambda <1

Hvis

{\frac {\varphi (x)\cdot f(\varphi (x))}{f(x)))\geqslant 1

så divergerer serien.

Noter

↑ Fikhtengolts G. M. Forløb for differential- og integralregning . — M .: Nauka, 1970.
↑ A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov. Håndbog i matematik for ingeniører og videnskabsmænd. - 2006. - S. 340. - 1544 s. - ISBN 978-1420010510 .

Litteratur

Ermakov tegn - artikel fra Encyclopedia of Mathematics

Links

Weisstein, Eric W. Ermakoffs test (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .

Tegn på konvergens af serier
For alle rækker	Nødvendig tilstand Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
For tegn-positive serier	Hovedkriterium Sammenligningstegn Kummer tegn Gauss tegn Cauchys radikale tegn Integreret funktion Tegn af D'Alembert magt tegn logaritmisk tegn Tegn af Raabe Bertrand tegn Tegn på Jamet Tegn på Schlömilch Ermakovs tegn Lobachevskys tegn teleskopskilt Tegn på Sapogov
Til skiftende serier	Leibniz tegn
For rækker af formularen $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tegn Tegn på Dedekind Dubois-Reymond skilt Dirichlet tegn
Til funktionelle serier	Weierstrass skilt
Til Fourier-serien	Dini tegn Tegn på de la Vallée Poussin Jordan tegn Jung tegn Salem tegn Lebesgue tegn Lebesgue-Gergen tegn Tegn af Martsinkevich