Kampoverflade

Boi-overfladen er det første kendte eksempel på en nedsænkning af et rigtigt projektivt plan i tredimensionelt euklidisk rum .

Historie

Overfladen blev bygget af Werner Boy i 1901. Som foreslået af Hilbert , var Boy nødt til at bevise, at det projektive plan ikke tillader sådanne nedsænkninger.

Konstruktion

Start med en kugleformet hætte.
Del dens kant i seks lige store dele og fastgør tre strimler til de lige dele.
Bøj hver strimmel og fastgør den anden ende til den modsatte side af hættens kant. Når man passerer gennem strimlen, orienteringen
Lim de resterende kanter af strimlerne.

Egenskaber

Drengens overflade har tredobbelt aksial symmetri . Det vil sige, at der er en akse sådan, at enhver rotation på 120° omkring denne akse vil bringe overfladen ind i sig selv.
- Især Boy-overfladen kan skæres i tre parvis kongruente dele.
Kampoverfladen vises halvvejs gennem implementeringen af sfærens eversion .

Bryant-Kunser parametriseringen

Den mest naturlige parametrisering blev foreslået af Rob Kunser og Robert Bryant . [en]

For et komplekst tal , lad $w$

{\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Im} \left[{w\cdot (1-w^{4}) \over w^{ 6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{2}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Re} \left[{w \cdot (1+w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{3}&=\mathrm { Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\ \end{aligned}}

En overflade er en minimal overflade med tre ender . Dens inversion, det vil sige overfladen givet som $w\mapsto (g_{1},\;g_{2},\;g_{3})$ $w\mapsto(x,\;y,\;z)$

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{ 3}^{2}}}\cdot {\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}.

og der er Boys overflader.

Noter

Overfladen forbliver uændret når , hvor er det komplekse konjugat af k . ${\displaystyle w\mapsto -{\tfrac {1}{\bar {w))))$ ${\bar w}$ $w$

Se også

morina overflade

Noter

↑ Raymond O'Neil Wells. Hermann Weyls matematiske arv (12.-16. maj 1987, Duke University, Durham, North Carolina ) . - American Mathematical Soc., 1988. - S. 227-240. - (Proc. Sympos. Ren Matematik.). - ISBN 978-0-8218-1482-6 . - doi : 10.1090/pspum/048/974338 .

Litteratur

Kirby, Rob (november 2007), Hvad er drengens overflade? , Notices of the AMS Vol . 54 (10): 1306–1307 , < http://www.ams.org/notices/200710/tx071001306p.pdf > Arkiveret 4. august 2016 på Wayback Machine beskriver den polyedriske overflademodel af Boy .
- Casselman, Bill (november 2007), Collapsing Boy's Umbrellas , Notices of the AMS vol . 54(10): 1356 , < http://www.ams.org/notices/200710/200710-about-the-cover.pdf > Arkiveret 3. marts 2016 på Wayback Machine- artiklen på forsideillustrationen, der ledsager Rob Kirby-artiklen.
Kusner, Rob (1987), Konform geometri og fuldstændige minimale overflader , Bulletin of the American Mathematical Society (New series) bind 17 (2): 291–295, doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15564-9 , < http://www.ams.org/bull/1987-17-02/S0273-0979-1987-15564-9/S0273-0979-1987-15564-9.pdf > Arkiveret 7. september 2008 på Wayback Machine .
Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), The Boy surface at Oberwolfach , < https://www.mfo.de/about-the-institute/history/boy-surface/the-boy-surface-at-oberwolfach > Arkiveret fra 26. december 2019 på Wayback Machine .
Morin, Bernard (1978), Equations du retournement de la sphère, CR Acad. sci. Paris T. 287(13): A879–A882
Sanderson, B. Boy's bliver Boy's Arkiveret 17. april 2007 på Wayback Machine .

Eksterne links

Kampfladeside, der indeholder forskellige visualiseringer af forskellige ligninger, samt nyttige links og referencer Arkiveret 8. juli 2016 på Wayback Machine
[1] Arkiveret 19. oktober 2008 på Wayback Machine - applet plus log .
[2] Arkiveret 12. juli 2016 på Wayback Machine , indeholder inklusive originale papirer Arkiveret 8. september 2016 på Wayback Machine og en introduktion Arkiveret 8. september 2016 på Wayback Machine hos en topolog på Oberwolf Boy Surface .
[3] Arkiveret 16. september 2016 på Wayback Machine
Papirmodel til Battle-overfladen - mønster og instruktioner
En java baseret model, der frit kan roteres Arkiveret 14. august 2016 på Wayback Machine
Feltoverfladen af farvelinjen Arkiveret 3. marts 2016 på Wayback Machine
Boy's surface Arkiveret 16. maj 2016 på Wayback Machine -visualiseringsvideoen fra Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts
[4] Arkiveret 18. april 2016 på Wayback Machine hvordan man laver en kampoverflade ved hjælp af en saks, et stykke papir og tape. Papirplan i video.

Kompakte overflader og deres fordybelse i tredimensionelt rum

Homøoformitetsklassen for en kompakt trianguleret overflade bestemmes af orienterbarhed, antallet af grænsekomponenter og Euler-karakteristikken.

ingen grænse

Orienterbar	Kugle (slægt 0) Thor (slægt 1) "Otte" (slægt 2) " Kringle " (slægt 3) ...
Ikke-orienterbar	Rigtigt projektivt plan slægt 1; Kampoverflade romersk overflade Klein flaske (slægt 2) Pik overflade (slægt 3) ...

med kant

Disk
- halvkugle
Bånd
- Ring
- Cylinder
Mobius-striben
- Möbius strimmel
Kugle med tre huller...

Beslægtede
begreber

Ejendomme	Forbindelse kompakthed Triangulering eller glathed Orienterbarhed
Egenskaber	Antal grænsekomponenter Slægt Euler karakteristik
Operationer	Forbundet sum hulskæring Klæber håndtaget Montering af Möbius-strimlen Nedsænkning