Diagonaliserbar matrix

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. november 2021; verifikation kræver 1 redigering .

I lineær algebra siges en kvadratisk matrix A at være diagonaliserbar , hvis den ligner en diagonal matrix , det vil sige, hvis der eksisterer en ikke-singular matrix P , således at P −1 AP er en diagonal matrix. Hvis V er et endeligt-dimensionelt vektorrum , så siges en lineær afbildning T : V → V at være diagonaliserbar , hvis der eksisterer en ordnet basis i V , således at T er repræsenteret som en diagonal matrix. Diagonalisering er processen med at finde den tilsvarende diagonale matrix for en diagonaliserbar matrix eller lineær matrix. [1] En kvadratisk matrix, der ikke kan diagonaliseres, kaldes defekt .

Diagonaliserbare matricer og afbildninger er interessante, fordi diagonale matricer er nemme at arbejde med: egenværdierne og vektorerne er kendte, eksponentieringen sker ved at hæve de diagonale elementer til en potens, og determinanten er produktet af de diagonale elementer. Fra et geometrisk synspunkt er en diagonaliserbar matrix en uensartet skalering: i hver retning sker strækningen i det generelle tilfælde med en anden koefficient afhængigt af tallet på diagonalen.

Karakteristika

Det grundlæggende faktum om diagonaliserbare afbildninger og matricer er udtrykt i følgende udsagn.

En n × n matrix A over et felt F er diagonaliserbar, hvis og kun hvis summen af dimensionerne af egenunderrummene er lig med n , hvilket er sandt, hvis og kun hvis der eksisterer en basis F n bestående af egenvektorerne A . Findes en sådan basis, kan man lave en matrix P , hvori søjlerne er basisvektorerne og P −1 AP er en diagonal matrix. Værdierne på diagonalen af denne matrix er egenværdierne af A .
En lineær afbildning T : V → V er diagonaliserbar, hvis og kun hvis summen af dimensionerne af dets egenrum er lig med dim( V ), hvilket er sandt, hvis og kun hvis der eksisterer en basis V bestående af egenvektorerne af T . Med hensyn til dette grundlag vil T blive repræsenteret som en diagonal matrix. De diagonale elementer i en sådan matrix er lig med egenværdierne af T .

En matrix eller lineær afbildning er diagonaliserbar over et felt F , hvis og kun hvis det minimale polynomium er et produkt af lineære faktorer over feltet F. Med andre ord er en matrix diagonaliserbar, hvis og kun hvis alle divisorer af det minimale polynomium er lineære.

Følgende betingelse (tilstrækkelig, men ikke nødvendig) er ofte nyttig.

En n × n matrix A er diagonaliserbar over et felt F , hvis den har n distinkte egenværdier i F , det vil sige, hvis dens karakteristiske polynomium har n distinkte rødder i F ; det modsatte er måske ikke sandt. Overvej matrixen

{\begin{bmatrix}-1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{bmatrix)),

har egenværdier 1, 2, 2 (ikke alle er forskellige) og kan reduceres til diagonal form (matrixen ligner A )

{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix));

overgangsmatrix til en anden basis P :

{\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&1&0\\1&0&3\end{bmatrix}}.

Det omvendte gælder således muligvis ikke, hvis A har et egenunderrum med dimension større end 1. I dette eksempel har egenunderrummet til A for egenværdi 2 dimension 2.

En lineær afbildning T : V → V for n = dim( V ) er diagonaliserbar, hvis den har n distinkte egenværdier, dvs. hvis det karakteristiske polynomium har n distinkte rødder i F .

Lad A være en matrix over F . Hvis A er diagonaliserbar, så er enhver potens af A diagonaliserbar. Hvis A er inverterbar, F er algebraisk lukket, A n er diagonaliserbar for nogle n , der ikke er et multiplum af karakteristikken F , så er A diagonaliserbar.

Over C er næsten enhver matrix diagonaliserbar. Mere præcist har mængden af n × n komplekse matricer , der ikke er diagonaliserbare over C , når de betragtes som en n × n delmængde af C , Lebesgue-målet nul . Man kan også sige, at de diagonaliserbare matricer danner en tæt delmængde inden for rammerne af Zariski-topologien : komplementet til denne delmængde ligger i mængden, hvori diskriminanten af det karakteristiske polynomium forsvinder, det vil sige på hyperoverfladen. Dette er ikke tilfældet for R.

Jordan-Chevalley-nedbrydningen repræsenterer operatøren som summen af de diagonaliserbare og nilpotente dele. Derfor er en matrix diagonaliserbar, hvis og kun hvis den nilpotente del er nul. Med andre ord er en matrix diagonaliserbar, hvis hver blok af Jordan-formen ikke har en nilpotent del.

Diagonalisering

Hvis matrix A kan diagonaliseres, dvs.

P^{-1}AP={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\&\lambda _{2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{n}\end{pmatrix }},

derefter

AP=P{\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\&\lambda _{2}\\&&\ddots \\&&&\lambda _{n}\end{pmatrix)).

Vi skriver P som en blokmatrix med kolonnevektorer ${\vec {\alpha }}_{i}$

P={\begin{pmatrix}{\vec {\alpha }}_{1}&{\vec {\alpha }}_{2}&\cdots &{\vec {\alpha }}_{ n}\end{pmatrix}},

så kan ligningen ovenfor omskrives som

A{\vec {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\vec {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\cdots,n).

Kolonnevektorerne af P er de rigtige egenvektorer af A , de tilsvarende diagonale elementer er egenværdierne. Invertibiliteten af P indebærer også, at egenvektorerne er lineært uafhængige og danner basis i F n . Dette er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for diagonaliserbarhed. Rækkevektorerne P −1 er de venstre egenvektorer af A .

Hvis A er en hermitisk matrix , så kan man vælge egenvektorerne til A , så de danner en ortogonal basis i C n . Under disse forhold vil P være en enhedsmatrix , og P −1 er lig med det hermitiske konjugat af P .

I praksis udføres diagonalisering af matricer på en computer. Der er en række algoritmer , der gør det muligt at udføre denne proces.

Diagonalisering af et sæt af matricer

Et sæt matricer siges at være diagonaliserbart i fællesskab, hvis der eksisterer en unik inverterbar matrix P , således at P −1 AP er en diagonal matrix for hvert A i sættet. Følgende sætning karakteriserer fælles diagonaliserbare matricer: et sæt af matricer er et sæt diagonaliserbare pendlingsmatricer, hvis og kun hvis det er fælles diagonaliserbart. [2]

Mængden af alle n × n matricer , der kan diagonaliseres over C for n > 1, kan ikke diagonaliseres i fællesskab. For eksempel matricer

{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}

er diagonaliserbare, men ikke i fællesskab, da de ikke pendler.

Et sæt består af pendling af normale matricer , hvis og kun hvis det er fælles diagonaliseret af en enhedsmatrix, det vil sige, der eksisterer en enhedsmatrix U sådan, at U*AU er diagonal for enhver matrix A i mængden.

Eksempler

Diagonaliserbare matricer

Involutioner kan diagonaliseres over reelle tal (og over ethvert felt, hvis karakteristika ikke er lig med 2), og ±1 er placeret på diagonalen.
Endomorfismer af endelig rækkefølge er diagonaliserbare over C (eller over et andet algebraisk lukket felt, og feltets karakteristika er ikke en divisor af endomorfiens rækkefølge), enhedsrødderne vil være placeret på diagonalen . Det minimale polynomium kan adskilles , fordi rødderne til enhed er forskellige.
Projektorer er diagonaliserbare med 1'er og 0'er på diagonalen.
Reelle symmetriske matricer kan diagonaliseres af ortogonale matricer. Betragt en reel matrix A , Q T AQ er diagonal for en eller anden ortogonal matrix Q. Mere generelt er matricer diagonaliserbare ved enhedsmatricer, hvis og kun hvis de er normale. I tilfælde af en reel symmetrisk matrix A = A T , derfor AAT = A T A . Eksempler på normale matricer er reelle symmetriske (eller skæv-symmetriske ) matricer og hermitiske matricer .

Ikke-diagonaliserbare matricer

Generelt er rotationsmatricen ikke diagonaliserbar over de reelle tal, men alle rotationsmatricer er diagonaliserbare over feltet af komplekse tal. Selvom matricen er ikke-diagonaliserbar, er det muligt at reducere den til den "bedst mulige form" og skabe en matrix med de samme egenskaber, der indeholder egenværdier på hoveddiagonalen og enere eller nuller på diagonalen ovenfor, dvs. Jordan normal form .

Nogle matricer er ikke diagonaliserbare over noget felt, blandt dem kan ikke-nul- nilpotente matricer specificeres . Dette sker, hvis den algebraiske og geometriske multiplicitet af egenværdien ikke stemmer overens. Overveje

C={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.

Denne matrix kan ikke diagonaliseres: der er ingen matrix U , for hvilken U −1 CU er en diagonal matrix. C har én egenværdi (nul) af algebraisk multiplicitet 2 og geometrisk multiplicitet 1.

Nogle reelle matricer kan ikke diagonaliseres over reelle tal. Overvej matrixen

B={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}.

Matricen B har ingen reelle egenværdier, så der er ingen reel matrix Q , for hvilken Q −1 BQ er diagonal. Men over feltet af komplekse tal kan vi diagonalisere B . Hvis vi overvejer

Q={\begin{bmatrix}1&{\textrm {i}}\\{\textrm {i}}&1\end{bmatrix}}),

så er Q −1 BQ diagonal.

Bemærk, at ovenstående eksempler viser, at summen af diagonaliserbare matricer ikke altid er diagonaliserbare.

Sådan diagonaliserer du en matrix

Overvej matrixen

A={\begin{bmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{bmatrix}}.

Denne matrix har egenværdier

\lambda _{1}=3,\quad \lambda _{2}=2,\quad \lambda _{3}=1.

A er en 3x3 matrix med 3 distinkte egenværdier; derfor er den diagonaliserbar. Bemærk, at hvis en n × n matrix har præcis n distinkte egenværdier, så er den diagonaliserbar.

Egenværdierne vil fremstå i den diagonaliserede form A , så når man finder egenværdierne, diagonaliseres matricen A. Egenvektorer kan bruges til at diagonalisere A.

Egenvektorerne til A er

v_{1}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix)),\quad v_{2}={\begin{bmatrix}0\\0\\1 \end{bmatrix}},\quad v_{3}={\begin{bmatrix}-1\\0\\2\end{bmatrix}}.

Det kan kontrolleres $Av_{k}=\lambda _{k}v_{k}.$

Lad P være en matrix, hvor de givne egenvektorer er søjlerne.

P={\begin{bmatrix}-1&0&-1\\-1&0&0\\2&1&2\end{bmatrix}}.

Bemærk, at der ikke er nogen særskilt rækkefølge for kolonnerne i P ; at ændre rækkefølgen af egenvektorerne i P vil kun ændre rækkefølgen af egenværdierne i diagonalformen A . [3]

Matrixen P diagonaliserer A , hvilket er let at se:

P^{-1}AP={\begin{bmatrix}-1&1&0\\2&0&1\\-1&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{ bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0&-1\\0&0&-1\\2&1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.

Dette følger af, at for ethvert standardgrundlag , $e_{1},e_{2},e_{3}$

P^{-1}APe_{k}=P^{-1}Av_{k}=P^{-1}\lambda _{k}v_{k}=\lambda _{k}e_{ k},

hvor vi har udnyttet det, der er den kth kolonne af , derfor . Bemærk, at egenværdierne optrådte i den diagonale matrix. $Pe_{k}=v_{k}$ $P$ ${\displaystyle P^{-1}v_{k}=e_{k))$ $\lambda_k$

Ansøgning

Diagonalisering kan bruges til effektivt at beregne potenserne af en matrix A , hvis matrixen er diagonaliserbar. Lad os få det

P^{-1}AP=D\Rightarrow PP^{-1}APP^{-1}=PDP^{-1}\Rightarrow A=PDP^{-1},

hvor er en diagonal matrix. Derefter ved associativiteten af produktet af matricer $D$

{\begin{aligned}A^{k}&=(PDP^{-1})^{k}=(PDP^{-1})\cdot (PDP^{-1})\cdots ( PDP^{-1})\\&=PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)\cdots (P^{-1}P)DP^{-1}\\ &=PD^{k}P^{-1}\end{aligned}}.

Det sidste produkt er let at beregne, fordi det indeholder potenserne af den diagonale matrix. Denne tilgang kan generaliseres til matrixeksponenten og andre matrixfunktioner , da de kan repræsenteres som potensrækker.

Et særligt tilfælde af anvendelse

Overvej følgende matrix:

M={\begin{bmatrix}a&b-a\\0&b\end{bmatrix}}.

Beregning af forskellige potenser af M fører til et interessant mønster:

M^{2}={\begin{bmatrix}a^{2}&b^{2}-a^{2}\\0&b^{2}\end{bmatrix)),\quad M^{ 3}={\begin{bmatrix}a^{3}&b^{3}-a^{3}\\0&b^{3}\end{bmatrix)),\quad M^{4}={\begin {bmatrix}a^{4}&b^{4}-a^{4}\\0&b^{4}\end{bmatrix}},\quad \ldots

Dette fænomen kan forklares ved hjælp af diagonaliseringen af M . Vi skal bruge en basis R 2 bestående af egenvektorer M . En af baserne er

\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2},

hvor e i angiver standardgrundlaget for Rn . Den omvendte ændring af grundlaget er givet af udtrykkene

\mathbf {e} _{1}=\mathbf {u} ,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {v} -\mathbf {u} .

Det viser beregninger

M\mathbf {u} =a\mathbf {u} ,\qquad M\mathbf {v} =b\mathbf {v} .

Derfor er a og b egenværdier, der svarer til u og v . Ved lineariteten af matrixproduktet opnår vi

M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\,\mathbf {u} ,\qquad M^{n}\mathbf {v} =b^{n}\,\mathbf { v} .

Går vi tilbage til standardgrundlaget, får vi det

M^{n}\mathbf {e} _{1}=M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {e} _{1},

M^{n}\mathbf {e} _{2}=M^{n}(\mathbf {v} -\mathbf {u} )=b^{n}\mathbf {v} -a^ {n}\mathbf {u} =(b^{n}-a^{n})\mathbf {e} _{1}+b^{n}\mathbf {e} _{2}.

Matrixformen for relationerne beskrevet ovenfor har formen

M^{n}={\begin{bmatrix}a^{n}&b^{n}-a^{n}\\0&b^{n}\end{bmatrix)),

hvilket forklarer det førnævnte mønster.

Anvendelser i kvantemekanik

I kvantemekanik og kvantekemi er matrixdiagonalisering en af de mest anvendte procedurer i beregninger. Hovedårsagen er, at den tidsuafhængige Schrödinger -ligning er en egenværdiligning, og i næsten alle fysiske anvendelser, i uendeligt-dimensionelt ( Hilbert ) rum. I tilnærmede tilgange erstattes Hilbert-rummet af et endeligt-dimensionelt rum, hvorefter Schrödinger-ligningen kan omformuleres som et problem med at finde egenværdierne af en reel symmetrisk (eller kompleks hermitisk) matrix. Denne tilgang er baseret på variationsprincippet .

Noter

↑ Horn & Johnson 1985
↑ Horn & Johnson 1985, s. 51-53
↑ Anton, H.; Rorres, C. Elementær lineær algebra (applikationsversion) (engelsk) . — 8. - John Wiley & Sons , 2000. - ISBN 978-0-471-17052-5 .

Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. Matrixanalyse (ubestemt) . - Cambridge University Press , 1985. - ISBN 978-0-521-38632-6 .