Separerbart polynomium

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. oktober 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Et adskilleligt polynomium er et polynomium over et felt , hvis irreducerbare faktorer ikke har flere rødder i feltets algebraiske lukning . $K$ $K$

Der er også en alternativ definition, nærliggende i det væsentlige, men ikke ækvivalent i det generelle tilfælde: et polynomium kan adskilles, hvis det ikke har fælles rødder med sin formelle afledte . Dette sidste betyder, at selve polynomiet (og ikke kun dets irreducerbare over faktorer) ikke har flere rødder i den algebraiske lukning. Især for irreducerbare polynomier er begge definitioner ækvivalente. $P$ $P'$ $P$ $K$

Irreducerbare polynomier over perfekte felter er altid adskillelige - hvilket især omfatter alle felter med karakteristisk nul, såvel som alle endelige felter .

Fordi et irreducerbart polynomium (ved Euklids algoritme ) er coprime til alle polynomier af mindre grad, kan det kun være uadskilleligt, hvis dets afledede er nul. Derfor er uadskillelighed et fænomen, der kun manifesterer sig i en positiv karakteristik: for et irreducerbart uadskilleligt polynomium skal repræsentationen finde sted: $P$

P(X)=Q(X^{p})

hvor er også et irreducerbart polynomium og er et kendetegn for feltet. Baseret på dette er det nemt at konstruere et eksempel på et ikke-adskilleligt polynomium, for eksempel er dette et polynomium: $Q$ $s$

P(X)=X^{p}-T

over feltet af rationelle funktioner af en variabel over feltet af elementer . Faktisk, når du går over til en algebraisk udvidelse (eller blot når du tilslutter et felt ): $K=\mathbb {F} _{p}(T)$ $T$ $s$ $\mathbb {F} _{p}$ ${\displaystyle T^{1/p))$ $K$

{\displaystyle P(X)=X^{p}-(T^{1/p})^{p}=(XT^{1/p})^{p))

er med andre ord en (unik) rod til mangfoldighed . ${\displaystyle T^{1/p))$ $s$