Indskrevet cirkel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. december 2021; checks kræver 2 redigeringer .

En cirkel kaldes indskrevet i en vinkel, hvis den ligger inde i vinklen og rører dens sider. Centrum af en cirkel indskrevet i en vinkel ligger på halveringslinjen af denne vinkel.

En cirkel kaldes indskrevet i en konveks polygon , hvis den ligger inde i den givne polygon og rører ved alle dens sider.

I en polygon

Hvis en cirkel kan indskrives i en given konveks polygon, så skærer halveringslinjen for alle indvendige vinkler af den givne polygon hinanden i et punkt, som er midten af den indskrevne cirkel.

Radius af en cirkel indskrevet i en polygon er lig med forholdet mellem dens areal og dens halvperimeter : $S$ $s$

r={\frac {S}{p}}

I trekanten

Egenskaber for indskrevet cirkel:

Hver trekant kan indskrives med en cirkel, og kun én.
Centrum af den indskrevne cirkel er lige langt fra alle sider og er skæringspunktet for trekantens halveringslinjer . $jeg$
Radius af en cirkel indskrevet i en trekant er: $r$

r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))};

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c} }}

hvor er trekantens sider, er højderne tegnet til de tilsvarende sider [1] ; $a,b,c$ $h_{a},h_{b},h_{c}$

r={\frac {S}{p}}={\sqrt {{\frac {(pa)(pb)(pc)}{p}}}}

hvor er trekantens areal og er dens semiperimeter.

S

s

r={\frac {pa}{\operatørnavn {ctg} (\alpha /2)))={\frac {pb}{\operatørnavn {ctg} (\beta /2)))={\frac {pc}{\operatørnavn {ctg} (\gamma /2)}}

, er trekantens halvperimeter ( Cotangenssætning ).

s

Hvis er bunden af en ligebenet trekant , så tangerer cirklen til vinklens sider ved punkterne og passerer gennem midten af trekantens indskrevne cirkel . $AB$ $\trekant ABC$ $\vinkel ACB$ $EN$ $B$ $\trekant ABC$
Eulers sætning : , hvor er radius af cirklen omskrevet omkring trekanten, er radius af cirklen indskrevet i den, er centrum af den omskrevne cirkel, er centrum af den indskrevne cirkel . $R^{2}-2Rr=|OI|^{2}$ $R$ $r$ $O$ $jeg$
Hvis linjen, der går gennem punktet I parallelt med siden, skærer siderne og ved punkterne og , Så . $AB$ $f.Kr$ $CA$ $A_{1}$ $B_1$ $A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}$
Hvis kontaktpunkterne for en cirkel indskrevet i en trekant med dens sider er forbundet med segmenter, opnås en trekant med egenskaberne: $T$ $T_{1}$
- Halveringslinjerne i T er vinkelrette halveringslinjer af T 1
- Lad T 2 være en ortotrekant T 1 . Så er dens sider parallelle med siderne af den oprindelige trekant T.
- Lad T 3 være den midterste trekant af T 1 . Så er halveringslinjerne af T højderne af T 3 .
- Lad T 4 være en ortotrekant af T 3 , så er halveringslinjen af T halveringslinjen af T 4 .
Radius af cirklen indskrevet i en retvinklet trekant med benene a , b og hypotenusen c er lig med . ${\frac {a+bc}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}$
Afstanden fra trekantens toppunkt C til det punkt, hvor den indskrevne cirkel rører ved siden er . $d={\frac {a+bc}{2}}=stk$
Afstanden fra toppunktet C til centrum af den indskrevne cirkel er , hvor er radius af den indskrevne cirkel, og γ er vinklen på toppunktet C . $l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2))))}$ $r$
Afstanden fra toppunktet C til midten af den indskrevne cirkel kan også findes ved hjælp af formlerne og $l_{c}={\sqrt {(pc)^{2}+r^{2))}$ $l_{c}={\sqrt {ab-4Rr))$
Trident -sætning eller trefoil-sætning : Hvis D er skæringspunktet for halveringspunktet for vinkel A med den omskrevne cirkel af trekanten ABC , er I og J centrene for henholdsvis den indskrevne og excirkeltangenten til siden BC , så . $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$

Lemma af Verrier [2] [3] : lad cirklen røre siderne , og buen af trekantens omskrevne cirkel . Så ligger cirklens tangenspunkter med siderne og midten af trekantens indskrevne cirkel på den samme lige linje. $V$ $AB$ $AC$ $f.Kr$ $ABC$ $V$ $ABC$

Feuerbachs sætning . Cirklen med ni punkter berører alle tre excirkler , såvel som den indskrevne cirkel . Tangenspunktet mellem Euler-cirklen og incirkelen er kendt som Feuerbach-punktet .

Forholdet mellem indskrevne og omskrevne cirkler

Euler formel : Hvis - afstanden mellem centrene af de indskrevne og omskrevne cirkler, og deres radier er lige store og henholdsvis, så . $d$ $r$ $R$ $d^{2}=R^{2}-2Rr$
Formler for forhold og produkt af radier:

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[fire]

2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}

{\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2} }=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1

hvor er trekantens halve omkreds og er dens areal. $s$ $S$

Vinkler hævet til siderne af trekanten ved cirklernes kontaktpunkter skærer hinanden i et punkt. Dette punkt er symmetrisk med midten af den indskrevne cirkel i forhold til midten af den omskrevne cirkel [5] .

For en trekant kan man konstruere en semi -indskrevet cirkel eller en Varière-cirkel. Det er en cirkel, der tangerer to sider af en trekant og dens omskrevne cirkel indvendigt. Segmenterne, der forbinder trekantens hjørner og de tilsvarende kontaktpunkter for Verrier-cirklerne med den omskrevne cirkel, skærer hinanden i et punkt. Dette punkt tjener som centrum for en homoteti med en positiv koefficient, der tager den omskrevne cirkel til den indskrevne .
Centrum af den indskrevne cirkel ligger på segmentet, der forbinder kontaktpunkterne for trekantens sider og den halvindskrevne cirkel.

Forholdet mellem midten af den indskrevne cirkel og midtpunkterne af højderne i en trekant

Rigbys sætning . Hvis vi tegner en højde og en cirkel, der berører den på den anden side, til en hvilken som helst side af en spidsvinklet trekant , så ligger sidstnævntes kontaktpunkt med denne side, midtpunktet af den nævnte højde og også indersiden på den ene lige linje. [6] .
Det følger af Rigbys sætning , at 3 segmenter, der forbinder midtpunktet af hver af de 3 højder af en trekant med kontaktpunktet for en cirkel tegnet til samme side som højden, skærer hinanden i midten .

I en firkant

Den beskrevne firkant , hvis den ikke har selvskæringer ("simpel"), skal være konveks .
Nogle (men ikke alle) firkanter har en indskrevet cirkel. De kaldes omskrevne firkanter . Blandt egenskaberne ved disse firkanter er det vigtigste, at summen af modstående sider er lige store. Dette udsagn kaldes Pitot-sætningen .
Med andre ord kan en cirkel indskrives i en konveks firkant ABCD, hvis og kun hvis summen af dens modstående sider er ens: . $AB+CD=BC+AD$

I enhver omskrevet firkant ligger diagonalernes to midtpunkter og midten af den indskrevne cirkel på den samme rette linje ( Newtons sætning ). På den ligger midten af segmentet med ender ved skæringspunkterne for fortsættelserne af de modsatte sider af firkanten (hvis de ikke er parallelle). Denne linje kaldes Newtons linje . På figuren er den grøn, diagonalerne er røde, segmentet med ender i skæringspunkterne for fortsættelserne af de modsatte sider af firkanten er også rødt.
Centret af cirklen, der er afgrænset om firkanten , er skæringspunktet mellem trekantens højder med toppunkterne i skæringspunktet mellem diagonalerne og skæringspunkterne for modstående sider ( Brocards sætning ).

I en sfærisk trekant

Den indskrevne cirkel for en sfærisk trekant er cirklen, der tangerer alle dens sider.

Tangensen for radius [7] af en cirkel indskrevet i en sfærisk trekant er [8] :73-74

{\displaystyle \operatornavn {tg} r={\sqrt {\frac {\sin(pa)\sin(pb)\sin(pc)}{\sin p))))

En cirkel indskrevet i en sfærisk trekant hører til kuglen. Radius trukket fra sfærens centrum gennem midten af den indskrevne cirkel vil skære sfæren ved skæringspunktet mellem vinkelhalveringslinjen (buer af storcirkler i sfæren, der deler vinklerne i to) i en sfærisk trekant [8] :20-21 .

Generaliseringer

En indskrevet kugle er en kugle, der berører alle overflader af et polyeder .
En Steiner-ellipse er en ellipse indskrevet i en trekant.

Se også

Noter

↑ Altshiller-Court, 1925 , s. 79.
↑ Efremov D. Ny geometri af en trekant . - Odessa, 1902. - S. 130. - 334 s.
↑ Efremov D. Ny geometri af en trekant. Ed. 2. Serie: Physical and Mathematical Heritage (genoptrykt gengivelse af udgaven). . - Moskva: Lenand, 2015. - 352 s. - ISBN 978-5-9710-2186-5 .
↑ Longuet-Higgins, Michael S., "Om forholdet mellem inradius og cirkumradius af en trekant", Mathematical Gazette 87, marts 2003, 119-120.
↑ Myakishev A. G. Elementer i en trekants geometri. Serie: "Bibliotek" Matematisk Uddannelse "". M.: MTsNMO, 2002. s. 11, punkt 5
↑ Ross Honsberger . Episoder i det nittende og tyvende århundredes euklidiske geometri . Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390 . s. 30, figur 34, §3. En usandsynlig kolinearitet.
↑ Her måles cirklens radius langs kuglen, det vil sige, at den er gradmålet for den store cirkelbue, der forbinder skæringspunktet for kuglens radius, trukket fra kuglens centrum gennem midten af kuglen. cirkel, med kuglen og kontaktpunktet for cirklen med siden af trekanten.
↑ 1 2 Stepanov N. N. Sfærisk trigonometri. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 s.

Litteratur

Valgfrit kursus i matematik. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaya. - M . : Education , 1991. - S. 89. - 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .
Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M . : MTSNMO , 2004. - S. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0 .
Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2. udgave), New York: Barnes & Noble