Kirchhoff regerer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. december 2019; checks kræver 9 redigeringer .

Kirchhoffs regler (ofte kaldet Kirchhoffs love i den tekniske litteratur ) er de forhold, der holder mellem strømme og spændinger i sektioner af ethvert elektrisk kredsløb .

Løsninger af systemer med lineære ligninger , kompileret på grundlag af Kirchhoffs regler, giver dig mulighed for at finde alle strømme og spændinger i elektriske kredsløb af jævn-, veksel- og kvasi-stationær strøm [1] .

De er af særlig betydning i elektroteknik på grund af deres alsidighed, da de er egnede til at løse mange problemer i teorien om elektriske kredsløb og praktiske beregninger af komplekse elektriske kredsløb.

Anvendelsen af Kirchhoffs regler på et lineært elektrisk kredsløb gør det muligt at opnå et system af lineære ligninger for strømme eller spændinger og følgelig, når man løser dette system, at finde værdierne af strømme i alle grene af kredsløbet og alle internodale spændinger.

Formuleret af Gustav Kirchhoff i 1845 [2] .

Navnet "Regler" er mere korrekt, fordi disse regler ikke er grundlæggende naturlove, men følger af de fundamentale love for ladningsbevarelse og irrotation af det elektrostatiske felt ( Maxwells tredje ligning for et konstant magnetfelt). Disse regler må ikke forveksles med yderligere to Kirchhoffs love i kemi og fysik .

Ordlyden af reglerne

Definitioner

For at formulere Kirchhoffs regler introduceres begreberne node , gren og kredsløb i et elektrisk kredsløb . En gren er en sektion af et elektrisk kredsløb med samme strøm, for eksempel i fig. segmentet mærket R 1 , I 1 er grenen. En node er et forbindelsespunkt af tre eller flere grene (angivet med fede prikker i figuren). Et kredsløb er en lukket vej, der går gennem flere grene og knudepunkter i et omfattende elektrisk kredsløb. Udtrykket lukket sti betyder, at du starter fra en eller anden knude i kæden og går gennem flere grene og knudepunkter én gang , kan vende tilbage til den oprindelige knude . De grene og knuder, der krydses under en sådan bypass, kaldes sædvanligvis tilhørende denne kontur. I dette tilfælde skal man huske på, at en gren og en node kan tilhøre flere konturer på samme tid.

I forhold til disse definitioner er Kirchhoffs regler formuleret som følger.

Første regel

Kirchhoffs første regel (Kirchhoffs nuværende regel) siger, at den algebraiske sum af grenstrømme, der konvergerer ved hver knude i ethvert kredsløb, er nul. I dette tilfælde anses strømmen rettet til knudepunktet for at være positiv, og strømmen rettet fra knudepunktet er negativ: Den algebraiske sum af strømmene rettet til knudepunktet er lig med summen af strømmene rettet fra knudepunktet.

\sum \limits _{{j=1}}^{n}I_{j}=0.

Med andre ord, hvor meget strøm der flyder ind i noden, så meget flyder ud af det. Denne regel følger af den grundlæggende lov om bevaring af ladning .

Ved beregningen skal det dog tages i betragtning, at denne regel kun gælder i tilfælde af en ubetydelig knudekapacitet. Ellers kan den første regel blive overtrådt, hvilket især er mærkbart ved højfrekvente strømme.

Anden regel

Den anden Kirchhoff-regel (Kirchhoff-spændingsregel) siger, at den algebraiske sum af spændingerne på de resistive elementer i et lukket kredsløb er lig med den algebraiske sum af den EMF , der er inkluderet i dette kredsløb. Hvis der ikke er nogen EMF-kilder (idealiserede spændingsgeneratorer) i kredsløbet, så er det samlede spændingsfald nul:

for konstante spændinger

\sum _{{k=1}}^{n}E_{k}=\sum _{{k=1}}^{m}U_{k}=\sum _{{k=1}}^{ m}R_{k}I_{k};

til variable spændinger

\sum _{{k=1}}^{n}e_{k}=\sum _{{k=1}}^{m}u_{k}=\sum _{{k=1}}^{ m}R_{k}i_{k}+\sum _{{k=1}}^{m}u_{{L\,k}}+\sum _{{k=1}}^{m}u_ {{C\,k}}.

Denne regel følger af Maxwells 3. ligning, i det særlige tilfælde af et stationært magnetfelt.

Med andre ord, når kredsløbet er fuldstændig omgået, vender potentialet, skiftende, tilbage til sin oprindelige værdi. Et særligt tilfælde af den anden regel for et kredsløb bestående af et kredsløb er Ohms lov for dette kredsløb. Når du udarbejder spændingsligningen for løkken, skal du vælge den positive retning for at omgå løkken. I dette tilfælde betragtes spændingsfaldet på grenen som positivt, hvis bypassretningen for denne gren falder sammen med den tidligere valgte retning af grenstrømmen og negativ - ellers (se nedenfor).

Kirchhoffs regler er gyldige for lineære og ikke-lineære lineariserede kredsløb for enhver art af ændringer i tid af strømme og spændinger.

Funktioner ved udarbejdelse af ligninger til beregning af strømme og spændinger

Hvis kredsløbet indeholder noder, er det beskrevet af strømligningerne. Denne regel kan også anvendes på andre fysiske fænomener (for eksempel et system af væske- eller gasrørledninger med pumper), hvor loven om bevarelse af mediets partikler og strømmen af disse partikler er opfyldt. $s$ $p-1$

Hvis kredsløbet indeholder grene, hvoraf grene indeholder strømkilder i mængden af , så er det beskrevet af spændingsligningerne. $m$ $m_i$ $m-m_{i}-(p-1)$

Kirchhoffs regler, skrevet for noderne eller kredsløbene i et kredsløb, giver et komplet system af lineære ligninger, der giver dig mulighed for at finde alle strømme og alle spændinger. $p-1$ $m-(p-1)$
Før du skriver ligningerne, skal du vilkårligt vælge:
- positive retninger af strømme i grenene og udpege dem på diagrammet, mens det ikke er nødvendigt at sikre, at strømretningerne i knudepunktet er både indgående og udgående, vil den endelige løsning af ligningssystemet stadig give de korrekte tegn på nodestrømmene;
- de positive retninger for omgåelse af konturerne til kompilering af ligninger i henhold til den anden lov, af hensyn til ensartetheden anbefales det, at de positive retninger for omgåelse vælges ens for alle konturer (for eksempel: med uret).
Hvis strømretningen er den samme som loop-bypass-retningen (som er vilkårligt valgt), betragtes spændingsfaldet som positivt, ellers er det negativt.
Når man skriver lineært uafhængige ligninger efter den anden Kirchhoff-regel, stræber man efter, at hver ny kontur, som ligningen er sammensat til, omfatter mindst én ny gren, der ikke er med i de tidligere konturer, som der allerede er skrevet ligninger for efter den anden. lov ( en tilstrækkelig, men ikke nødvendig betingelse ).
I komplekse ikke-planære grafer af elektriske kredsløb er det vanskeligt for en person at se uafhængige kredsløb og knudepunkter, hvert uafhængigt kredsløb (knudepunkt), når der kompileres et ligningssystem, genererer 1 mere lineær ligning i systemet af lineære ligninger, der definerer problemet. At tælle antallet af uafhængige konturer og deres eksplicitte indikation i en bestemt graf er udviklet i grafteori .

Eksempel

Antal noder: 3.

$p-1=2$

Antal grene (i lukkede kredsløb): 4. Antal grene, der indeholder en strømkilde: 0.

$m-m_{i}-(p-1)=2$

Antal kredsløb: 2.

For kredsløbet vist på figuren, i overensstemmelse med den første regel, gælder følgende relationer:

{\begin{cases}I_{1}-I_{2}-I_{6}=0\\I_{2}-I_{4}-I_{3}=0\end{cases))

Bemærk, at der skal vælges en positiv retning for hver knude, for eksempel her betragtes strømme, der løber ind i en knude, som positive og strømme, der løber ud som negative.

Løsningen af det resulterende lineære system af algebraiske ligninger giver dig mulighed for at bestemme alle strømmene i knuderne og grene, denne tilgang til kredsløbsanalyse kaldes almindeligvis metoden til sløjfestrømme .

I overensstemmelse med den anden regel er følgende forhold sande:

{\begin{cases}U_{2}+U_{4}-U_{6}=0\\U_{3}+U_{5}-U_{4}=0\end{cases))

De resulterende ligningssystemer beskriver fuldstændigt det analyserede kredsløb, og deres løsninger bestemmer alle strømme og alle spændinger i grenene. Denne tilgang til kredsløbsanalyse kaldes almindeligvis metoden for knudepotentialer .

Om betydningen for elektroteknik

Kirchhoffs regler er af anvendt karakter og tillader sammen med og i kombination med andre metoder og metoder ( den ækvivalente generatormetode , superpositionsprincippet , metoden til at tegne et potentialediagram) at løse problemer inden for elektroteknik. Kirchhoffs regler har fundet bred anvendelse på grund af enkelheden i at formulere ligninger og muligheden for at løse dem ved hjælp af standard lineære algebrametoder ( Cramers metode , Gauss metode osv.).

Betydning i matematik

Kirchhoffs første regel kan formuleres i matrixform. Lad nemlig det elektriske kredsløb bestå af noder. Lad os lave en matrix , hvor for er ledningsevnen af grenen, der forbinder noder med tal og (hvis de ikke er forbundet, kan du mentalt forbinde dem med en gren med nul ledningsevne). På samme tid . Lad være et potentiale, som vi betragter som en funktion defineret på sættet af noder (eller, som er det samme, en vektor i -dimensionelt rum ). Så, ved definitionen af ledningsevne, har vi , hvor er strømmen i grenen, der går fra toppunkt til toppunkt . Derfor kan den første Kirchhoff-regel for den -th node skrives som , eller , eller givet definitionen af de diagonale elementer i matrixen, som . På venstre side af ligheden er det let at finde ud af koordinaten for produktet af matricen og kolonnevektoren . $n$ $A=\{a_{ij}\}_{i,j=1}^{n}$ $a_{{ij}}$ $i \neq j$ $jeg$ $j$ $a_{jj}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}(-a_{ij})$ $\varphi$ $\mathbf {u} =(\varphi _{1},\varphi _{2},\dots ,\varphi _{n})$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $I_{ij}=a_{ij}(\varphi _{i}-\varphi _{j})$ $I_{ij}$ $jeg$ $j$ $j$ $\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}I_{ij}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}(\ varphi _{i}-\varphi _{j})=0$ $\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}\varphi _{i}+\left(\sum _{i=1,~i\neq j}^ {n}(-a_{ij})\right)\varphi _{j}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}\varphi _{i}+a_ {jj}\varphi _{j}=0$ $\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\varphi _{i}=0$ $EN$ $\mathbf {u}$

Så Kirchhoffs første regel i matrixform lyder:

${\begin{Vmatrix}a_{11}&a_{21}&\dots &a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\dots &a_{n2}\\...&... &...&...\\a_{1n}&a_{2n}&\dots &a_{nn}\end{Vmatrix}}{\begin{Vmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2 }\\...\\\varphi _{n}\end{Vmatrix}}=0\venstrepil A^{T}\mathbf {u} =\mathbf {0}$ .

I denne form kan det generaliseres til ledende overflader. Ved en buet overflade afhænger ledningsevnen ikke kun af punktet, men også af retningen. Med andre ord er ledningsevnen en funktion på tangentvektorerne til overfladen. Hvis vi antager, at den på tangentrum er godt tilnærmet af en positiv-bestemt kvadratisk form, kan vi tale om den som en riemannsk metrik (der adskiller sig fra afstanden på overfladen som en geometrisk form, der tager hensyn til dens elektriske ikke-isotropi ejendomme). Hvert punkt på overfladen kan fungere som en knude, og derfor vil potentialet ikke længere være en vektor, men en funktion på overfladen. Analogen til matrixen af ledningsevner vil være Laplace-Beltrami-operatøren af den metriske ledningsevne, som virker på rummet af glatte funktioner. Kirchhoffs første regel for en overflade siger nøjagtig det samme: . Potentialet er med andre ord en harmonisk funktion . $g$ $u$ ${\displaystyle \Delta _{g))$ $\Delta _{g}u=0$

I denne henseende kaldes den matrix, der er forbundet med en vilkårligt vægtet graf , bortset fra diagonalen, der er lig med tilstødende matrix , nogle gange den diskrete Laplacian . Analoger af teoremer om harmoniske funktioner, såsom eksistensen af en harmonisk funktion i et domæne med en grænse for givne værdier på grænsen, opnået ved foldning med en eller anden kerne, finder også sted for diskrete harmoniske funktioner. Omvendt kan en ledende overflade tilnærmes af et gitter af modstande, og diskrete harmoniske funktioner på dette gitter tilnærmer de harmoniske funktioner på den tilsvarende overflade. Gershgorin-integratoren er baseret på denne omstændighed , en analog computer, der blev brugt til at løse Laplace-ligningen i 30'erne - 70'erne af det XX århundrede. $EN$

I tilfælde af en ledende overflade giver det i stedet for en potentialforskel mening at tale om en 1-form . Vektorfeltet forbundet med det ved hjælp af ledningsevnemetrikken er den elektriske strøm på denne overflade. Ifølge Kirchhoffs første regel er denne 1-form også harmonisk (det vil sige, den ligger i kernen af Hodge Laplacian defineret på differentialformer). Dette giver et fingerpeg om, hvordan man korrekt formulerer Kirchhoffs lov for det tilfælde, hvor feltet ikke er potentielt: nemlig 1-formen opnået fra strømmen, betragtet som et vektorfelt, ved ledningsevnen, betragtet som en Riemann-metrik, skal være harmonisk. Ved at kende den elektromotoriske kraft omkring hver topologisk ikke-triviel kontur på overfladen, er det desuden muligt at genoprette styrken og retningen af strømmen på hvert punkt på en unik måde. Især dimensionen af rummet af alle mulige strømme er lig med dimensionen af rummet af topologisk ikke-trivielle konturer. Dette faktum var en af grundene til opdagelsen af Poincarés dualitet ; det faktum, at de elektromotoriske kræfter entydigt bestemmer strømmen (harmonisk 1-form) er et særligt tilfælde af Hodge-teorien for 1-former (Hodge-teorien siger, at på en Riemann-manifold er hver de Rham-kohomologiklasse repræsenteret af en harmonisk form, og kun én dertil). $du$ $\mathrm {grad} _{g}(u)$

Kirchhoffs strålingslov

Kirchhoffs strålingslov siger, at forholdet mellem ethvert legemes emissivitet og dets absorptionskapacitet er det samme for alle legemer ved en given temperatur for en given frekvens for ligevægtsstråling og ikke afhænger af deres form, kemiske sammensætning osv.

Kirchhoffs lov i kemi

Kirchhoffs lov siger, at temperaturkoefficienten for varmeeffekten af en kemisk reaktion er lig med ændringen i systemets varmekapacitet under reaktionen.

Noter

↑ Kirchhoff regler - artikel fra Great Soviet Encyclopedia .
↑ Gustav Robert Kirchhoff . Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige . - 1845. - S. 497-514 .

Litteratur

Matveev A. N. Elektricitet og magnetisme: en lærebog. - M . : Højere skole, 1983. - 463 s.
Kalashnikov S. G. Elektricitet: en lærebog. - M. : Fizmatlit, 2003. - 625 s.
Bessonov L. A. Teoretisk grundlag for elektroteknik. Elektriske kredsløb. — 11. udgave. — M .: Gardariki, 2007.
Gerasimov V. G., Kuznetsov E. V., Nikolaeva O. V. Elektroteknik og elektronik. Bestil. 1. Elektriske og magnetiske kredsløb. - M. : Energoatomizdat, 1996. - 288 s. — ISBN 5-283-05005-X .