Generaliseret Gauss-Bonnet formel

Den generaliserede Gauss-Bonnet- formel er en integreret formel, der udtrykker Euler-karakteristikken for en lukket ligedimensionel Riemann-manifold med hensyn til dens krumning. Dette er en direkte generalisering af Gauss-Bonnet-formlen til højere dimensioner.

Historie

Den generaliserede Gauss-Bonnet-formel blev bevist uafhængigt og næsten samtidigt af Weil [1] og Allendorfer [2] for lukkede Riemann-manifolder, der tillader isometriske indlejringer i det euklidiske rum. (Idéen med beviset var at beregne graden af den gaussiske kortlægning af hyperoverfladen dannet af grænsen for et lille rørformet kvarter af en given undermanifold.) På dette tidspunkt var det ikke kendt, om alle manifolder tillod sådanne indlejringer - Nashs teorem om regulære indlejringer blev først bevist i 1956.

I 1945 generaliserede Chern [3] formlen til tilfældet med alle Riemann-manifolder.

Ordlyd

Lad være en kompakt orienterbar 2 n - dimensional Riemannmanifold uden grænse, og være dens krumningsform . Bemærk, at formen kan ses som en skæv-symmetrisk matrix, hvis komponenter er 2-former på . Især er en matrix over en kommutativ ring $M$ $\Omega$ $\Omega$ $M$ $\Omega$

\bigwedge \nolimits ^{\text{selv}}T^{*}M.

Derfor kan du beregne dens Pfaffian , som er en 2 n -form. $\operatørnavn {Pf} (\Omega )$

Den generaliserede Gauss-Bonnet-formel kan skrives som

\int \limits _{M}\operatørnavn {Pf} (\Omega )=(2\pi )^{n}\chi (M)

hvor betegner Euler-karakteristikken . $\chi (M)$ $M$

Eksempler

I dimension 2 bliver formlen til den sædvanlige Gauss-Bonnet-formel
I dimension fire kan formlen omskrives på følgende bekvemme måde: $\chi (M)={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\int \limits _{M}\left(|\mathrm {Rm} |^{2}-4| \mathrm {Rc} |^{2}+\mathrm {R} ^{2}\right)d\mu$ ,

hvor er den totale krumningstensor , er Ricci-tensoren og er den skalære krumning .

\mathrm {Rm}

\mathrm {Rc}

{\mathrm {R}}

Se også

Noter

↑ Weyl H. Om volumen af rør. Amer J Math, 61: 461-472 (1939)
↑ Allendoerfer C B. Euler-tallet for en Riemann-manifold. Amer J Math, 62:243-248
↑ Chern , Shiing-Shen (1945), On the curvatura integra in Riemannian manifold , Annals of Mathematics bind 46(4): 674–684 , DOI 10.2307/1969203