Dehn-Sommerville ligninger

Dehn-Somerville-ligningerne er et komplet sæt lineære relationer for antallet af flader af forskellige dimensioner i et simpelt polyeder . Disse ligninger kan omskrives for simple polytoper , da sidstnævnte er dobbelte til simple polytoper.

Ordlyd

For et givet enkeltdimensionelt polyeder , angives ved antallet af dimensionsflader ; især ,. Overvej den formelle sum $n$ $P$ $f_{k}$ $P$ $k$ $f_{n}=1$

{\displaystyle \sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k))

hvor det vil sige, at koefficienterne opstår naturligt, når man åbner parenteserne af den venstre sum. $h_{k}=\sum _{i\geqslant k}f_{i}(-1)^{ik}{\binom {i}{k))$ ${\displaystyle h_{k))$

Så har Dehn-Somerville-ligningerne formen

{\displaystyle h_{k}=h_{nk))

for hvert heltal . $k$

Relaterede definitioner

Sekvensen kaldes polyederens f-vektor. $(f_{0},f_{1},\dots ,f_{n})$
Sekvensen kaldes polyederens h-vektor. $(h_{0},h_{1},\dots ,h_{n})$
- Hvis er en lineær funktion i generel position, det vil sige, at alle hjørnerne af polyederet ligger på forskellige niveauer , så er det lig med antallet af hjørner af indekset ; det vil sige, præcis kanter fra dette toppunkt går ned langs . Dehn-Somerville-ligningerne opnås ved at erstatte med . $\ell \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $P$ $\ell$ ${\displaystyle h_{k))$ $P$ $k$ $k$ $\ell$ $\ell$ $-\ell$
  - Derudover opnår vi for enhver , dette giver ikke-trivielle uligheder for -vektoren. $h_{k}\geqslant 0$ $k$ $f$

Historie

I dimension 4 og 5 blev relationerne beskrevet af Max Dehn [1] . I det generelle tilfælde blev ligningerne beskrevet af Duncan Somerville i 1927.

Noter

↑ M. Dehn, 1905, "Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie", Math. Ann. 61 (1905), 561-586

Litteratur

V. A. Timorin. Kombinatorik af konvekse polyedre . - MTSNMO, 2002. - (Sommerskole "Moderne matematik"). — ISBN 5-94057-024-0 .