Euler identitet (kompleks analyse)

Euler-identiteten er et specialtilfælde af Euler-formlen for , en velkendt identitet , der forbinder fem fundamentale matematiske konstanter : $x=\pi$

e^{i\pi}+1=0,

hvor

e

- tallet e eller basis af den naturlige logaritme ,

jeg

er den imaginære enhed ,

\pi

- pi , forholdet mellem en cirkels omkreds og længden af dens diameter ,

en

— enhed , neutralt element ved multiplikation ,

0

— nul , neutralt element ved additionsoperationen .

Eulers identitet er opkaldt efter den schweiziske , tyske og russiske matematiker Leonhard Euler . Identiteten betragtes som et paragon for matematisk skønhed , da den viser den dybe sammenhæng mellem de mest fundamentale tal i matematik.

Konklusion

Euler-identiteten er et specialtilfælde af Euler-formlen fra kompleks analyse :

e^{ix}=\cos x+i\sin x

for enhver ægte . (Bemærk, at argumenterne for de trigonometriske funktioner og er taget i radianer ). I særdeleshed $x$ $\synd$ $\cos$

e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .

Og fra hvad

\cos \pi =-1

\sin \pi =0,

skulle gerne

e^{i\pi }=-1

som giver identiteten:

e^{i\pi }+1=0.

Generaliseringer

Eulers identitet er også et specialtilfælde af en mere generel identitet: summen af rødderne til enhed af th grad ved er lig med : $n$ $n>1$ $0$

\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n))}=0.

Eulers identitet er tilfældet, når . $n=2$

I et andet område af matematikken, ved hjælp af quaternion - eksponentiering , kan det påvises, at en lignende identitet også gælder for quaternions. Lad { i , j , k } være grundelementer; derefter

e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.

Generelt, hvis reel a 1 , a 2 og a 3 er givet således, at a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = 1 , så

e^{\left(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\right)\pi }+1=0.

For oktonioner , med reel a n sådan, at a 1 2 + a 2 2 + ... + a 7 2 = 1 , og med grundlæggende elementer af oktonioner { i 1 , i 2 , ..., i 7 },

e^{\left(a_{1}i_{1}+a_{2}i_{2}+\dots +a_{7}i_{7}\right)\pi }+1=0.

Matematisk skønhed

Eulers identitet, der kombinerer tre grundlæggende matematiske operationer ( addition , multiplikation og eksponentiering ) og fem fundamentale matematiske konstanter, der hører til matematikkens fire klassiske områder (tallene og hører til aritmetik , den imaginære enhed til algebra , tallet til geometri og nummer e - til matematisk analyse [1] ), gjorde et dybt indtryk på den videnskabelige verden, blev mystisk fortolket som et symbol på matematikkens enhed og nævnes ofte som et eksempel på dyb matematisk skønhed . $0$ $en$ $jeg$ $\pi$

Eulers identitet forårsagede mange rosende anmeldelser.

Carl Friedrich Gauss sagde, at hvis denne formel ikke umiddelbart er indlysende for en elev, så vil han aldrig blive en førsteklasses matematiker [2] .
Professor i matematik, naturfilosofi og astronomi ved Harvard University, Benjamin Pierce , sagde efter at have bevist Euler-identiteten ved en forelæsning, at "dette er nok sandt, men det er absolut paradoksalt; vi kan ikke forstå det, og vi ved ikke, hvad det betyder, men vi har bevist det, og derfor ved vi, at det skal være sandt” [3] .
Fysiker Richard Feynman kaldte (1977) Eulers identitet "vores skat" og "den mest bemærkelsesværdige formel i matematik" [4] .
Stanford University matematik professor Keith Devlini sit essay "The Most Beautiful Equation" (2002) sagde: "Som en Shakespeares sonet fanger selve essensen af kærlighed, eller et maleri afslører skønheden i den menneskelige form, meget dybere end blot hud, trænger Eulers ligning ind i dybden af eksistens" [5] .
University of New Hampshire professor emeritus Paul Nahini sin bog om Eulers formel og dens anvendelse i Fourier-analyse beskriver Eulers identitet som "raffineret skønhed" [5] .
Ifølge matematikkens popularisator Constance Read er denne identitet "den mest berømte formel i hele matematikken" [6] .

En læserundersøgelse foretaget af The Mathematical Intelligencer i 1990 kaldte Eulers identitet "den smukkeste sætning i matematik" [7] . I en anden læserundersøgelse foretaget af fysiktidsskriftet PhysicsWorld i 2004 blev Eulers identitet (sammen med Maxwells ligninger ) kaldt "den største ligning i historien" [8] .

En undersøgelse af hjernen hos seksten matematikere viste, at den "emotionelle hjerne" (især den mediale orbitofrontale cortex , som reagerer på smuk musik, poesi, malerier osv.) blev aktiveret mere konsekvent i tilfældet med Euler-identiteten end i forhold til enhver anden formel [9] .

Historie

Eulers formel , hvorfra Eulers identitet umiddelbart følger, blev først citeret i en artikel af den engelske matematiker Roger Cotes ( Newtons assistent) "Logometria" ( lat. Logometria ), offentliggjort i Philosophical Transactions of the Royal Society i 1714 [10] ( da Euler var 7 år gammel), og genoptrykt i bogen "Harmony of Measures" ( lat. Harmonia mensurarum ) i 1722 [11] .

Euler publicerede Eulers formel i sin sædvanlige form i en artikel fra 1740 og i bogen "Introduction to the analysis of infinitesimals" ( lat. Introductio in analysin infinitorum ) ( 1748 ) [12] .

Men i Eulers papirer fra 1740 og 1748 fremgår Eulers identitet (i dens nuværende klassiske form) ikke, hvor det er muligt, at han aldrig har afledt den. Der er en mulighed for, at Euler kunne have fået oplysninger om Eulers formel gennem sin schweiziske landsmand Johann Bernoulli [13] .

Ifølge Robin Wilson[14] :

Vi har set, hvordan det [Eulers identitet] let kan udledes af resultaterne af Johann Bernoulli og Roger Kotes, men ingen af dem synes at have gjort det. Selv Euler ser ikke ud til at have skrevet dette eksplicit - og det fremgår naturligvis ikke af nogen af hans publikationer - selvom han uden tvivl indså, at det følger umiddelbart af hans identitet [i dette tilfælde Eulers formel ], e ix \u003d cos x + i sin x . Desuden lader det til, at det ikke vides, hvem der var den første til at formulere resultatet eksplicit...

I kultur

Filmen af Takashi Koizumi " Professor's Favorite Equation " er dedikeret til Eulers identitet .

Noter

↑ Danzig, Tobias. Tal er videnskabens sprog . - M . : Technosfera, 2008. - S. 111 . - ISBN 978-5-94836-172-7 .
↑ Derbyshire, John . Simpel besættelse. Bernhard Riemann og det største uløste problem i matematik. Astrel, 2010. 464 s. ISBN 978-5-271-25422-2 .
↑ Kasner, E. og Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster , Maor, Eli (1998), e: The Story of a number, Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7 .
↑ Feynman, Richard P. Feynman-forelæsningerne om fysik (på russisk) . - Addison-Wesley , 1977. - T. I. - S. 22-10. — ISBN 0-201-02010-6 .
↑ 1 2 Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2 .
↑ Reid, Constance (forskellige udgaver), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
↑ Wells, David (1990), "Er disse de smukkeste?", The Mathematical Intelligencer, 12: 37–41, doi:10.1007/BF03024015
↑ Crease, Robert P. (10. maj 2004), "The greatest equations ever", Physics World
↑ Zeki, S .; Romaya, JP ; Benincasa, DMT ; Atiyah, MF (2014), "Oplevelsen af matematisk skønhed og dens neurale korrelater", Frontiers in Human Neuroscience, 8, doi:10.3389/fnhum.2014.00068, PMC 3923150
↑ Cotes R. Logometria // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : tidsskrift. - 1714-1716. — Bd. 29 . — S. 32 . - doi : 10.1098/rstl.1714.0002 . Arkiveret fra originalen den 6. juli 2017.
↑ Cotes R. Harmonia mensurarum . - 1722. - s. 28. Arkiveksemplar af 7. juni 2020 på Wayback Machine
↑ Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . - 1748. - T. 1. - S. 104.
↑ Sandifer, C. Edward. Eulers største hits. - Mathematical Association of America, 2007. - ISBN 978-0-88385-563-8 .
↑ Wilson, Robin. Eulers banebrydende ligning: Den smukkeste sætning i matematik (engelsk) . — Oxford University Press, 2018.