Arrows sætning

Arrow's sætning (også kendt som Arrow's Paradox eller Arrow's Dictatorship Theorem) er en "demokrati umulighed"-sætning som et " kollektivt valg ", ellers kendt som "diktatorens uundgåelighedssætning". Formuleret af den amerikanske økonom Kenneth Arrow i 1951 . [1] Betydningen af dette teorem er, at der inden for rammerne af den ordinalistiske tilgang ikke er nogen metode til at kombinere individuelle præferencer for tre eller flere alternativer, som ville opfylde nogle ganske rimelige betingelser og altid ville give et logisk konsistent resultat.

Den ordinalistiske tilgang bygger på, at individets præferencer for de tilbudte alternativer ikke kan måles kvantitativt, men kun kvalitativt, det vil sige, at et alternativ er dårligere eller bedre end et andet.

Inden for rammerne af den kardinale tilgang, som forudsætter kvantitativ målbarhed af præferencer, virker Arrows sætning ikke i det generelle tilfælde. [2] [3]

Formuleringer

1951 ordlyd

Lad der være N ≥ 2 vælgere, der stemmer på n ≥ 3 kandidater ( beslutningsteoretisk kaldes kandidater for alternativer ). Hver vælger har en ordnet liste over alternativer. Afstemningssystemet er en funktion, der gør et sæt af N sådanne lister ( afstemningsprofil ) til en fælles ordnet liste.

Valgsystemet kan have følgende egenskaber:

Alsidighed For enhver stemmeprofil er der et resultat - en ordnet liste med n alternativer. fuldstændighed Afstemningssystemet kan producere alle n ! permutationer af alternativer. Monotone Hvis i alle N lister nogle alternativer x forbliver på plads eller rykker op, og rækkefølgen af de andre ikke ændres, så skal x i den generelle liste blive på plads eller rykke op. Fravær af en diktator Der er ingen vælgere, hvis præferencer ville bestemme udfaldet af valget, uanset andre vælgeres præferencer. Uafhængighed af eksterne alternativer Hvis afstemningsprofilen ændres, så alternativerne x og y på alle N lister forbliver i samme rækkefølge, så ændres deres rækkefølge ikke i det endelige resultat.

For N ≥ 2 og n ≥ 3 er der ikke noget stemmesystem, der opfylder alle fem betingelser.

1963 ordlyd

I 1963-formuleringen er Arrows betingelser som følger.

Alsidighed Fravær af en diktator Uafhængighed af eksterne alternativer Pareto-effektivitet eller princip om enstemmighed hvis hver vælger har et alternativ x på listen højere end y , så skulle det samme være i det endelige resultat.

For N ≥ 2 og n ≥ 3 er der ikke noget stemmesystem, der opfylder alle fire betingelser.

Bevis

Lad os introducere følgende notation:

$O$ er et sæt af resultater, som hver agent rangerer i henhold til sine præferencer.
$L_i$ er den lineære rækkefølge af præferencer for den th agent på mængden givet af relationen . $jeg$ $O$ ${\displaystyle \succ _{i))$
$[\succ ']$ — præferenceprofil (en tuple, hvis elementer er præferencer for alle agenter).
$W:L^{N}\to L_{W}$ er en social velfærdsfunktion.
$\succ _{W}$ - kollektive præferencer.

Lad os give formelle definitioner:

Pareto-effektiv :Pareto-effektiv, hvis der er nogen resultater. $W$ $o_{1},o_{2}\in O,\forall i(o_{1}\succ _{i}o_{2})\Rightarrow (o_{1}\succ _{W}o_{ 2})$
Uafhængighed af uvedkommende alternativer : uafhængig af uvedkommende alternativer, hvis det er for et hvilket som helst udfald og for to præferenceprofiler og . $W$ $o_{1},o_{2}\in O$ $[\succ ']$ ${\textstyle [\succ '']\in L_{n},\forall i(o_{1}\succ '_{i}o_{2}\Leftrightarrow o_{1}\succ ''_{i}o_ {2})\Rightarrow (o_{1}\succ '_{W([\succ '])}o_{2}\Leftrightarrow o_{1}\succ ''_{W([\succ '']) }o_{2})}$
Fravær af en diktator : vi antager, at der ikke er nogen diktator, hvis der ikke er en sådan . $W$ $jeg$ $\forall o_{1},o_{2}\in O(o_{1}\succ _{i}o_{2}\Rightarrow o_{1}\succ _{W}o_{2})$
Arrows teorem : hvis , så har enhver Pareto-effektiv social velfærdsfunktion uafhængig af fremmede alternativer en diktator. $|O|\geq 3$ $W$

Vi udfører bevisningen i 4 trin.

Scene 1. Hvis hver agent placerer et resultat helt øverst eller nederst på sin præferenceliste (det kræver ikke, at alle agenter handler på samme måde), så vil resultatet enten være øverst eller nederst på listen.

b

\succ _{W}

b

Lad os tage en vilkårlig profil , således at resultatet for alle agenter i den enten er øverst eller nederst på præferencelisten . Lad os nu antage, at vores udsagn er falsk, det vil sige, at der er sådanne , der og . Lad os derefter ændre profilen , så for alle agenter uden at ændre rangeringen af de resterende resultater. Lad os udpege den modtagne profil . Da resultatet b for hver agent efter en sådan ændring stadig vil forblive enten øverst eller nederst på listen over hans præferencer, kan vi fra W uafhængighed fra uvedkommende alternativer konkludere, at i den nye profil og . Derfor får vi på grund af transitivitet . Men vi antog, at for alle agenter , så på grund af Pareto effektivitet skulle være . Den resulterende modsigelse beviser påstanden. $[\succ ]$ $jeg$ $b$ ${\displaystyle \succ _{i))$ $a,c\in O$ $a\succ _{W}b$ $b\succ _{W}c$ $[\succ ]$ $c\succ _{i}a$ $[\succ ']$ $a\succ _{W}b$ $b\succ _{W}c$ $\succ _{W}$ $a\succ _{W}c$ $c\succ _{i}a$ $c\succ _{W}a$

Etape 2. For hvert udfald er der en agent, der er central i den forstand, at han ved at ændre sin stemme kan flytte resultatet fra den laveste placering på listen til den højeste placering på den pågældende liste. Med andre ord er der to profiler og , der kun adskiller sig i agentens præferencer , som er i slutningen af listen for og i begyndelsen af listen for .

b

b

\succ _{W}

[\succ ^{1}]

[\succ ^{2}]

jeg

b

[\succ _{W}^{1}]

[\succ _{W}^{2}]

Overvej enhver præferenceprofil, hvor alle agenter placerer resultatet helt nederst på deres præferenceliste . Det er klart, at resultatet også er i den laveste position (på grund af Pareto-effektivitet). Lad alle agenter skiftes til at omarrangere resultatet fra den laveste til den højeste placering på deres præferencelister uden at ændre rangeringen af de andre resultater. Når alle agenter sætter et resultat først på deres præferenceliste, vil det være det første for . Så på et tidspunkt vil det ændre sig. Lad være en agent, der, efter at have omarrangeret på denne måde , ændrede sig (for første gang). Lad os betegne - præferenceprofilen lige før den flyttede , og - præferenceprofilen umiddelbart efter den blev flyttet . Således har udfaldet ændret sin position i , mens det for alle agenter er enten i den øverste eller nederste position af . Derfor, i kraft af påstanden bevist i trin 1, indtager resultatet den højeste position. $b$ ${\displaystyle \succ _{i))$ $\succ _{W}$ $b$ $b$ $b$ $\succ _{W}$ $\succ _{W}$ $n^{*}$ $b$ $\succ _{W}$ $[\succ ^{1}]$ $n^{*}$ $b$ $[\succ ^{2}]$ $n^{*}$ $b$ $[\succ ^{2}]$ $b$ $\succ _{W}$ $b$ ${\displaystyle \succ _{i))$ $\succ _{W}$ $b$

Etape 3.

n^{*}

er en diktator over alle par , der ikke omfatter .

<a,c>

b

Lad os vælge et hvilket som helst element fra parret . Uden tab af almenhed vælger vi en. Dernæst skal du bygge ud fra profilen som følger: i , flyt resultatet a til den første position, og lad resten af ranglisten være uændret; vilkårligt for alle andre agenter, swap med hinanden og . Så, som i , får vi det (på grund af uafhængighed af fremmede alternativer), og som i får vi det . Så . Lad os nu opbygge en præferenceprofil som følger: for alle agenter placerer vi resultatet på en vilkårlig position på listen over præferencer ; for agenten placerer vi resultatet på en vilkårlig position før resultatet . Det er klart, at på grund af uafhængighed fra fremmede alternativer . Vi har opnået, at alle agenter undtagen har fuldstændig vilkårlige præferenceprofiler, og resultatet var kun baseret på den antagelse, at . $<a,c>$ $[\succ ^{2}]$ $[\succ ^{3}]$ $\succ _{n^{*}}$ $-en$ $c$ $[\succ ^{1}]$ $a\succ _{W}b$ $[\succ ^{2}]$ $b\succ _{W}c$ $a\succ _{W}c$ $[\succ ^{4}]$ $b$ ${\displaystyle \succ _{i))$ $n^{*}$ $-en$ $c$ $a\succ _{W}c$ $n^{*}$ $a\succ _{W}c$ $a\succ _{n^{*}}c$

Etape 4.

n^{*}

- diktator over alle par .

<a,b>

Lad os overveje et resultat. I kraft af trin 2 er der en eller anden central agent for dette resultat, som også er en diktator for alle par , hvor især . Hvis agenten var en diktator over , kunne ingen ændring i agentens præferencer ændre rangeringen i . Men i etape 2 rykkede agenten fra den sidste plads til den første i , og måtte dermed bytte og . Derfor kan vi konkludere, at det falder sammen med , det vil sige , at der er en diktator. $n^{**}$ $<A,B>$ $A=a,B=b$ $n^{**}\neq n^{*}$ $<a,b>$ $n^{*}$ $-en$ $b$ $\succ _{W}$ $n^{*}$ $b$ $\succ _{W}$ $-en$ $b$ $n^{**}$ $n^{*}$ $n^{*}$

Beviset er komplet.

Praktisk konsekvens

Arrows sætning kan omformuleres lidt:

"I valgsystemer uden en diktator, hvor princippet om enstemmighed er implementeret, kan princippet om uafhængighed af fremmede alternativer ikke opfyldes."

Det betyder, at tilføjelse af yderligere kandidater til afstemningen kan påvirke den endelige rangering af de oprindelige (hoved)kandidater. I praksis, i sådanne systemer, kan en sådan valgmanipulationsteknologi som "Tilføjelse af fiktive kandidater " fungere. En fiktiv kandidat er en kandidat, der ikke har et reelt mål om at vinde valget, men spiller en rent teknisk rolle med at svække en af hovedkandidaterne ved at "trække" en del af sit støttepublikum over på sig selv.

Arrows teorem siger således, at alle valgsystemer er sårbare over for denne manipulationsteknik, med undtagelse af dem, hvor den endelige beslutning træffes af én person.

Se også

Condorcet -paradokset er et paradoks af valg, generaliseret af Arrows teorem.
Kollektivt valg og individuelle værdier

Noter

↑ Kenneth J. Arrow , 1951, 2. udgave, 1963. Social Choice and Individual Values , Yale University Press. ISBN 0-300-01364-7
↑ Kardinalafstemning: Vejen til at undslippe det sociale valg umuligt
↑ The Possibility of Social Choice, s.189 Arkiveret 7. januar 2010 på Wayback Machine

Beslutningsteoriens paradokser
Buridans æsel Morton stik stemme pindsvin fange opfinder navigation nye stater forebyggelse beslutningstagning detailnetværk viljestyrke toksin tolerance Abilene Grøn Condorcet Newcomb parrondo Fenno Fredkin Ellsberg Pil

Valg og valgkampe
Valginstituttet	Direkte valg / Indirekte valg Alternative valg / Ikke-alternativvalg Konkurrencevalg / Ikke-konkurrerende valg Valg ved lodtrækning Folkeafstemning Kritik af institutionen for valg
Valgniveau	Nationale valg Folketingsvalg Præsidentvalg Regionsvalg Kommunalvalg
Valgsystemer	Flertal (simpelt flertal) proportional blandet præference Binomial Bedømmelse afstemning Schulze metode afstemning om godkendelse
Valgkamp	Valgkalender primærvalg Kandidat nominering Kandidatregistrering kampagneperiode Stem igen Gentag valg Tidligt valg Kandidat ( teknisk ) Valgfonden Valgløfte politisk rådgivning Valgkamp Møde med vælgerne Valgløfter valghovedkvarter Valgforeningen Valgblok partiliste Lokomotiv Valgkomité Stilhedens Dag
Stemme	Tidlig afstemning Fraværende stemmeseddel Afstemningsdag exit meningsmåling Stemmeoptælling Interessebarriere åben afstemning Hemmelig afstemning Afholdenhed Forkælet stemmeseddel protest stemme Valgdeltagelse Boykot Stem med fødderne Elektronisk afstemning Internet valg Valgproces stemmekabine Urne Afstemning Mod alle Valgobservation
Valgret	objektiv Subjektiv ( aktiv , passiv ) Universel Tsezovoye
Valggeografi	Valgkreds Valgsted gerrymandering rådne steder svingtilstande Valgsultanater
Valg overtrædelser	Stemmeseddelfyld Brug af en administrativ ressource Karrusel Manipulering af den offentlige mening Vælgerbestikkelse Stemmesvig Fotografering af bulletinen Gitter
Psephologi	Fravær Repræsentativt demokrati Condorcet paradoks Arrows sætning