Abels sætning

Abels sætning er et resultat af teorien om potensrækker , opkaldt efter den norske matematiker Niels Abel . Det omvendte til det er Abel-Tauber-sætningen .

Erklæring

Lad være en potensrække med komplekse koefficienter og konvergensradius . ${\displaystyle \textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}x^{n))$ $R$

Hvis serien er konvergent, så: ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n))$

\lim _{x\to R^{-}}f(x)=\sum _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}

Bevis

En ændring af variabler kan overvejes . Også (ved det nødvendige udvalg af ) kan vi antage . Lad os betegne seriens delsummer . Ifølge antagelsen, og det er nødvendigt at bevise, at . $u=x/R$ $R=1$ $a_{0}$ $\textstyle \sum a_{n}=0$ $S_{n}$ $\textstyle \sum a_{n}$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}=0$ $\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=0$

Overvej . Så (forudsat ): $x\in[0,1]$ $S_{-1}=0$

\sum _{n=0}^{N}(S_{n}-S_{n-1})x^{n}=\sum _{n=0}^{N}S_{n} (x^{n}-x^{n+1})+S_{N}x^{N+1}.

Herfra viser det sig . ${\displaystyle \textstyle f(x)=(1-x)\sum \limits _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n))$

For et vilkårligt er der et naturligt tal , som er for alle , så: $\varepsilon >0$ $N_{0}$ $|S_{n}|\leq \varepsilon$ $n>N_{0}$

\vert f(x)\vert \leqslant (1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +(1-x)\ \varepsilon \sum _{n=N_{0}+1}^{\infty }x^{n}=(1-x)\left\vert \sum _{n=0} ^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +\varepsilon x^{N_{0}+1}.

Den højre side har tendens til , når den har tendens til 1, især er den mindre , når den går til 1. $\varepsilon$ $x$ $2\varepsilon$ $x$

Eksempler

Eksempler 1

Lad os tage . Da serien konvergerer, har vi: $\textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\ln(1 +x)$ $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\ln 2=\sum _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{ n}}

Eksempler 2

Lad os tage . Da serien konvergerer, har vi: $\textstyle g(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan (x)$ $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$