Mergelyans sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. december 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Mergelyans sætning er et udsagn om muligheden for ensartet tilnærmelse ved polynomier af funktioner af en kompleks variabel ; etableret bevist af den sovjetiske matematiker Sergei Mergelyan i 1951 .

Ifølge sætningen kan enhver kontinuert funktion på et kompakt sæt med et forbundet komplement til det komplekse plan (det vil sige forbundet), holomorfe ved indre punkter , ensartet tilnærmes af polynomier . $f\colon K\to \mathbb {C}$ $K$ $\mathbb {C} \setminus K$ $K$

Sætningen er en udvikling og generalisering af Weierstrass- og Runge -sætningerne og er meget udbredt inden for forskellige områder af kompleks analyse ; dette resultat kronede en stor række af artikler om teorien om tilnærmelse i det komplekse tilfælde. Især i 1936 beviste Lavrentiev påstanden for sagen, når den ikke har nogen indre punkter, og i 1945 etablerede Keldysh et resultat for sagen, hvor er et lukket domæne med et forbundet komplement. $K$ $K$

Bevismetoden anvendt af Mergelyan er konstruktiv og forbliver det eneste kendte konstruktive bevis for resultatet.

Litteratur

Mergelyans teorem - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . E. M. Chirka
S. N. Mergelyan. Ensartede tilnærmelser af funktioner af en kompleks variabel // Uspekhi Mat. - T. 7 , nr. 2 (48) . - S. 31-122 .
Lennart Carleson. Mergelyans sætning om ensartet polynomisk tilnærmelse // Math . Scand. - 1964. - Bd. 15 .
Dieter Gaier. Forelæsninger om kompleks approksimation. - Boston: Birkhäuser, 1987. - ISBN 0-8176-3147-X .
W. Rudin. Virkelig og kompleks analyse. N.Y .: McGraw - Hill. — ISBN 0-07-054234-1 .
A. G. Vitushkin . Analytisk kapacitet af mængder i problemer med tilnærmelsesteori // Uspekhi Mat . - 1967. - T. 22 , nr. 6 (138) .
A. G. Vitushkin. Et halvt århundrede som en dag // UMN. - 2002. - T. 57 , nr. 1 (353) .