Ligningen

Ligning - formens lighed

f\left(x_{1},x_{2}\dots \right)=g\left(x_{1},x_{2}\dots \right)

hvor oftest numeriske funktioner fungerer som , selvom der i praksis er mere komplekse tilfælde - for eksempel ligninger for vektorfunktioner , funktionelle ligninger og andre. $f, g$

Løsning af ligningen

Løsningen af ligningen er opgaven med at finde sådanne værdier af de argumenter, som denne lighed opnås for. Yderligere betingelser (heltal, reelt osv.) kan pålægges de mulige værdier af argumenterne.

Argumenterne for de givne funktioner (nogle gange kaldet "variabler") i tilfælde af en ligning kaldes "ukendte".

Værdierne af de ukendte, hvor denne lighed opnås, kaldes løsninger eller rødder af den givne ligning .

Rødder siges at opfylde en given ligning.

At løse en ligning betyder at finde mængden af alle dens løsninger (rødder), eller at bevise, at der slet ikke er nogen rødder (eller at der ikke er nogen, der opfylder de givne betingelser).

Ækvivalente ligninger

Ækvivalent eller ækvivalent kaldes ligninger, hvis rødder falder sammen. Tilsvarende betragtes også som ligninger, der ikke har rødder.

Ligningers ækvivalens har symmetriegenskaben : hvis en ligning er ækvivalent med en anden, så er den anden ligning ækvivalent med den første.

Ækvivalens af ligninger har egenskaben transitivitet : hvis en ligning er ækvivalent med en anden, og den anden er ækvivalent med en tredje, så er den første ligning ækvivalent med den tredje. Ligningers ækvivalensegenskab gør det muligt at udføre transformationer med dem, som metoderne til at løse dem er baseret på.

Den tredje vigtige egenskab er givet af sætningen: hvis funktionerne er defineret over integritetsdomænet , så er ligningen $f,g$

f(x)\cdot g(x)=0

er lig med ligningssættet

f(x)=0,\qquad g(x)=0

Det betyder, at alle rødderne til den første ligning er rødderne til en af de to andre ligninger, og giver dig mulighed for at finde rødderne til den første ligning i to trin, idet du løser enklere ligninger hver gang.

Grundlæggende egenskaber

Med algebraiske udtryk inkluderet i ligninger kan du udføre operationer, der ikke ændrer dets rødder, især:

parentes kan åbnes i enhver del af ligningen;
i enhver del af ligningen kan du bringe lignende udtryk;
det samme udtryk kan tilføjes eller trækkes fra til begge dele af ligningen;
ethvert led i ligningen kan overføres fra en del til en anden ved at ændre dens fortegn til det modsatte (dette er blot endnu en formulering af det foregående afsnit);
begge sider af ligningen kan ganges eller divideres med det samme tal, der ikke er nul .

De ligninger, der er resultatet af disse operationer, svarer til den oprindelige ligning. Der er dog en begrænsning for egenskab 3: i tilfælde af at addere eller trække fra begge dele af ligningen, er det samme udtryk, der indeholder det ukendte og mister sin betydning, mens det ukendte tager værdierne af rødderne af denne ligning, en ligning vil blive opnået, der ikke svarer til originalen (initial). Men hvis vi tilføjer eller trækker det samme udtryk til begge dele af ligningen, som indeholder det ukendte og kun mister sin betydning, når værdierne af det ukendte ikke er rødderne til denne ligning, så får vi en ligning svarende til initialen en.

At multiplicere eller dividere begge sider af en ligning med et udtryk, der indeholder en ukendt, kan føre til henholdsvis fremkomsten af fremmede rødder eller tab af rødder.

Kvadring af begge sider af en ligning kan føre til fremmede rødder.

Konsekvens af ligningen og uvedkommende rødder

Ligningen

F\left(x\right)=G\left(x\right)

kaldes en konsekvens af ligningen

f\left(x\right)=g\left(x\right)

hvis alle rødderne af den anden ligning er rødderne af den første. Den første ligning kan have yderligere rødder, som for den anden ligning kaldes uvedkommende. Uvedkommende rødder kan opstå under de transformationer, der er nødvendige for at finde ligningernes rødder. For at detektere dem er det nødvendigt at kontrollere roden ved substitution i den oprindelige ligning. Hvis ligningen, når den substitueres, bliver en identitet, så er roden reel, hvis ikke, er den en outsider.

Eksempel

Ligningen ved kvadrering af begge sider giver ligningen , eller . Begge ligninger er en konsekvens af den oprindelige. Den sidste af disse er let at løse; den har to rødder og . ${\sqrt {2x^{2}-1}}=x$ $2x^{2}-1=x^{2}$ $x^{2}=1$ $x=1$ $x=-1$

Når du erstatter den første rod i den oprindelige ligning, dannes en identitet . Udskiftning af en anden rod resulterer i en forkert sætning . Den anden rod skal altså kasseres som outsider. ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {1}}=-1$

Typer af ligninger

Der er algebraiske ligninger , ligninger med parametre , transcendentale , funktionelle , differentiale og andre typer ligninger.

Nogle klasser af ligninger har analytiske løsninger, som er praktiske, fordi de ikke kun giver den nøjagtige værdi af roden, men giver dig mulighed for at skrive løsningen i form af en formel, som kan omfatte parametre. Analytiske udtryk gør det ikke kun muligt at beregne rødderne, men også at analysere eksistensen og antallet af rødder afhængigt af parametrenes værdier, hvilket ofte er endnu vigtigere for praktisk brug end røddernes specifikke værdier.

Ligninger, for hvilke analytiske løsninger er kendt, omfatter algebraiske ligninger, der ikke er højere end fjerde grad: lineære , kvadratiske , kubiske ligninger og fjerdegradsligningen . Algebraiske ligninger af højere grader har generelt ikke en analytisk løsning, selvom nogle af dem kan reduceres til ligninger med lavere grader.

Ligninger, der inkluderer transcendentale funktioner , kaldes transcendentale. Blandt dem er analytiske løsninger kendt for nogle trigonometriske ligninger, da nullerne af trigonometriske funktioner er velkendte.

I det generelle tilfælde, når en analytisk løsning ikke kan findes, anvendes beregningsmæssige (numeriske) metoder . Numeriske metoder giver ikke en nøjagtig løsning, men tillader kun at indsnævre det interval , hvori roden ligger, til en bestemt forudbestemt værdi.

Algebraiske ligninger

En algebraisk ligning er en ligning af formen

P\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=0,

hvor er et polynomium i variabler , som kaldes ukendte. $P$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$

Koefficienterne for et polynomium er normalt taget fra et eller andet felt , og så kaldes ligningen en algebraisk ligning over et felt . Graden af en algebraisk ligning kaldes graden af et polynomium . $P$ $F$ $P\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=0$ $F$ $P$

For eksempel ligningen

y^{4}+{\frac {xy}{2}}+y^{2}z^{5}+x^{3}-xy^{2}+{\sqrt {3}}x^{ 2}-\sin{1}=0

er en algebraisk ligning af syvende grad i tre variable (med tre ubekendte) over feltet af reelle tal .

Lineære ligninger

i generel form: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0$
i kanonisk form: $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=b$

Kvadratiske ligninger

ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0

hvor er en fri variabel, , , er koefficienter , og . $x$ $-en$ $b$ $c$ $a\neq 0$

Udtrykket kaldes kvadrattrinomial . Roden af en sådan ligning (roden af et kvadrattrinomium) er værdien af den variabel , der gør det kvadratiske trinomium til nul, det vil sige den værdi, der forvandler andengradsligningen til en identitet. Koefficienterne for en andengradsligning har deres egne navne: koefficienten kaldes den første eller senior , koefficienten kaldes den anden eller koefficienten ved , kaldes det frie medlem af denne ligning. En reduceret andengradsligning kaldes, hvor den førende koefficient er lig med én. En sådan ligning kan opnås ved at dividere hele udtrykket med den førende koefficient : , hvor , og . En komplet andengradsligning er en, hvor alle koefficienter ikke er nul. En ufuldstændig andengradsligning er en, hvor mindst en af koefficienterne undtagen den højeste (enten den anden koefficient eller det frie led) er lig med nul. $ax^{2}+bx+c$ $x$ $-en$ $b$ $x$ $c$ $-en$ $x^{2}+px+q=0$ $p={\frac {b}{a}}$ $q={\frac {c}{a}}$

For at finde rødderne til en andengradsligning i det generelle tilfælde, skal du bruge algoritmen nedenfor: $ax^{2}+bx+c=0$

Beregn værdien af diskriminanten af andengradsligningen: sådan er udtrykket for det .

D=b^{2}-4ac

1) hvis $D>0$	2) hvis $D=0$	3) hvis $D<0$
så er der to rødder, og for at finde dem skal du bruge formlen $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}(1)$	så er roden én (i nogle sammenhænge taler man også om to lige store eller sammenfaldende rødder eller en multiplicitetsrod 2 ), og den er lig med $-{\frac {b}{2a))$	så er der ingen rødder på mængden af reelle tal.

Plottet af en kvadratisk funktion i rektangulære koordinater er en parabel. Den skærer x-aksen i punkter, der svarer til rødderne af andengradsligningen . $f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$ $f\left(x\right)=0$

Kubiske ligninger

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\quad a\neq 0

Til grafisk analyse af en kubisk ligning i rektangulære koordinater bruges en kubisk parabel .

Enhver kubisk kanonisk ligning kan reduceres til en enklere form

y^{3}+py+q=0

dividere det med og erstatte erstatningen i det . I dette tilfælde vil koefficienterne være ens: $-en$ $x=y-{\tfrac {b}{3a))$

{\displaystyle q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}= {\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3))))

p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^ {2}}}

. Ligning af fjerde grad

f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.

Den fjerde grad for algebraiske ligninger er den højeste , for hvilken der er en analytisk løsning i radikaler i generel form (det vil sige for alle værdier af koefficienterne).

Da det er et polynomium af lige grad, har det samme grænse, da det har tendens til plus og minus uendeligt. Hvis , så stiger funktionen til plus uendelig på begge sider og har derfor et globalt minimum. På samme måde, hvis , så falder funktionen til minus uendeligt på begge sider og har derfor et globalt maksimum. $f\venstre(x\højre)$ $a>0$ $a<0$

Irrationelle og rationelle ligninger

En rationel ligning er en slags ligning, hvor venstre og højre side er rationelle udtryk. I optegnelsen af ligningen er der kun addition, subtraktion, multiplikation, division samt højning til et heltal.
En irrationel ligning er en ligning, der indeholder en ukendt under rodtegnet. eller hævet til en magt, der ikke kan reduceres til et helt tal.

Systemer af lineære algebraiske ligninger

Formens ligningssystem:

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}

(en)

Her er antallet af ligninger, og er antallet af ukendte. x 1 , x 2 , …, x n er ukendte, der skal bestemmes. a 11 , a 12 , …, a mn — koefficienter for systemet — og b 1 , b 2 , … b m — frie medlemmer — antages at være kendt. Indekser for systemets koefficienter ( a ij ) angiver tallet for henholdsvis ligningen ( i ) og den ukendte ( j ), som denne koefficient står ved [1] . $m$ $n$

Systemet kaldes homogent , hvis alle dets frie medlemmer er lig med nul ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), ellers - heterogent. Et system kaldes kvadratisk , hvis antallet m af ligninger er lig med antallet n af ukendte. Løsningen af systemet er et sæt af n tal c 1 , c 2 , …, c n , således at substitution af hver c i i stedet for x i i systemet gør alle dets ligninger til identiteter . Et system kaldes kompatibelt, hvis det har mindst én løsning, og inkonsekvent, hvis det ikke har nogen løsninger. Løsninger c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) og c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) af et fælles system kaldes forskellige, hvis mindst en fra ligestilling:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Et fælles system kaldes bestemt , hvis det har en unik løsning; hvis den har mindst to forskellige løsninger, så kaldes den ubestemt. Hvis der er flere ligninger end ukendte, kaldes det overbestemt .

Ligninger med parametre

En ligning med parametre er en matematisk ligning, hvis udseende og løsning afhænger af værdierne af en eller flere parametre. At løse en ligning med en parameter betyder:

Find alle systemer med parameterværdier, som den givne ligning har en løsning til.
Find alle løsninger for hvert fundne system af parameterværdier, det vil sige for det ukendte og parameteren, skal deres intervaller af acceptable værdier angives.

Ligninger med en parameter kan være både lineære og ikke-lineære.

Et eksempel på en lineær ligning med en parameter:

a\,x+1=4,

Et eksempel på en ikke-lineær ligning med en parameter:

{\mbox{log}}_{{x^{2}}}{\frac {a+3}{7-x}}=5,

hvor er en uafhængig variabel, er en parameter. $x$ $-en$

Transcendentale ligninger

En transcendental ligning er en ligning, der ikke er algebraisk . Normalt er disse ligninger, der indeholder eksponentielle, logaritmiske, trigonometriske, inverse trigonometriske funktioner, for eksempel:

$\cos x=x$ - trigonometrisk ligning;
$\lg x=x-5$ - logaritmisk ligning;
$2^{x}=\lg x+x^{5}+40$ - eksponentiel ligning.

En mere stringent definition er denne: en transcendental ligning er en ligning af den form, hvor funktionerne og er analytiske funktioner, og mindst én af dem ikke er algebraisk . $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ $f$ $g$

Funktionelle ligninger

En funktionel ligning er en ligning, der udtrykker forholdet mellem værdien af en funktion (eller funktioner) på et punkt med dens værdier på andre punkter. Mange egenskaber ved funktioner kan bestemmes ved at undersøge de funktionelle ligninger, som disse funktioner opfylder. Udtrykket "funktionel ligning" bruges normalt til ligninger, der ikke på enkle måder kan reduceres til algebraiske ligninger. Denne irreducerbarhed skyldes oftest det faktum, at argumenterne for den ukendte funktion i ligningen ikke er de uafhængige variabler selv, men nogle data for funktionen fra dem. For eksempel:

funktionel ligning

f\left(s\right)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2))\right)\Gamma \left( 1-s\right)f\left(1-s\right)

hvor er Euler gamma-funktionen , opfylder Riemann zeta-funktionen ζ.

\Gamma(z)

De følgende tre ligninger opfyldes af gammafunktionen ; det er den eneste løsning på dette system af tre ligninger:

{\displaystyle f\left(x\right)={f\left(x+1\right)\over x))

f\left(y\right)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}} }f\left(2y\right)

{\displaystyle f\left(z\right)f\left(1-z\right)={\pi \over \sin \left(\pi z\right)))

( Eulers komplementformel ).

Funktionel ligning

f\left({az+b \over cz+d}\right)=\left(cz+d\right)^{k}f\left(z\right)

hvor , , , er heltal der opfylder ligheden , det vil sige definerer som en modulær form for orden k .

-en

b

c

d

ad-bc=1

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=1

f

Differentialligninger

En differentialligning er en ligning, der relaterer værdien af en ukendt funktion på et tidspunkt og værdien af dens afledte af forskellige ordener på samme punkt. Differentialligningen indeholder i sin post en ukendt funktion, dens afledte og uafhængige variable. Rækkefølgen af en differentialligning er den største rækkefølge af de derivater, der er inkluderet i den. En løsning til en differentialligning af orden n er en funktion , der har afledte op til orden n inklusive på et eller andet interval (a, b) og opfylder denne ligning. Processen med at løse en differentialligning kaldes integration . $y\left(x\right)$ $y'\left(x\right),y''\left(x\right),\dots ,y^{\left(n\right)}\left(x\right)$

Alle differentialligninger kan opdeles i

almindelige differentialligninger (ODE'er), som kun inkluderer funktioner (og deres afledte) af ét argument :

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0

eller ,

F\venstre(x,y,{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}},{\frac {{\mathrm {d}}^{{2}} y}{{\mathrm {d}}x^{2}}},...,{\frac {{\mathrm {d}}^{{n}}y}{{\mathrm {d}}x ^{n}}}\right)=0

hvor er en ukendt funktion (evt . en vektorfunktion ; i dette tilfælde taler man ofte om et system af differentialligninger) afhængig af den uafhængige variabel ; prime betyder differentiering med hensyn til .

y=y\left(x\right)

x

x

og partielle differentialligninger , hvor inputfunktionerne afhænger af mange variable :

F\venstre(x_{1},x_{2},\dots,x_{m},z,{\frac {\partial z}{\partial x_{1))},{\frac {\partial z} {\partial x_{2))},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial x_{m))},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1} ^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}\partial x_{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2))),\dots ,{\frac {\partial ^{n}z}{\partial x_{m}^{n))}\right)=0

, hvor er uafhængige variable og er en funktion af disse variable.

x_{1},x_{2},\dots,x_{m}

z=z\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{m}\right)

Oprindeligt opstod differentialligninger fra mekanikkens problemer , hvor koordinaterne af organer , deres hastigheder og accelerationer , betragtet som funktioner af tid, deltog .

Eksempler på ligninger

$x+3=2x$
$x^{2}+1=0$
$e^{{x+y}}=x+y$
$a^{n}+b^{n}=c^{n}$ , hvor er naturlige tal $a,b,c,n$

Se også

Noter

↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineær algebra: Lærebog for universiteter. - 6. udg., slettet. — M.: FIZMATLIT, 2004. — 280 s.

Litteratur

Bekarevich A. N. Ligninger i skoleforløbet i matematik. - Minsk: Nar. Asveta, 1968. - 152 s.
Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik . — M .: Nauka, 1978.
- Genudgivelse: Ed. AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementær matematik. Gentag kurset. - Tredje udgave, stereotypisk. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Markushevich, L. A. Ligninger og uligheder i den endelige gentagelse af forløbet af gymnasiealgebra / L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / Matematik i skolen. - 2004. - Nr. 1.

Ligningen

Løsning af ligningen

Ækvivalente ligninger

Grundlæggende egenskaber

Konsekvens af ligningen og uvedkommende rødder

Eksempel

Typer af ligninger

Algebraiske ligninger

Ligninger med parametre

Transcendentale ligninger

Funktionelle ligninger

Differentialligninger

Eksempler på ligninger

Se også

Noter

Litteratur

Links