Liste over regulære flerdimensionelle polyedre og forbindelser

Eksempler på regulære polyedre

Regulære (2D) polygoner
konveks	stjerneklar
{5}	{5/2}
Almindelige 3D polyedre
konveks	stjerneklar
{5,3}	{5/2.5}
Korrekt 2D flisebelægning
Euklidisk	Hyperbolsk
{4,4}	{5,4
Almindelige 4D polyedre
konveks	stjerneklar
{5,3,3}	{5/2,5,3
Korrekt 3D flisebelægning
Euklidisk	Hyperbolsk
{4,3,4}	{5,3,4}

Denne side indeholder en liste over regulære flerdimensionelle polytoper (polytoper) og regelmæssige forbindelser af disse polytoper i euklidiske , sfæriske og hyperbolske rum af forskellige dimensioner.

Schläfli-symbolet beskriver enhver regelmæssig fliselægning af n-sfæren, det euklidiske og hyperbolske rum. Schläfli-symbolet til beskrivelse af et n-dimensionelt polyeder beskriver også en flisebelægning af en (n-1)-kugle. Derudover er symmetrien af et regulært polyeder eller flisebelægning udtrykt som en Coxeter-gruppe , som Coxeter betegnede identisk med Schläfli-symbolerne bortset fra afgrænsning med firkantede parenteser, og denne notation kaldes Coxeter-notation . Et andet relateret symbol er Coxeter-Dynkin-diagrammet , som repræsenterer en symmetrigruppe (uden cirklede knudepunkter) og regulære polytoper eller tesseller med en cirklet første knude. Terningen har f.eks. Schläfli-symbolet {4,3} med dens oktaedriske symmetri [4,3] eller, er repræsenteret ved Coxeter-diagrammet.

Regelmæssige polyedre er grupperet efter dimension og derefter efter form - konvekse, ikke-konvekse og uendelige. Ikke-konvekse visninger bruger de samme hjørner som konvekse visninger, men har skærende facetter (facetter med maksimal dimension = rumdimensioner - 1). Uendelige visninger tesellerer det euklidiske rum med en mindre dimension.

Uendelige former kan udvides til hyperbolske rumtesselationer . Hyperbolsk rum ligner almindeligt rum, men parallelle linjer divergerer med afstanden. Dette gør det muligt for toppunkter at have negative hjørnedefekter . For eksempel kan syv regulære trekanter , der ligger på et plan, konvergere i et toppunkt. Dette kan ikke gøres på det almindelige (euklidiske) plan, men kan gøres i en eller anden skala på det hyperbolske plan.

Polytoper, der opfylder en mere generel definition og ikke har simple Schläfli-symboler, omfatter regulære skæve polytoper og uendelig-vinklede regulære skæve polyedre med ikke-plane facetter eller toppunktsfigurer .

Oversigt

Tabellen viser en oversigt over regulære polyedre efter dimensioner.

	Finale			Euklidisk	Hyperbolsk			Forbindelser
Størrelse	Konveks _	Stjernechat _	skrå	Konveks _	Kompakt _	Stjernechat _	Paracompact _	Konveks _	Stjernechat _
en	en	0	0	en	0	0	0	0	0
2	∞	∞	∞	en	en	0	0	∞	∞
3	5	fire	?	3	∞	∞	∞	5	0
fire	6	ti	?	en	fire	0	elleve	26	tyve
5	3	0	?	3	5	fire	2	0	0
6	3	0	?	en	0	0	5	0	0
7	3	0	?	en	0	0	0	3	0
otte	3	0	?	en	0	0	0	6	0
9+	3	0	?	en	0	0	0	*	0

* 1 hvis dimensionen er 2 k − 1; 2 hvis dimensionen er en potens af to; 0 ellers.

Der er ingen almindelige stjernebelægninger i det euklidiske rum af nogen dimension.

Endimensionelt rum

	Coxeter-Dynkin diagrammet repræsenterer spejlede "planer" som knudepunkter, og placerer en cirkel rundt om knudepunktet, hvis punktet ikke ligger på planet. Segment , { },er punktet p og spejlbilledet af punktet p , samt segmentet mellem dem.

En endimensionel polytop (1-polytop) er et lukket segment afgrænset af to endepunkter. En 1-polytop er regulær per definition og repræsenteres af et Schläfli-symbol { } [1] [2] eller et Coxeter-diagram med en enkelt cirklet knude,. Norman Johnson gav dem navnet datale og Schläfli-symbolet { } [3] .

Daitylen er triviel som et polyeder, opstår som kanter af polygoner og polyeder [4] . Det bruges i definitionen af homogene prismer (som i Schläfli-symbolet { }×{p}) eller i Coxeter-diagrammetsom et direkte produkt af et segment og en regulær polygon [5] .

Todimensionelt rum (polygoner)

Todimensionelle polytoper kaldes polygoner . Regulære polygoner har lige store sider og er indskrevet i en cirkel. En regulær p-gon er repræsenteret af Schläfli-symbolet {p}.

Normalt betragtes kun konvekse polygoner som regulære, men stjernepolygoner som et pentagram kan også betragtes som regulære. De bruger de samme hjørner som konvekse former, men forbinder sig på en anden måde, hvor cirklen krydses mere end én gang.

Stjernepolygoner bør kaldes ikke -konvekse snarere end konkave , da skæringspunktet mellem kanter ikke danner nye hjørner, og alle hjørner er på en cirkel.

Udbulende

Schläfli-symbolet {p} repræsenterer en regulær p - gon .

Navn	Trekant ( 2-simplex )	Firkantet (2 - orthoplex ) ( 2-kube )	Pentagon	Sekskant	Heptagon	Oktagon
Schläfli	{3}	{fire}	{5}	{6}	{7}	{otte}
Symmetri	D 3 , [3]	D 4 , [4]	D 5 , [5]	D 6 , [6]	D 7 , [7]	D8 , [ 8 ]
coxeter
Billede
Navn	femkant	Decagon	Hendecagon	Dodecagon	Tretten	tetradekagon
Schläfli	{9}	{ti}	{elleve}	{12}	{13}	{fjorten}
Symmetri	D9 , [ 9 ]	D10 , [ 10 ]	D 11 , [11]	D12 , [ 12 ]	D 13 , [13]	D14 , [ 14 ]
Dynkin
Billede
Navn	Pentagon	Sekskant	Sytten	ottekant	Nittenagon	Dodecagon	... p-gon
Schläfli	{femten}	{16}	{17}	{atten}	{19}	{tyve}	{ p }
Symmetri	D15 , [ 15 ]	D16 , [ 16 ]	D17 , [ 17 ]	D18 , [ 18 ]	D19 , [ 19 ]	D20 , [ 20 ]	D p , [p]
Dynkin
Billede

Sfærisk

Den regulære digon {2} kan betragtes som en degenereret regulær polygon. Det kan eksistere som ikke-degenereret i nogle ikke-euklidiske rum, såsom overfladen af en kugle eller en torus .

Navn	Monogon	Bigon
Schläfli symbol	{en}	{2}
Symmetri	D 1 , [ ]	D 2 , [2]
Coxeter diagram	eller
Billede

Stjerner

Der er uendeligt mange regulære stjernepolyedre i 2D-rummet (dvs. polygoner), hvis Schläfli-symboler er rationelle tal { n / m }. De kaldes stjernepolygoner og har samme toppunktsarrangement som en konveks polygon.

Generelt, for ethvert naturligt tal n og for alle m, således at m < n /2 og m , n coprime , eksisterer der n-punkts regulære stjerner med Schläfli-symboler { n / m } (strengt taget, { n / m }= { n /( n − m )}).

Navn	Pentagram	Heptagrammer		Oktagram	Enneagrammer		Dekagram	... n-gram
Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{ p/q }
Symmetri	D 5 , [5]	D 7 , [7]		D8 , [ 8 ]	D9 , [ 9 ],		D10 , [ 10 ]	Dp , [ p ]
coxeter
Billede

Regulære stjernepolygoner med op til 20 sider

{11/2}	{11/3}	{11/4}	{11/5}	{12/5}	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
{14/3}	{14/5}	{15/2}	{15/4}	{15/7}	{16/3}	{16/5}	{16/7}
{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}	{18/5}	{18/7}
{19/2}	{19/3}	{19/4}	{19/5}	{19/6}	{19/7}	{19/8}	{19/9}	{20/3}	{20/7}	{20/9}

Rumlige polygoner

I 3-dimensionelt rum kaldes en regulær rumlig polygon [6] en antiprismatisk polygon , og den har samme toppunktsarrangement som en antiprisme , og dens kanter er en delmængde af antiprismets kanter, der forbinder toppunkterne af de øvre og nedre polygoner i en zigzag.

Et eksempel på en regulær rumlig zigzag-polygon

D 3d , [2 + ,6]	D4d , [ 2 + ,8]	D 5d , [2 + ,10]
Sekskant	Oktagon	Decagon
{3}#{ }	{fire}#{ }	{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

I 4-dimensionelt rum kan en regulær rumpolygon have toppunkter på en Clifford-torus og er forbundet med en Clifford-rotation . I modsætning til antiprismatiske 3D-polygoner kan 3D-polygoner med dobbelt rotation have et ulige antal sider.

De kan ses i Petri-polygonerne af konvekse regulære firedimensionelle polyedre , set som regulære flade polygoner af omkredsen af Coxeter-projektioner:

Pentagon	Oktagon	Dodecagon	Tridecagon
Fem-celler	Hexadecimal celle	fireogtyve celler	Seks hundrede celler

Tredimensionelt rum (polyeder)

I 3D-rum, et regulært polyeder med Schläfli-symbol {p,q} og Coxeter-diagramhar regelmæssige flader af formen {p} og en regulær toppunktsfigur {q}.

En toppunktsfigur (af et polyeder) er en polygon opnået ved at forbinde toppunkter, der er en kant væk fra et givet toppunkt. For almindelige 3D-polyedre er denne toppunktsfigur altid en regulær (og plan) polygon.

Eksistensen af et regulært polyeder {p,q} er begrænset af uligheden relateret til hjørnedefekten af vertexfiguren:

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}

: Polyhedron (findes i euklidisk 3-rum)

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}

: Euklidisk plan flisebelægning

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}

: Fliselægning af det hyperbolske plan

Ved at omnummerere permutationerne finder vi 5 konvekse former, 4 stjerneformer og 3 plane flisebelægninger, alle med {p} og {q} polygoner fra listen: {3}, {4}, {5}, {5/2} og {6}.

Ud over de euklidiske rumfliser er der et uendeligt antal regulære hyperbolske fliser.

Udbulende

De fem konvekse regulære polyedre kaldes de platoniske faste stoffer . Topformen angives sammen med antallet af toppunkter. Alle disse polyedre har Euler-karakteristik (χ) 2.

Navn	Schläfli {p,q}	Facetter {p}	ribben	Hjørner {q}	Symmetri	Dobbelt
Tetraeder ( 3-simplex )	{3,3}	4 {3}	6	4 {3}	T d [3,3] (*332)	(selv-dual)
Hex terning ( 3-terning )	{4,3}	6 {4}	12	8 {3}	O h [4,3] (*432)	Oktaeder
Oktaeder (3 -orthoplex )	{3,4}	8 {3}	12	6 {4}	O h [4,3] (*432)	terning
Dodekaeder	{5,3}	12 {5}	tredive	20 {3}	I h [5,3] (*532)	icosahedron
icosahedron	{3,5}	20 {3}	tredive	12 {5}	I h [5,3] (*532)	Dodekaeder

Sfærisk

I sfærisk geometri er der regulære sfæriske polyedre ( fliser på kuglen ), som er degenererede polyedre i det normale tilfælde. Disse er osohedrene {2,n} og deres dobbelte dihedra {n,2}. Coxeter kalder sådanne tilfælde "upassende" tesselleringer [7] .

De første par eksempler (n fra 2 til 6) er givet nedenfor.

Osohedra

Navn	Schläfli {2,p}	Ansigter {2} π/s	ribben	Hjørner {p}	Symmetri	Dobbelt
Tokantet oshedron	{2,2}	2 {2} π/2	2	2 {2} π/2	D 2t [2,2] (*222)	Selv-dual
trekantet oshedron	{2,3}	3 {2} π/3	3	2 {3}	D 3t [2,3] (*322)	trekantet dihedron
Firkantet oshedron	{2,4}	4 {2} π/4	fire	2 {4}	D 4t [2,4] (*422)	firkantet dihedron
Femkantet osohedron	{2,5}	5 {2} π/5	5	2 {5}	D 5t [2,5] (*522)	Femkantet dihedron
Sekskantet oshedron	{2,6}	6 {2} π/6	6	2 {6}	D 6t [2,6] (*622)	Sekskantet dihedron

dihedra

Navn	Schläfli {s,2}	Facetter {p}	ribben	Hjørner {2}	Symmetri	Dobbelt
Tokantet dihedron	{2,2}	2 {2} π/2	2	2 {2} π/2	D 2t [2,2] (*222)	Selv-dual
trekantet dihedron	{3,2}	2 {3}	3	3 {2} π/3	D 3t [3,2] (*322)	trekantet oshedron
firkantet dihedron	{4,2}	2 {4}	fire	4 {2} π/4	D 4t [4,2] (*422)	Firkantet oshedron
Femkantet dihedron	{5,2}	2 {5}	5	5 {2} π/5	D 5t [5,2] (*522)	Femkantet osohedron
Sekskantet dihedron	{6,2}	2 {6}	6	6 {2} π/6	D 6t [6,2] (*622)	Sekskantet oshedron

Stjernedihedra og osohedra findes også, såsom {5/2,2} og {2,5/2}.

Stjerner

Regulære stjerneformede polyedre kaldes Kepler-Poinsot faste stoffer, og der er fire af dem. De er baseret på placeringen af hjørnerne dodekaederet {5,3} og icosahedronet {3,5}:

Ligesom sfæriske fliser overlapper disse stjerneformer kuglen flere gange, hvilket kaldes deres tæthed . For disse former er tætheden 3 eller 7. Mosaiktegninger viser ansigterne af individuelle sfæriske polygoner i gult.

Navn	Schläfli {p,q} og Coxeter	Facetter {p}	ribben	Toppunkter {q} Figur	χ	Tæthed [ da	Symmetri	Dobbelt
Lille stjernedodekaeder	{5/2.5}	12 {5/2}	tredive	12 {5}	−6	3	I h [5,3] (*532)	Stort dodekaeder
Stort dodekaeder	{5,5/2}	12 {5}	tredive	12 {5/2}	−6	3	I h [5,3] (*532)	Lille stjernedodekaeder
Stort stjerneformet dodekaeder	{5/2,3}	12 {5/2}	tredive	20 {3}	2	7	I h [5,3] (*532)	Stort icosahedron
Stort icosahedron	{3,5/2}	20 {3}	tredive	12 {5/2}	2	7	I h [5,3] (*532)	Stort stjerneformet dodekaeder

Skæv polyedre

Et regulært skævt polyeder er en generalisering af sættet af regulære polytoper, hvor uplanheden af toppunktsfigurer er tilladt .

For 4-dimensionelle skæve polyedre foreslog Coxeter et modificeret Schläfli-symbol {l,m|n}, med en toppunktsfigur {l,m}, m l-goner rundt om toppunktet med n -gonale huller. Deres toppunktsformer er rumpolygoner , der repræsenterer zigzag mellem to planer.

For regulære skæve polyedre, repræsenteret ved symbolet {l,m|n}, gælder ligheden:

2*sin(π/l)*sin(π/m)=cos(π/n)

Fire af dem kan ses i 4-dimensionelt rum som sæt af flader af fire regulære 4-polyedre med samme toppunktsarrangement og kantarrangement :

{4, 6 \| 3}	{6, 4 \| 3}	{4, 8 \| 3}	{8, 4\| 3}

Firedimensionelt rum

Almindelige 4-dimensionelle polyedre med Schläfli-symbolet har visningsceller, visningsflader , kantformer og toppunkter . $\{p,q,r\}$ ${\displaystyle \{p,q\))$ ${\displaystyle \{p\))$ ${\displaystyle \{r\))$ ${\displaystyle \{q,r\))$

En toppunktsfigur (af en 4-dimensionel polytop) er en (3-dimensionel) polytop dannet af toppunkterne på polytopen, der støder op til et givet toppunkt. For almindelige 4-polytoper er denne vertexfigur en regulær (3-dimensionel) polytop.
En kantfigur er en polygon dannet af flader, der støder op til kanten. For almindelige 4D polyedre vil kantfiguren altid være en regulær polygon.

Eksistensen af regulære firedimensionelle polytoper er begrænset af eksistensen af en regulær polytop . For 4-dimensionelle polyedre foreslås det at bruge navnet "polychorus" [8] [9] $\{p,q,r\}$ $\{p,q\},\{q,r\}$

Hver art kan eksistere i et rum afhængigt af følgende udtryk:

\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)-\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)

>0

: Hypersfæriske 3-dimensionelle honningkager eller 4-dimensionelle polyedre

{\displaystyle=0}

: Euklidisk 3-dimensionel honeycomb

<0

: Hyperbolsk 3-dimensionel honeycomb

Disse begrænsninger gælder for 21 former - 6 former er konvekse, 10 er ikke konvekse, en er en euklidisk 3-dimensionel honeycomb, og 4 er en hyperbolsk honeycomb.

Euler-karakteristikken for et firedimensionelt polyeder beregnes af formlen og er lig med nul for alle typer. $\chi$ $\chi =V+FEC$

Udbulende

De 6 konvekse regulære 4D polyedre er vist i tabellen nedenfor. Alle disse polyedre har Euler-karakteristik (χ) 0.

Navn	Schläfli {p,q,r}	Celler {p,q}	Facetter {p}	ribben {r}	Hjørner {q,r}	Dobbelt {r,q,p}
Fem -celler ( 4-simplex )	{3,3,3}	5 {3,3}	10 {3}	10 {3}	5 {3,3}	(selv-dual)
Tesseract ( 4-terninger )	{4,3,3}	8 {4,3}	24 {4}	32 {3}	16 {3,3}	Hexadecimal celle
Seksten celler (4 - orthoplex )	{3,3,4}	16 {3,3}	32 {3}	24 {4}	8 {3,4}	tesseract
fireogtyve celler	{3,4,3}	24 {3,4}	96 {3}	96 {3}	24 {4,3}	(selv-dual)
120 celler	{5,3,3}	120 {5,3}	720 {5}	1200 {3}	600 {3,3}	600 celler
600 celler	{3,3,5}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5}	120 {3,5}	120 celler

Fem-celler	tesseract	Seksten celler	Fireogtyve celler	120 celler	600 celler
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Wireframe ( Petri polygon ) i skrå ortogonal projektion

ortogonal projektion
Tetraedrisk skal ( celle/vertex centreret )	Kubisk skal (cellecentreret)	Kubisk skal (cellecentreret)	Cuboctahedral skal (cellecentreret)	Trunkeret rhombotriacontahedral skal ( cellecentreret )	Pentakiikosi - dodekaedral skal (vertex centreret)
Schlegel diagrammer ( perspektivprojektion )
(centreret på cellen)	(centreret på cellen)	(centreret på cellen)	(centreret på cellen)	(centreret på cellen)	(top centreret)
Stereografisk projektionsramme ( hypersfærisk )

Sfærisk

4-dimensionelle dihedra og osohedra eksisterer som almindelige fliser af 3-sfæren .

Almindelige 4-dimensionelle dihedra (2 facetter = 3-dimensionelle flader) omfatter: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3 ,5,2}, {p,2,2} og deres dobbelte 4-dimensionelle osoedre (2 hjørner): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, { 2,3,5}, {2,5,3}, {2,2,p}. Polyedre af formen {2,p,2} er både 4-dimensionelle dihedra og osoedre. Der er også former {p,2,q}, der har dihedrale celler og osohedrale toppunkter.

Almindelig 4-dimensionel osohedra som en honeycomb på en 3-sfære

Schläfli {2,p,q}	Celler {2,p} π/q	Vender {2} π/p,π/q	ribben	Toppe	Toppunktsfigur {p,q}	Symmetri	Dobbelt
{2,3,3}	4 {2,3} π/3	6 {2} π/3,π/3	fire	2	{3,3}	[2,3,3]	{3,3,2}
{2,4,3}	6 {2,4} π/3	12 {2} π/4,π/3	otte	2	{4,3}	[2,4,3]	{3,4,2}
{2,3,4}	8 {2,3} π/4	12 {2} π/3,π/4	6	2	{3,4}	[2,4,3]	{4,3,2}
{2,5,3}	12 {2,5} π/3	30 {2} π/5,π/3	tyve	2	{5,3}	[2,5,3]	{3,5,2}
{2,3,5}	20 {2,3} π/5	30 {2} π/3,π/5	12	2	{3,5}	[2,5,3]	{5,3,2}

Stjerner

Der er ti regulære 4-dimensionelle stjernepolyedre , som kaldes Schläfli-Hess polytoper . Deres hjørner er placeret på en konveks 120 celle { 5,3,3 } og en seks hundrede celle {3,3,5} .

Ludwig Schläfli fandt fire af dem og kasserede de resterende seks, fordi han ikke tillod krænkelse af Euler-karakteristikken på celler eller toppunktsfigurer (F+V−E=2). Edmund Hess (1843–1903) afsluttede listen i sin bog Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder ( [3] , 1883) (En introduktion til læren om flisebelægning ). sfære under hensyntagen til teorien om isoedriske og ækvikantede polyedre) .

Der er 4 kantarrangementer og 7 fladearrangementer i disse 10 regulære stjerneformede 4D polyedre, vist som ortogonale projektioner :

Navn	Schläfli {p, q, r} Coxeter	Celler {p, q}	Facetter {p}	ribben {r}	Hjørner {q, r}	Tæthed [ da	χ	Symmetri gruppe	Dobbelt {r, q, p}
Icosahedral 120-celle (facetteret 600-celle)	{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	fire	480	H4 [ 5,3,3 ]	Lille stjerneformet 120-celle
Lille stjerneformet 120-celler	{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	fire	-480	H4 [ 5,3,3 ]	Icosahedral 120-celle
Stor 120 celler	{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0	H4 [ 5,3,3 ]	selv-dual
Fantastisk 120-celler	{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	tyve	0	H4 [ 5,3,3 ]	Stor stjerneformet 120-celle
Stor stjerneformet 120-celler	{5/2,3,5}	120 {5/2.3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	tyve	0	H4 [ 5,3,3 ]	Fantastisk 120-celler
Great stellated 120-cell	{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0	H4 [ 5,3,3 ]	selv-dual
Big great 120-cell	{5.5/2.3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2.3}	76	-480	H4 [ 5,3,3 ]	Fantastisk icosahedral 120-celle
Large icosahedral 120-cell (stor facetteret 600-celle)	{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480	H4 [ 5,3,3 ]	Fantastisk stor 120-celler
Fantastisk 600 celler	{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0	H4 [ 5,3,3 ]	Fantastisk stor stjerneformet 120-celle
Big great 120-cell	{5/2,3,3}	120 {5/2.3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0	H4 [ 5,3,3 ]	Fantastisk 600 celler

Der er 4 mislykkede regulære stjernepermutationer af polytoper: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2 }. Deres celler og toppunktsfigurer eksisterer, men de dækker ikke hypersfæren med et begrænset antal repræsentationer.

Dimension fem og derover

I det femdimensionale rum kan regulære polytoper betegnes som , hvor er en 4-sidet type, er en celletype, er en 2-sidet type, er en ansigtsfigur, er en kantfigur og er et toppunkt figur. $\{p,q,r,s\}$ $\{p,q,r\}$ ${\displaystyle \{p,q\))$ ${\displaystyle \{p\))$ $\{s\}$ $\{r,s\}$ ${\displaystyle \{q,r,s\))$

En toppunktsfigur (af en 5-dimensionel polytop) er en 4-dimensionel polytop dannet af de hjørner, der støder op til det givne toppunkt. En kantfigur (af et 5-dimensionelt polyeder) er et polyeder dannet af flader omkring hver kant. Ansigtsformen (5-dimensional polyhedron) er et polyeder dannet af celler omkring hver flade.

En regulær 5-polytop eksisterer kun hvis og er regulære 4-polytoper. $\{p,q,r,s\}$ $\{p,q,r\}$ ${\displaystyle \{q,r,s\))$

Afhængig af værdien

{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi}{q))\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p }}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac { \pi }{s}}\right)}}

få pladstypen

<1

: Kugleformet 4D flisebelægning eller 5D polyeder

{\displaystyle=1}

: Euklidisk 4-dimensionel flisebelægning

>1

: Hyperbolsk 4D flisebelægning

Fra disse begrænsninger får vi 3 konvekse polyedre, nul ikke-konvekse polytoper, 3 4-dimensionelle fliser og 5 hyperbolske 4-dimensionelle fliser. Der er ingen ikke-konvekse regulære polyedre i 5D og derover.

Udbulende

I dimensioner 5 og derover er der kun tre typer konvekse regulære polyedre [10] .

Navn	Schläfli symbol { p 1 ,..., p n −1 }	coxeter	k -ansigter	Facettype _	Vertex figur	Dobbelt
n -simpelt	{ 3n− 1 }	...		{ 3n −2 }	{ 3n −2 }	Selv-dual
n -terning	{4,3n − 2 }	...	${\displaystyle 2^{nk}{n \vælg k))$	{4,3n − 3 }	{ 3n −2 }	n -orthoplex
n - ortopleks	{ 3n − 2,4 }	...	$2^{k+1}{n \choose {k+1}}$	{ 3n −2 }	{ 3n − 3,4 }	n -terning

Der er også ukorrekte tilfælde, hvor nogle tal i Schläfli-symbolet er lig med 2. For eksempel er {p,q,r,...2} en ukorrekt regulær sfærisk polytop i tilfældet {p,q,r... } er regulær sfærisk polytop, og {2,...p,q,r} er en ukorrekt regulær sfærisk polytop, når {...p,q,r} er en regulær sfærisk polytop. Sådanne polyedre kan bruges som facetter, der giver former for formen {p,q,...2...y,z}.

Femdimensionelle rum

Navn	Schläfli symbol { p,q,r,s} Coxeter	Antal facetter ( firedimensionelle flader) {p,q,r}	Celler (3D -ansigter) {p,q}	Ansigter (2D) {p}	ribben	Toppe	Ansigtsform { s}	Kantfigur {r,s }	Topfigur { q,r,s}
Hexateron	{3,3,3,3}	6 {3,3,3}	15 {3,3}	20 {3}	femten	6	{3}	{3,3}	{3,3,3}
Penteract	{4,3,3,3}	10 {4,3,3}	40 {4,3}	80 {4}	80	32	{3}	{3,3}	{3,3,3}
5-orthoplex	{3,3,3,4}	32 {3,3,3}	80 {3,3}	80 {3}	40	ti	{fire}	{3,4}	{3,3,4}

Hexateron	Penteract	5-orthoplex

Seksdimensionelt rum

Navn	Schläfli	Toppe	ribben	Facetter (2D)	Celler (3D)	4D ansigter	5D ansigter
6-simplex	{3,3,3,3,3}	7	21	35	35	21	7
Hexeract	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12
6-orthoplex	{3,3,3,3,4}	12	60	160	240	192	64

6-dimensionel simplex	Hexeract	6-dimensionel orthoplex

Syvdimensionelt rum

Navn	Schläfli	Toppe	ribben	Facetter (2D)	Celler (3D)	4D ansigter	5D ansigter	6D ansigter	χ
7-simplex	{3,3,3,3,3,3}	otte	28	56	70	56	28	otte	2
Hepteract	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	fjorten	2
7-orthoplex	{3,3,3,3,3,4}	fjorten	84	280	560	672	448	128	2

7-simplex	Hepteract	7-orthoplex

Ottedimensionelt rum

Navn	Schläfli	Toppe	ribben	Facetter (2D)	Celler (3D)	4D ansigter	5D ansigter	6D ansigter	7D ansigter
8-simplex	{3,3,3,3,3,3,3}	9	36	84	126	126	84	36	9
Octeract	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16
8-orthoplex	{3,3,3,3,3,3,4}	16	112	448	1120	1792	1792	1024	256

8-simplex	Octeract	8-orthoplex

Ni-dimensionelt rum

Navn	Schläfli	Toppe	ribben	Facetter (2D)	Celler (3D)	4D ansigter	5D ansigter	6D ansigter	7D ansigter	8D ansigter	χ
9-simplex	{3 8 }	ti	45	120	210	252	210	120	45	ti	2
Entereract	{4,3 7 }	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	atten	2
9-orthoplex	{3 7 ,4}	atten	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	2

9-simplex	Entereract	9-orthoplex

Ti-dimensionelt rum

Navn	Schläfli	Toppe	ribben	Facetter (2D)	Celler (3D)	4D ansigter	5D ansigter	6D ansigter	7D ansigter	8D ansigter	9D ansigter
10-simplex	{ 39 }	elleve	55	165	330	462	462	330	165	55	elleve
Deceract	{4,3 8 }	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	tyve
10-orthoplex	{3 8 ,4}	tyve	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024

10-simplex	Deceract	10-orthoplex

...

Ikke-konveks

Der er ingen ikke-konvekse regulære polyedre i dimensionerne 5 eller højere.

Regulære projektive polyedre

En projektiv regulær ( n + 1)-polytop eksisterer, hvis den oprindelige regulære n -sfæriske flisebelægning {p,q,...} er centralt symmetrisk . Sådanne polyedre kaldes semi-{p,q,...} og indeholder halvt så mange elementer. Coxeter giver dem symbolet {p,q,...}/2, mens McMullen skriver {p,q,...} h/2 , hvor h er Coxeter-tallet . [elleve]

Regulære polygoner med et lige antal sider har semi - 2n -gonale projektive polygoner, {2p}/2.

Der er 4 regulære projektive polytoper , svarende til 4 af de 5 platoniske faste stoffer .

Semi-terningen og semi-oktaederet generaliserer til semi- n-kuber og semi-n - ortoplekser i enhver dimension .

Regelmæssige projektive polyedre i 3D-rum

3-dimensionelle regulære hemi-polytoper

Navn	Coxeter McMullen	ansigter	Kanter	Toppunkter	χ
Halv terning	{4,3}/2 {4,3} 3	3	6	fire	en
Semioktaeder	{3,4}/2 {3,4} 3	fire	6	3	en
Semidodekaeder	{5.3}/2 {5.3} 5	6	femten	ti	en
Semiicosahedron	{3.5}/2 {3.5} 5	ti	femten	6	en

Regulære projektive polyedre i fire dimensioner

I 4-dimensionelt rum danner 5 ud af 6 konvekse regulære polyedre projektive 4-polytoper. De 3 specielle tilfælde er halvt fireogtyve celler, halvt seks hundrede celler og et halvt hundrede og tyve celler.

4-dimensionelle regulære semi-polytoper! Titel
Coxeter symbol
McMullen symbol celler ansigter ribben Toppe χ

semi tesseract	{4,3,3}/2	{4,3,3} 4	fire	12	16	otte
halv seksten celler	{3,3,4}/2	{3,3,4} 4	otte	16	12	fire
semi -fireogtyve celle	{3,4,3}/2	{3,4,3} 6	12	48	48	12
semi 120 celle	{5,3,3}/2	{5,3,3} 15	60	360	600	300
halv seks hundrede celler	{3,3,5}/2	{3,3,5} 15	300	600	360	60

Regelmæssige projektive polytoper i femdimensionelt rum

Der er kun 2 konvekse regulære projektive semipolytoper i rum med dimension 5 og derover.

Navn	Schläfli	4D ansigter	Celler (3D)	Facetter (2D)	ribben	Toppe	χ
semi penteract	{4,3,3,3}/2	5	tyve	40	40	16	en
semi pentacross	{3,3,3,4}/2	16	40	40	tyve	5	en

Infinitesimals

Infinite er etpolyedermed et uendeligt antal facetter. En ntop er enn-dimensionel uendelig-tope: 2-uendelig-top = uendelig-gon (apeirogon), 3-uendelig-top = uendelig-top i 3D-rum osv.

Der er to hovedgeometriske klasser af infinitetoper: [12]

Almindelige honningkager i n -dimensionelt rum, fylder fuldstændigt n -dimensionelt rum.
Regelmæssige skæve uendeligheder indeholdende n -dimensionelle manifolds i højere rum.

Et-dimensionelt rum (uendeligt)

En direkte apeirogon er en regelmæssig fliselægning af en lige linje med dens opdeling i uendeligt mange lige store segmenter. Den har uendeligt mange hjørner og kanter. Dens Schläfli-symbol er {∞} og dens Coxeter-diagram er.

... ...

Apeirogoner på det hyperbolske plan , blandt hvilke den regelmæssige apeirogon {∞} er den mest bemærkelsesværdige, kan have krumning, ligesom endelige polygoner på det euklidiske plan, og have toppunkter liggende på horocykler eller hypercykler .

Regulære apeirogoner med konvergens ved uendelig har symbolet {∞} og findes på horocykler, selvom de generelt kan eksistere på hypercykler.

{∞}	{πi/λ}
Infinity på en horocykel	Infinity på en hypercyklus

Vist ovenfor er to hyperbolske apeirogoner på en Poincaré-skive . Figuren til højre viser vinkelrette linjer, der adskiller de fundamentale områder adskilt med en afstand λ fra hinanden.

Rumlige uendeligheder

Skrå apeirogoner i todimensionelt rum (plan) danner en zigzag. Hvis zigzaggen er symmetrisk og ensartet, er apeirogonen korrekt.

Skrå apeirogoner kan konstrueres i et rum af enhver dimension. I det tredimensionelle rum danner skrå apeirogoner en spiral og kan være venstre eller højre.

todimensionelt rum	3D-rum
Apeirogon i form af en zigzag	spiral apeirogon

Todimensionelt rum (uendeligt)

Euklidiske flisebelægninger

Der er tre regelmæssige fliser af flyet. Alle tre har Euler karakteristik (χ) 0.

Navn	Firkantet mosaik (quadrille)	Trekantet mosaik (deltatil)	Sekskantet parket (hexatil)
Symmetri	p4m, [4,4], (*442)	p6m, [6,3], (*632)
Schläfli {p,q}	{4,4}	{3,6}	{6,3}
Coxeter diagram
Billede

Der er to ukorrekte regelmæssige fliser - {∞,2}, et uendeligt vinklet dihedron , opnået fra to apeirogoner , som hver fylder et halvt plan, og dets dobbelte {2,∞} flisebelægning, et uendeligt vinklet osohedron , som kan repræsenteres som et uendeligt antal parallelle linjer.

{∞,2} ,	{2,∞} ,

Euklidiske stjernefliser

Der er ingen regelmæssige fliser af planet med stjernepolygoner . Der er uendeligt mange talpar, for hvilke den flade flisebetingelse (1/ p + 1/ q = 1/2) er opfyldt, for eksempel {8/3.8}, {10/3.5}, {5/2.10 }, {12/5,12} osv., men ingen af disse stjerner er egnede til flisebelægning.

Hyperbolske flisebelægninger

Fliserne i et hyperbolsk todimensionelt rum er hyperbolske fliser . Der er uendeligt mange regulære fliser i H 2 . Som nævnt ovenfor kan ethvert positivt par { p , q } således at 1/ p + 1/ q < 1/2 giver en hyperbolsk flisedeling. Faktisk gælder det samme for den generelle Schwartz-trekant ( p , q , r ) for 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1.

Der er mange forskellige måder at repræsentere det hyperbolske plan på, inklusive Poincaré-diskmodellen , som kortlægger planet til en disk, som vist nedenfor. Alle polygonale flader af flisebelægningen skal behandles som ligesidede, og polygonerne bliver mindre, efterhånden som du kommer tættere på kanten af disken på grund af projektion, som ligner effekten af et fiskeøjekamera .

Der er uendeligt mange flade regulære 3-uendelige-topper som regelmæssige fliselægninger af hyperbolsk plan af formen {p,q}, hvor p+q<pq/2.

{3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
{4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
{5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
{6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
{7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
{8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
{9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
...
{∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}

Eksempler:

Kugleformede (platoniske) / euklidiske / hyperbolske (Poincare disk: kompakt / parakompakt / ikke -kompakt ) flisebelægninger med deres Schläfli-symboler
p\q	3	fire	5	6	7	otte	...	∞	...	iπ/λ
3	( tetraeder ) {3,3}	( oktaeder ) {3,4}	( icosahedron ) {3,5}	( delta flise ) {3,6}	{3,7}	{3,8}		{3,∞}		{3,iπ/λ}
fire	( terning ) {4,3}	( kvadrille ) {4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}		{4,∞}		{4,iπ/λ}
5	( dodekaeder ) {5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}		{5,∞}		{5,iπ/λ}
6	( hexatil ) {6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}		{6,∞}		{6,iπ/λ}
7	{7,3}	{7,4}	{7,5}	{7,6}	{7,7}	{7,8}		{7,∞}		{7,iπ/λ}
otte	{8,3}	{8,4}	{8,5}	{8,6}	{8,7}	{8,8}		{8,∞}		{8,iπ/λ}
...
∞	{∞,3}	{∞,4}	{∞,5}	{∞,6}	{∞,7}	{∞,8}		{∞,∞}		{∞,iπ/λ}
...
iπ/λ	{ip/λ,3}	{ip/λ,4}	{ip/λ,5}	{ip/λ,6}	{ip/λ,7}	{ip/λ,8}		{iπ/λ,∞}		{iπ/λ,iπ/λ}

Hyperbolske stjernefliser

Der er to uendelige typer hyperbolske flisebelægninger, hvis ansigter eller toppunktsfigurer er stjernepolygoner — { m /2, m } og deres dualer { m , m /2} med m = 7, 9, 11, .... Mosaikker { m / 2, m } er stellationer af { m , 3} flisebelægninger, mens dobbelte flisebelægninger { m , m /2} er facetter af {3, m } flisebelægninger og forøgelser { m , 3} fliser.

Skemaerne { m /2, m } og { m , m / 2} fortsætter for ulige m < 7 som polyedre : hvis m = 5, får vi et lille stjerneformet dodekaeder og et stort dodekaeder , og med m = 3 får vi en tetraeder . De to andre Kepler-Poinsot-faststoffer ( stort stjerneformet dodekaeder og stort icosahedron ) har ingen analoger i almindelige hyperbolske fliser. Hvis m er lige, afhængigt af hvordan vi vælger definitionen af { m /2}, kan vi få enten en degenereret dækning af en anden flisebelægning eller en sammenføjning af flisebelægninger .

Navn	Schläfli	Ansigtstype {p}	Toppunktsfigur {q}	Tæthed [ da	Symmetri	dobbelt
Heptagonal flisebelægning af orden 7	{7/2,7}	{7/2}	{7}	3	*732 [7,3]	Heptagonal heptagram flisebelægning
Heptagonal heptagram flisebelægning	{7,7/2}	{7}	{7/2}	3	*732 [7,3]	Heptagram flisebelægning af ordre 7
Enneagram Mosaik af orden 9	{9/2,9}	{9/2}	{9}	3	*932 [9,3]	Enneagram ni-sidet flisebelægning
Enneagram ni-sidet flisebelægning	{9,9/2}	{9}	{9/2}	3	*932 [9,3]	Ordre 9 Enneagram ni-sidet flisebelægning
Genecagram mosaik af orden 11	{11/2,11}	{11/2}	{elleve}	3	*11.3.2 [11.3]	Hendecagram flisebelægning ellevevinklet flisebelægning
Hendecagram flisebelægning ellevevinklet flisebelægning	{11,11/2}	{elleve}	{11/2}	3	*11.3.2 [11.3]	Genecagram mosaik af orden 11
p - gram flisebelægning af ordre s	{ p /2, p }	{ s /2}	{ p }	3	* s 32 [s, 3]	p - gram p - kulfliser
p -gram flisebelægning p -vinkel flisebelægning	{ p , s /2}	{ p }	{ s /2}	3	* s 32 [s, 3]	p -gram flisebelægning af orden p

Skæv uendeligheder i euklidisk 3-rum

Der er tre regulære skæve uendeligheder i det euklidiske 3D-rum med en regulær rumlig polygon som vertexfigurer [13] [14] [15] . De har samme vertex-arrangement og kant-arrangement som 3 konvekse ensartede honeycombs .

6 firkanter rundt om hvert toppunkt: {4,6|4}
4 sekskanter rundt om hvert toppunkt: {6,4|4}
6 sekskanter rundt om hvert toppunkt: {6,6|3}

Regelmæssig skrå polygon
{4,6\|4}	{6,4\|4}	{6,6\|3}

Der er tredive regulære uendeligheder i det euklidiske tredimensionelle rum [17] . De inkluderer både dem, der er nævnt ovenfor og 8 andre "rene" uendeligheder. De er alle forbundet med kubiske honningkager {4,3,4}. Resten har rumlige polygonale flader: {6,6} 4 , {4,6} 4 , {6,4} 6 , {∞,3} a , {∞,3} b , {∞,4} .*3 , {∞,4} 6.4 , {∞,6} 4.4 og {∞,6} 6.3 .

Skrå uendeligheder i hyperbolsk 3D-rum

Der er 31 regulære skrå uendeligheder i hyperbolsk tredimensionelt rum [18] :

14 kompakte: {8.10|3}, {10.8|3}, {10.4|3}, {4.10|3}, {6.4|5}, {4.6|5}, {10,6|3}, {6} ,10|3}, {8,8|3}, {6,6|4}, {10,10|3},{6,6|5}, { 8,6|3} og {6,8|3}.
17 paracompact: {12.10|3}, {10.12|3}, {12.4|3}, {4.12|3}, {6.4|6}, {4.6|6}, {8,4|4}, {4, 8|4}, {12,6|3}, {6,12|3}, {12,12|3}, {6,6|6}, { 8,6|4}, {6,8|4}, { 12.8|3}, {8.12|3} og {8.8|4}.

Tessellations af euklidisk tredimensionelt rum
Der er kun én ikke-degenereret regulær flisebelægning af 3-dimensionelt rum ( honeycomb ), {4, 3, 4} [19] :

Navn Schläfli
{p,q,r} coxeter
Celletype
{
p,q} Ansigtstype
{
p} Kantfigur
{
r} Toppunktsfigur

{q,r } χ Dobbelt

kubisk honningkage {4,3,4} {4,3} {fire} {fire} {3,4} 0 Selv-dual
Ukorrekt fliselægning af euklidisk tredimensionelt rum
Der er seks ukorrekte regelmæssige fliser, parvis baseret på tre almindelige euklidiske fliser. Deres celler og toppunkter er regulære { 2,n} osohedra , {n,2} dihedra og euklidiske fliser. Disse ukorrekte regelmæssige tesseller er strukturelt relateret til prismatiske ensartede honningkager ved trunkeringsoperationen. De er højdimensionelle modstykker af orden 2 uendelig-vinkel flisebelægning [en og uendelig-vinkel osohedron .

Schläfli
{p,q,r}
Coxeter diagram Celletype
{
p,q} Ansigtstype
{
p} Kantfigur
{
r} Toppunktsfigur

{q,r }

{2,4,4 {2,4} {2} {fire} {4,4}

{2,3,6 {2,3} {2} {6} {3,6}

{2,6,3} {2,6} {2} {3} {6,3}

{4,4,2} {4,4} {fire} {2} {4,2}

{3,6,2} {3,6} {3} {2} {6,2}

{6,3,2} {6,3} {6} {2} {3,2}
Fliselægning af hyperbolsk tredimensionelt rum

4 kompakte almindelige kamme

{5,3,4}
{5,3,5

{4,3,5
{3,5,3

4 ud af 11 paracompact almindelige kamme

{3,4,4}
{3,6,3

{4,4,3}
{4,4,4}

Der er ti flade regelmæssige honningkager i hyperbolsk 3-dimensionelt rum [20] ( angivet ovenfor som fliser):

4 kompakte: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} og {5,3,5}

6 paracompact: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6} , {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} og {6,3,6}.

Flisebelægninger af hyperbolske 3-mellemrum kan kaldes hyperbolske honeycombs . Der er 15 hyperbolske honeycombs i H 3 , 4 compact og 11 paracompact.

Navn
Schläfli symbol {
p,q,r} coxeter
Celletype
{
p,q} Ansigtstype
{
p} Kantfigur
{
r} Toppunktsfigur

{q,r } χ Dobbelt

Icosahedral honeycombs {3,5,3} {3,5} {3} {3} {5,3} 0 Selv-dual

Cubic honeycombs ordre 5 {4,3,5} {4,3} {fire} {5} {3,5} 0 {5,3,4}

Bestil 4 dodekaedriske honeycomb {5,3,4} {5,3} {5} {fire} {3,4} 0 {4,3,5}

Dodecahedral honeycomb Order 5 {5,3,5} {5,3} {5} {5} {3,5} 0 Selv-dual

Der er også 11 parakompakte H 3 honeycombs (med uendelige (euklidiske) celler og/eller toppunkter): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4 , 3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5 } og {6,3,6}.

Navn
Schläfli symbol {
p,q,r} coxeter
Celletype
{
p,q} Tpi-
kant
{p} Kantfigur
{
r} Toppunktsfigur

{q,r } χ Dobbelt

Tetraedriske honningkager af orden 6 {3,3,6} {3,3} {3} {6} {3,6} 0 {6,3,3}

Sekskantede mosaik honeycombs {6,3,3} {6,3} {6} {3} {3,3} 0 {3,3,6}

Bestil 4 oktaedriske honeycomb {3,4,4} {3,4} {3} {fire} {4,4} 0 {4,4,3}

Firkantede mosaik honeycombs {4,4,3} {4,4} {fire} {3} {4,3} 0 {3,3,4}

Trekantede mosaik honeycombs {3,6,3} {3,6} {3} {3} {6,3} 0 Selv-dual

Cubic honeycombs ordre 6 {4,3,6} {4,3} {fire} {fire} {3,4} 0 {6,3,4}

Bestil 4 Hexagonal Mosaic Honeycombs {6,3,4} {6,3} {6} {fire} {3,4} 0 {4,3,6}

Firkantede mosaik honeycombs ordre 4 {4,4,4} {4,4} {fire} {fire} {4,4} 0 {4,4,4}

Dodecahedral honeycomb Order 6 {5,3,6} {5,3} {5} {5} {3,5} 0 {6,3,5}

Hexagonal mosaik honeycomb order 5 {6,3,5} {6,3} {6} {5} {3,5} 0 {5,3,6}

Hexagonal mosaik honeycombs ordre 6 {6,3,6} {6,3} {6} {6} {3,6} 0 Selv-dual

Ikke-kompakte løsninger eksisterer som Lorentzian Coxeter-grupper og kan visualiseres med et åbent område i hyperbolsk rum (et grundlæggende tetraeder med nogle dele uopnåelige på grund af uendelighed), og nogle er tegnet nedenfor, der viser deres skæringspunkt med planet. Alle honeycombs, der ikke er vist i tabellerne og ikke har en 2 i deres Schläfli-symbol, er ikke-kompakte.
Sfæriske / euklidiske /hyperbolske ( kompakte / parakompakte / ikke -kompakte ) honningkager {p,3,r}

p\r 3 fire 5 6 7 otte ...∞

3

{3,3,3}

{3,3,4}

{3,3,5}

{3,3,6}

{3,3,7}

{3,3,8}

{3,3,∞}

fire

{4,3,3}

{4,3,4}

{4,3,5}

{4,3,6}

{4,3,7}

{4,3,8}

{4,3,∞}

5

{5,3,3}

{5,3,4}

{5,3,5}

{5,3,6}

{5,3,7}

{5,3,8}

{5,3,∞}

6

{6,3,3}

{6,3,4}

{6,3,5}

{6,3,6}

{6,3,7}

{6,3,8}

{6,3,∞}

7

{7,3,3}
{7,3,4}
{7,3,5}
{7,3,6}
{7,3,7}
{7,3,8}
{7,3,∞}

otte
{8,3,3}
{8,3,4}
{8,3,5}
{8,3,6}
{8,3,7}
{8,3,8}
{8,3,∞}

... ∞
{∞,3,3}
{∞,3,4}
{∞,3,5}
{∞,3,6}
{∞,3,7}
{∞,3,8}
{∞,3,∞}

q = 4 q = 5 q = 6

p\r 3 fire 5

3

{3,4,3}

{3,4,4}

{3,4,5}

fire

{4,4,3}

{4,4,4}

{4,4,5}

5

{5,4,3}

{5,4,4}

{5,4,5}

p\r 3 fire

3

{3,5,3}

{3,5,4}

fire

{4,5,3}

{4,5,4}

5

{5,5,3}

{5,5,4}

p\r 3 fire

3

{3,6,3}

{3,6,4}

fire

{4,6,3}

{4,6,4}

5

{5,6,3}

{5,6,4}

Der er ingen hyperbolske stjernebaserede honeycombs i H 3 - alle former med et regulært stjerneformet polyeder som celle, toppunktsfigur eller begge viser sig at være sfæriske.

Firedimensionelt rum (5-uendelig-hedra)
Euklidiske fliser af 4-dimensionelt rum
Der er tre typer uendelige regelmæssige ( honningkager ), der kan fylde det euklidiske firedimensionelle rum:

Navn
Schläfli symbol {
p,q,r,s} Facettype
{
p,q,r} Celletype
{
p,q} Ansigtstype
{
p} ansigtsform
{
s} Kantfigur {r,s
}
Topfigur
{
q,r,s} Dobbelt

Tesseract honeycombs {4,3,3,4} {4,3,3} {4,3} {fire} {fire} {3,4} {3,3,4} Selv-dual

16 cellers honningkage {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,3}

Fireogtyve -cellet honningkage {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,3,4,3}

Projiceret honeycomb fragment {4,3,3,4}
(Tesseract honeycomb)
Projiceret cellefragment {3,3,4,3}
(seksten cellers honeycomb)
Projiceret cellefragment {3,4,3,3}
(24-cellers honningkage)

Der er også to ukorrekte tilfælde, {4,3,4,2} og {2,4,3,4}. Der er tre flade regulære typer af honningkager i det euklidiske 4-dimensionelle rum: [19]

{4,3,3,4}, {3,3,4,3} og {3,4,3,3}.

Der er syv flade regelmæssige konvekse honningkager i et hyperbolsk 4-dimensionelt rum: [20]

5 kompakte: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3 , 5}

2 parakompakte: {3,4,3,4} og {4,3,4,3}.

Der er fire flade regulære stjernetyper af honningkager i det hyperbolske 4-dimensionelle rum: [20]

{5/2.5.3.3}, {3.3.5.5/2}, {3.5.5/2.5} og {5.5/2.5.3}.
Fliselægning af hyperbolsk 4-mellemrum
Der er syv konvekse regulære honeycombs og fire stjerneformede honeycombs i rummet H 4 [21] . Fem konvekse typer er kompakte og to er parakompakte.
Fem kompakte almindelige honningkager i H 4 :

Navn
Schläfli symbol {
p,q,r,s} Facettype
{
p,q,r} Celletype
{
p,q} Ansigtstype
{
p} ansigtsform
{
s} Kantfigur {r,s
}
Topfigur
{
q,r,s} Dobbelt

Fem-cellet honeycomb orden 5 {3,3,3,5} {3,3,3} {3,3} {3} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,3}

120 celle honningkager {5,3,3,3} {5,3,3} {5,3} {5} {3} {3,3} {3,3,3} {3,3,3,5}

Tesseract honeycombs ordre 5 {4,3,3,5} {4,3,3} {4,3} {fire} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,4}

120 celler rækkefølge 4 celler {5,3,3,4} {5,3,3} {5,3} {5} {fire} {3,4} {3,3,4} {4,3,3,5}

120 celler orden 5 honeycombs {5,3,3,5} {5,3,3} {5,3} {5} {5} {3,5} {3,3,5} Selv-dual

To almindelige parakompakte regulære typer af honningkager i H 4 : {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

Navn
Schläfli symbol {
p,q,r,s} Facettype
{
p,q,r} Celletype
{
p,q} Ansigtstype
{
p} ansigtsform
{
s} Kantfigur {r,s
}
Topfigur
{
q,r,s} Dobbelt

24 celler rækkefølge 4 celler {3,4,3,4} {3,4,3} {3,4} {3} {fire} {3,4} {4,3,4} {4,3,4,3}

Cubic honeycomb {4,3,4,3} {4,3,4} {4,3} {fire} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,4}

Ikke-kompakte løsninger findes som Lorentzianske Coxeter-grupper og kan visualiseres ved hjælp af et åbent område i hyperbolsk rum (en grundlæggende fem-celle med nogle dele uopnåelige på grund af uendelighed). Alle honeycombs, der ikke er vist i tabellerne og ikke har en 2 i deres Schläfli-symbol, er ikke-kompakte.
Sfæriske / euklidiske /hyperbolske ( kompakte / parakompakte / ikke -kompakte ) honningkager {p,q,r,s}

q=3, s=3
p\r 3 fire 5

3
{3,3,3,3}

{3,3,4,3}

{3,3,5,3}

fire
{4,3,3,3}

{4,3,4,3}

{4,3,5,3}

5
{5,3,3,3}

{5,3,4,3}

{5,3,5,3}

q=3, s=4
p\r 3 fire

3
{3,3,3,4}

{3,3,4,4}

fire
{4,3,3,4}

{4,3,4,4}

5
{5,3,3,4}

{5,3,4,4}

q=3, s=5
p\r 3 fire

3 {3,3,3,5}

{3,3,4,5}

fire {4,3,3,5}

{4,3,4,5}

5
{5,3,3,5}

{5,3,4,5}

q=4, s=3
p\r 3 fire

3
{3,4,3,3}

{3,4,4,3}

fire
{4,4,3,3}

{4,3,4,3}

q=4, s=4
p\r 3 fire

3 {3,4,3,4}

{3,4,4,4}

fire
{4,4,3,4}

{4,4,4,4}

q=4, s=5
p\r 3 fire

3 {3,4,3,5}

{3,4,4,5}

fire
{4,4,3,5}

{4,4,4,5}

Stjernefliser af hyperbolsk 4-mellemrum
Der er fire typer almindelige stjernehonningkager i H 4 -rummet :

Navn
Schläfli symbol {
p,q,r,s} Facettype
{
p,q,r} Celletype {p,q
}
Ansigtstype
{
p} ansigtsform
{
s} Kantfigur {r,s
}
Topfigur
{
q,r,s} Dobbelt Tæthed
_

Honeycomb fra en lille stjerneformet 120-celle {5/2,5,3,3} {5/2,5,3 {5/2.5} {5} {5} {3,3} {5,3,3} {3,3,5,5/2} 5

600-cellers pentagram rækkefølge {3,3,5,5/2} {3,3,5} {3,3} {3} {5/2} {5,5/2} {3,5,5/2} {5/2,5,3,3} 5

Icosahedral 120-cellet honeycomb orden 5 {3,5,5/2,5} {3,5,5/2} {3,5} {3} {5} {5/2.5} {5,5/2,5} {5.5/2.5.3} ti

Honeycombs af en stor 120-celler {5.5/2.5.3} {5,5/2,5} {5,5/2} {5} {3} {5,3} {5/2,5,3} {3,5,5/2,5} ti

Femdimensionelt rum (uendeligt vinklet 6-polyedre)

Der er kun én flad regulær honeycomb i det euklidiske 5-rum: ( opført ovenfor som flisebelægninger) [19]

{4,3,3,3,4}

Der er fem flade regulære honningkager i hyperbolsk 5-mellemrum, alle parakompakte: ( angivet ovenfor som fliser) [20]

{3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} og {4 ,3,3,4,3}
En flisedeling af et euklidisk 5-rum
Den hyperkubiske honeycomb er den eneste familie af almindelige honeycombs, der kan flisebelægge et rum af enhver dimension (fem eller mere) dannet af hyperkubefacetter , fire omkring hver (n-2)-dimensionelle flade.

Navn Schläfli
{ p 1 , p 2 , ..., p n −1 }
Facettype _ Vertex
figur Dobbelt

Firkantet parket {4,4} {fire} {fire}
Selv -dual

kubisk honningkage {4,3,4} {4,3} {3,4}
Selv - dual

Tesseract honeycombs {4,3 2 ,4} {4,3 2 } {3 2 ,4}
Selv - dual

5-kubik honeycomb {4,3 3 ,4} {4,3 3 } {3 3,4 }
Selv - dual

6-kubik honeycomb {4,3 4 ,4} {4,3 4 } {3 4 ,4}
Selv - dual

7-kubik honeycombs {4,3 5,4 } {4,3 5 } {3 5 ,4}
Selv - dual

8-kubik honeycombs {4,3 6 ,4} {4,3 6 } {3 6 ,4}
Selv - dual

n -dimensionelle hyperkubiske honningkager {4,3 n−2 ,4} {4,3n −2 } { 3n−2 ,4}
Selv - dual

I E 5 er der også ukorrekte tilfælde {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3 , 4,3}, {3,4,3,3,2} og {2,3,4,3,3}. I E n er {4,3 n−3 ,4,2} og {2,4,3 n−3 ,4} altid ukorrekte euklidiske fliser.
Fliselægning af hyperbolsk 5-dimensionelt rum
Der er 5 almindelige typer honeycomb i H 5 , alle paracompact. De omfatter uendelige (euklidiske) facetter eller topformer: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3, 4,3,3,4} og {4,3,3,4,3}.
Der er to ikke-kompakte regulære fliser i et hyperbolsk rum med dimension 5 eller mere, og der er ingen parakompakte regulære fliser i et hyperbolsk rum med dimension 6 eller mere.

Navn
Schläfli symbol {
p,q,r,s,t} Facettype
{
p,q,r,s} 4-sidet
type
{p,q,r} celletype {p,q
}
ansigtstype
{
p} cellefigur
{
t} ansigtsfigur {s,t
}
kantfigur {r,s,t
}
Toppunktsfigur {q
,
r,s,t} Dobbelt

5-orthoplex honeycomb {3,3,3,4,3} {3,3,3,4} {3,3,3} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,3,4,3} {3,4,3,3,3}

Fireogtyve -cellede honningkager {3,4,3,3,3} {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {3,3,3} {4,3,3,3} {3,3,3,4,3}

16 cellers honningkage {3,3,4,3,3} {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,4,3,3}
Selv - dual

24 celler rækkefølge 4 celler {3,4,3,3,4} {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {fire} {3,4} {3,3,4} {4,3,3,4 {4,3,3,4,3}

Tesseract honeycombs {4,3,3,4,3} {4,3,3,4 {4,3,3} {4,3} {fire} {3} {4,3} {3,4,3} {3,3,4,3} {3,4,3,3,4}

Da der ikke er nogen regulære stjerneformede n -polytoper for n ≥ 5, der kunne være potentielle celler eller toppunktsfigurer, er der ikke flere hyperbolske stjerneformede honeycombs i H n for n ≥ 5.

Dimension 6 og derover (7-dimensional infinity+)
Fliselægning af hyperbolsk 6-dimensionelt rum og derover
Der er ingen ordentlige kompakte eller parakompakte fliser af et hyperbolsk rum med dimension 6 eller højere. Alle ikke-opregnede heltalværdier giver en ikke-kompakt flisedeling af et hyperbolsk n - dimensionelt rum.

Forbindelser af polyedre

2D-forbindelser

For ethvert naturligt tal n eksisterer der en regulær stjernepolygon med n-vertex med Schläfli-symbolet {n/m} for enhver m < n/2 (strengt taget, {n/m}={n/(n−m)} ), hvor m og n er relativt primtal . Hvis m og n ikke er relativt primtal, vil den resulterende polygon have n / m sider. En ny figur opnås ved at rotere disse n / m -goner med ét toppunkt (til venstre), indtil antallet af rotationer når tallet n / m minus én, og ved at kombinere disse roterede figurer. I det ekstreme tilfælde, når n / m er lig med 2, får vi et tal på n / 2 segmenter. Sådan en figur kaldes en degenereret stjernepolygon .
I andre tilfælde, når n og m har en fælles divisor, får vi en stjernepolygon med en mindre n , og versionerne opnået ved rotation kan kombineres med den. Disse former kaldes stjerneformer , ukorrekte stjernepolygoner eller sammensatte polygoner . Den samme notation { n / m } bruges ofte til dem , selvom nogle forfattere, såsom Grünbaum (1994), foretrækker (med nogle kvalifikationer) formen k { n } som mere korrekt, hvor generelt k = m .
En yderligere komplikation opstår, når vi forbinder to eller flere stjernepolygoner, såsom to pentagrammer, der adskiller sig i rotation med 36° og er indskrevet i en tikant. Det er mere korrekt i dette tilfælde at skrive på formen k { n / m }, i vores tilfælde 2{5/2}, i stedet for at bruge det almindeligt anvendte {10/4}.
Den udvidede Coxeter-notation for at forbinde polygoner er c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}, hvilket afspejler, at d distinkte { p , q ,...} tilsammen dækker hjørnerne { m , n ,...} c gange og ansigterne { s , t ,...} e gange. Hvis der ikke er nogen gyldig { m , n ,...}, fjernes den første del af indtastningen og efterlader [ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}. Det modsatte tilfælde er, hvis der ikke er nogen korrekte { s , t ,...}. Dualen af af c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...} er e { t , s ,...}[ d { q , p ,...}] c { n , m ,...}. Hvis c eller e er lig med 1, kan de udelades. For at forbinde polygoner reduceres denne notation til { nk }[ k { n / m }]{ nk }. For eksempel kan et hexagram skrives som {6}[2{3}]{6}.
Eksempler på n =2..10, nk ≤30

2{2}
3{2}
4{2}
5{2}
6{2}
7{2}
8{2}
9{2}
10{2}
11{2}
12{2}
13{2}
14{2}
15{2}

2{3}
3{3}
4{3}

5{3}
6{3}
7{3}
8{3}
9{3}
10{3}
2{4}
3{4}
4{4}
5{4}
6{4}
7{4}

2{5}
3{5}
4{5}
5{5}
6{5}
2{5/2}
3{5/2}
4{5/2}
5{5/2}
6{5/2}
2{6}
3{6}
4{6}
5{6}

2{7}
3{7}
4{7}
2{7/2}
3{7/2}
4{7/2}
2{7/3}
3{7/3}
4{7/3}
2{8}
3{8}
2{8/3}
3{8/3}

2{9}
3{9}
2{9/2}
3{9/2}
2{9/4}
3{9/4}
2{10}
3{10}
2{10/3}
3{10/3}

2{11}
2{11/2}
2{11/3}
2{11/4}
2{11/5}
2{12}
2{12/5}
2{13}
2{13/2}
2{13/3}
2{13/4}
2{13/5}
2{13/6}

2{14}
2{14/3}
2{14/5}
2{15}
2{15/2}
2{15/4}
2{15/7}

Regulære rumlige polygoner skaber også forbindelser, som kan observeres i kanterne af den prismatiske forbindelse af antiprismer , for eksempel:
Korrekte forbindelser af rumlige polygoner
Forbindende
rum kvadrater Forbindelse
af rumlige sekskanter Forbinder
rumlige dekagoner

To {2}#{ } Tre {2}#{ } To {3}#{ } To {5/3}#{ }

3D-forbindelser

Regulære polytopforbindelser kan defineres som forbindelser, der ligesom almindelige polytoper er vertex-transitive , edge-transitive , og face-transitive . Ved denne definition er der 5 korrekte forbindelser.

Symmetri [ 4,3 ], Åh [5,3] + , I [5,3], Ih

Dualitet selv-dual Dobbelt par

Billede

Kugleformet

Polyeder stjerneformet oktaeder 5 {3,3} 10 {3,3 5 {4,3} 5 {3,4}

coxeter {4,3} [2 {3,3} ] {3,4} {5,3} [5 {3,3} ] {3,5} 2 {5,3} [10 {3,3} ]2 {3,5} 2 {5,3} [5 {4,3} ] [5 {3.4} ]2 {3.5}
Forbindelser på det euklidiske og hyperbolske plan
Der er atten to-parameter familier af regelmæssige forbindelser af euklidiske plan fliser. Fem familier med én parameter og sytten isolerede tilfælde er kendt på det hyperbolske plan, men fuldstændigheden af denne liste er endnu ikke blevet bevist.
Familierne af forbindelser i det euklidiske og hyperbolske plan 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p er heltal) ligner sfæriske stjerne-oktaedere , 2 {3,3}.
Nogle eksempler på euklidiske og hyperbolske regulære forbindelser
Selv-dual Selv-dual Selv-dual

2 {4,4} 2 {6,3} 2 {3,6} 2 {∞,∞}

{{4,4}} eller a{4,4} eller {4,4}[2{4,4}]{4,4}
+ eller [2{6,3}]{3,6} a{6,3} eller {6,3}[2{3,6}]
+eller {{∞,∞}} eller en{∞,∞} eller {4,∞}[2{∞,∞}]{∞,4}
+eller

3 {6,3} 3 {3,6} 3 {∞,∞}

2{3,6}[3{6,3}]{6,3} {3,6}[3{3,6}]2{6,3}
++
++

Forbindelser i 4D-rum
Ortografiske projektioner

75 {4,3,3} 75 {3,3,4}

I det 4-dimensionelle rum er der toogtredive regulære forbindelser af regulære polytoper, som Coxeter anførte i sin bog Regular Polytopes : [22]
Selvdobbelte regulære konjunktioner
Forbindelse Symmetri Vertex placering Cellelayout

120 {3,3,3} [5,3,3], ordre 14400 {5,3,3} {3,3,5}

5 {3,4,3} [5,3,3], ordre 14400 {3,3,5} {5,3,3}
Korrekte forbindelser som to par
Forbindelse 1 Forbindelse 2 Symmetri Toppunkt placering (1) Cellelayout (1) Toppunktplacering (2) Cellelayout (2)

3 {3,3,4} [23] 3 {4,3,3} [3,4,3], ordre 1152 {3,4,3} 2{3,4,3} 2{3,4,3} {3,4,3}

15 {3,3,4} 15 {4,3,3} [5,3,3], ordre 14400 {3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5} {5,3,3}

75 {3,3,4} 75 {4,3,3} [5,3,3], ordre 14400 5{3,3,5} 10{5,3,3} 10{3,3,5} 5{5,3,3}

75 {3,3,4} 75 {4,3,3} [5,3,3], ordre 14400 {5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} {3,3,5}

300 {3,3,4} 300 {4,3,3} [5,3,3] + , ordre 7200 4{5,3,3} 8{3,3,5} 8{5,3,3} 4{3,3,5}

600 {3,3,4} 600 {4,3,3} [5,3,3], ordre 14400 8{5,3,3} 16{3,3,5} 16{5,3,3} 8{3,3,5}

25 {3,4,3} 25 {3,4,3} [5,3,3], ordre 14400 {5,3,3} 5{5,3,3} 5{3,3,5} {3,3,5}

Der er to forskellige forbindelser af 75 tesseracts: den ene bruger de samme hjørner som 120-cellen, og den anden bruger de samme spidser som 600-cellen. Derfor følger det, at de tilsvarende dobbelte forbindelser af 75 seksten celler også er forskellige.
Self-Dual Star Compounds
Forbindelse Symmetri Vertex placering Cellelayout

5 {5.5/2.5} [5,3,3] + , ordre 7200 {5,3,3} {3,3,5}

10 {5.5/2.5} [5,3,3], ordre 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5}

5 {5/2,5,5/2} [5,3,3] + , ordre 7200 {5,3,3} {3,3,5}

10 {5/2,5,5/2} [5,3,3], ordre 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5}
Almindelige stjerneforbindelser som dobbeltpar
Forbindelse 1 Forbindelse 2 Symmetri Toppunkt placering (1) Cellelayout (1) Toppunktplacering (2) Cellelayout (2)

5 {3,5,5/2 5 {5/2,5,3 [5,3,3] + , ordre 7200 {5,3,3} {3,3,5} {5,3,3} {3,3,5}

10 {3,5,5/2} 10 {5/2,5,3 [5,3,3], ordre 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5}

5 {5.5/2.3} 5 {3.5/2.5} [5,3,3] + , ordre 7200 {5,3,3} {3,3,5} {5,3,3} {3,3,5}

10 _ 10 {3.5/2.5} [5,3,3], ordre 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5}

5 {5/2,3,5 5 {5,3,5/2} [5,3,3] + , ordre 7200 {5,3,3} {3,3,5} {5,3,3} {3,3,5}

10 {5/2,3,5 10 {5,3,5/2} [5,3,3], ordre 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5}

Der er også fjorten delvist regelmæssige joinforbindelser, der enten er vertex-transitive eller celle-transitive, men ikke begge. De syv vertex-transitive delvist regulære sammenføjninger er dobbelte til de syv celletransitive delvist regulære sammenføjninger.
Delvis korrekte forbindelser som dobbeltpar
Forbindelse 1
er vertex transitiv Forbindelse 2
celle transitiv Symmetri

2 hex-celler [24] 2 tesseracts [4,3,3], rækkefølge 384

100 fireogtyve celler 100 fireogtyve celler [5,3,3] + , ordre 7200

200 fireogtyve celler 200 fireogtyve celler [5,3,3], ordre 14400

5 seks hundrede celler 5 hundrede og tyve celler [5,3,3] + , ordre 7200

10 seks hundrede celler 10 hundrede og tyve celler [5,3,3], ordre 14400
Delvis regelmæssige stjerneforbindelser som dobbeltpar
Forbindelse1
er vertex transitive Join2
cell transitive Symmetri

5 {3,3,5/2 5 {5/2,3,3 [5,3,3] + , ordre 7200

10 {3,3,5/2 10 {5/2,3,3 [5,3,3], ordre 14400
Forbindelser i euklidisk 3-rum
De eneste regelmæssige euklidiske bikageforbindelser er den uendelige familie af kubiske bikageforbindelser , der deler hjørner og flader med andre kubiske bikageforbindelser. Denne forbindelse kan have et hvilket som helst antal kubiske celler. Coxeter-notationen er {4,3,4}[ d {4,3,4}]{4,3,4}.

Forbindelser i femdimensionelle og højere rum

Der er ingen korrekte forbindelser i femdimensionelle og seksdimensionelle rum. Tre syvdimensionelle forbindelser (16, 240 og 480 7-simplices ) og seks otte-dimensionelle (16, 240 og 480 okterakter eller 8-orthoplexer ) er kendt. Der er også én forbindelse af n - dimensionelle simplicer i n -dimensionelle rum, forudsat at n er én mindre end en potens af to, samt to forbindelser (en forbindelse af n -dimensionelle terninger og dens dobbelte forbindelse af n - dimensionelle ortoplekser ) i et n -dimensionelt rum, hvis n er en potens af to.
Coxeter-notationen for disse forbindelser (hvor α n = {3 n −1 }, β n = {3 n −2 .4 }, γ n = {4.3 n −2 }:

7-simplicerede: c γ 7 [16 c α 7 ] c β 7 , hvor c = 1, 15 eller 30

8-orthoplexes: c γ 8 [16 c β 8 ]

8-terninger: [16 c γ 8 ] c β 8

Generelt tilfælde (når n = 2 k og d = 2 2 k − k − 1 , k = 2, 3, 4, ...):

Simplexer: γ n −1 [ d α n −1 ]β n −1

Ortoplekser: γ n [ d β n ]

Hyperkuber: [ d γ n ]β n
Euklidisk honeycomb-forbindelse
En uendelig familie af regelmæssige euklidiske bikageforbindelser i dimensioner fem og derover er kendt - en forbindelse af hyperkubiske bikage , der deler hjørner og ansigter med andre hyperbolske bikage. Denne forbindelse kan have et vilkårligt antal hyperbolske celler. Coxeter-notationen for disse forbindelser er δ n [ d δ n ] δ n hvor δ n = {∞} for n = 2 og {4,3 n −3 ,4} for n ≥ 3.

Abstrakt polyedre

Konceptet om et abstrakt polyeder opstod, da man forsøgte at studere polyeder uden at forbinde dem med det geometriske rum, hvori de er placeret. De omfatter fliser af sfæriske, euklidiske og hyperbolske rum, fliser af andre manifolder og mange andre objekter, der ikke har en veldefineret topologi, men i stedet er karakteriseret ved deres "lokale" topologi. Der er uendeligt mange abstrakte polyedre i enhver dimension. Se atlas for eksempler. Nogle bemærkelsesværdige eksempler på abstrakte regulære polyedre, der er svære at finde andre steder, er de elleve - celle , {3,5,3} og de 57-celle , { 5,3,5 }, som har regulære projektive polytoper som celler og toppunktsfigurer.
Elementerne i et abstrakt polyeder er dets krop (maksimal element), flader, kanter, hjørner og nul polyeder (tomt sæt). Disse abstrakte elementer kan vises i almindeligt rum eller tages som geometriske former. Nogle abstrakte polyedre har velformede eller plausible implementeringer, andre har ikke. Et flag er et sæt af relaterede elementer af hver dimension. For et firedimensionelt polyeder er dette et legeme, en flade, en kant af denne flade, et toppunkt på kanten og et nul polyeder. Et abstrakt polyeder siges at være regulært , hvis dets kombinatoriske symmetrier er transitive på dets flag, det vil sige, at et hvilket som helst af dets flag kan oversættes af polyederens symmetri til et hvilket som helst andet. Abstrakte regulære polyedre er et aktivt forskningsområde.
Fem sådanne regulære abstrakte polyedre, som ikke sandsynligt kan realiseres, blev givet af Coxeter i hans bog Regular Polytopes (1977) og senere i JM Wills' artikel "The combinatorially regular polyhedra of index 2" (1987) [25] . De svarer topologisk til en toroid . Deres konstruktion ved at placere n flader nær hvert toppunkt kan fortsættes i det uendelige, hvilket giver en flisedeling af det hyperbolske plan.

Polyeder
Mellem rhombotriacontahedron
Dodekodedekaeder
Mellem triambikycosahedron
Bitrigonal dodecahedron
Notched dodecahedron

Vertex figur {5}, {5/2}
(5,5/2) 2
{5}, {5/2}
(5,5/3) 3

Facetter 30 diamanter
12 femkanter
12 femkanter
20 sekskanter
12 femkanter
12 femkanter
20 hexagrammer

Mosaik
{4, 5
{5, 4
{6, 5
{5, 6
{6, 6}{6, 6

χ −6 −6 −16 −16 −20

De vises som dobbeltpar:

Det midterste rombiske triacontahedron og dodecodecahedron er dobbelte i forhold til hinanden.

Det midterste triambikycosahedron og det bitrigonale dodecahedron er dobbelte i forhold til hinanden.

Det notched dodecahedron er selv-dual.

Se også

Polygon
regulær polygon

stjerne polygon

Polyeder
Regelmæssig polyeder (5 almindelige platoniske faste stoffer og 4 Kepler-Poinsot faste stoffer )
Ensartet polyeder

4D polyeder
Almindelig 4-polytoper (16 almindelige 4-polytoper, 4 konvekse og 10 stjerner (Schläfli-Hess))

Ensartet firedimensionelt polyeder

Parket (geometri)
Tessellation af det euklidiske plan med regulære polygoner

Konvekse ensartede honningkager

Almindelige flerdimensionelle polyedre
Ensartet firedimensionelt polyeder

Korrekt kort

Noter

↑ Coxeter, 1973 , s. 129.

↑ McMullen, Schulte, 2002 , s. tredive.

↑ Johnson, 2012 , s. 86.

↑ Coxeter, 1973 , s. 120.

↑ Coxeter, 1973 , s. 124.

↑ I engelsk litteratur - skæv polygon, bogstaveligt talt - en skrå polygon . I russisk litteratur har begrebet rumlig polygon slået rod , og begrebet skævt polyhedron svarer til begrebet skævt polyeder ( skævt polyeder ). Denne artikel bruger udtrykket skæv polyeder for dimensioner 4 og derover.

↑ Coxeter, 1973 , s. 66-67.

↑ Kilde . Dato for adgang: 10. januar 2016. Arkiveret fra originalen 29. november 2014. (ubestemt)

↑ På engelsk bruges følgende navne for polyeder: polyhedra - et tredimensionelt polyhedron, polychoron - et firedimensionelt polyhedron, polytop - et polyeder med dimension 5 og højere. På russisk bruges som regel udtrykket polyhedron , nogle gange polytop , for alle disse arter .

↑ Coxeter (1973 ), Tabel I: Regulære polytoper, (iii) Tre regulære polytoper for dimensioner n (n>=5), s. 294-295.

↑ Abstrakte regulære polytoper, s. 162-165 [1] Arkiveret 15. september 2019 på Wayback Machine

↑ Grünbaum, B.; "Regular Polyhedra - Old and New", Aeqationes mathematicae , Vol. 16 (1977), s. 1-20.

↑ Coxeter, 1937 , s. 33-62.

↑ Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II 2.34

↑ The Symmetry of Things, 2008, kapitel 23 Objekter med primær symmetri , Infinite Platonic Polyhedra , s. 333-335

↑ McMullen, Schulte, 2002 , s. 224.

↑ McMullen, Schulte, 2002 , s. Afsnit 7E.

↑ Garner, CWL Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canada. J Math. 19, 1179–1186, 1967. [2] Arkiveret 2. april 2015 på Wayback Machine Bemærk: Artiklen siger, at der er 32, men en er selv-dual, så det efterlader 31.

↑ 1 2 3 Coxeter, 1973 , s. 296, tabel II: Almindelige honningkager.

↑ 1 2 3 4 Coxeter, 1999 , s. Kapitel 10

↑ Coxeter, 1956 , s. 213, tabel IV.

↑ Coxeter, 1973 , s. 305 Tabel VII.

↑ Richard Klitzing, Uniform compound, stjerneformet icositetrachoron Arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine

↑ Richard Klitzing, Uniform compound, demidistesseract Arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine

↑ The Regular Polyhedra (af indeks to) Arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine , David A. Richter

Litteratur

HSM Coxeter . Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954, Amsterdam, vol. III. - Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1956. - S. 155–169. . Genoptrykt i HSM Coxeter . Kapitel 10, s. 199–214 // Geometriens skønhed: Tolv essays . - Mineola, NY: Dover Publications, Inc., 1999. - ISBN 0-486-40919-8 . . Se især tabellerne II,III,IV,V, s. 212–213i Geometriens skønhed.

HSM Coxeter . Almindelige polytoper. — 3. — Dover Publications, Inc., 1973.. Se især tabel I og II: Regulære polytoper og honeycombs, s. 294–296.

Norman W. Johnson. International konference om matematik for afstande og applikationer. — 2.-5. juli 2012, Varna, Bulgarien, 2012. — S. 85-95.

HSM Coxeter. Almindelig skæv polyeder i tre og fire dimensioner // Proc. London matematik. Soc.. - 1937. - Udgave. 43 . — s. 33–62 .

Peter McMullen, Egon Schulte. Abstrakte regulære polytoper. - Cambridge University Press, 2002. - V. 92. - (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). - ISBN 0-521-81496-0 . - doi : 10.1017/CBO9780511546686 .

DMY Sommerville. En introduktion til n dimensioners geometri. — New York: Dover Publications, Inc., 1958. . Genudgivelse 1930, EP Dutton. Se kapitel X: De almindelige polytoper.

Visualisering af hyperbolske honeycombs Roice Nelson, Henry Segerman, (2015) [4]

Links

Platoniske faste stoffer

Kepler-Poinsot kroppe

Almindelige 4d polytopfoldninger

Multidimensionel ordliste (se Hexacosichoron og Hecatonicosachoron )

Polytop Viewer

Polytoper og optimal pakning af p-punkter i n-dimensionelle kugler

Atlas af små regulære polyedre

Regelmæssige polyedre gennem tiden I. Hubard, polytoper , kort og deres symmetrier

Polyeder
Korrekt
Tredimensionelle
(platoniske faste stoffer)
almindelig tetraeder

terning

Oktaeder

Dodekaeder

icosahedron

4D
Fem-celler

tesseract

Hexadecimal celle

fireogtyve celler

120 celler

Seks hundrede celler

Større dimension
(angivet i parentes)
Almindelig simplex

Hypercube ( Penteract (5)

Hexeract (6)

Hepteract (7)

Octeract (8)

Enneract (9)

Deceract (10) )

Hyperoktaeder

Regelmæssig
ikke-konveks
stjernedodekaeder

Stjerneformet icosidodecahedron

stjerneformet icosahedron

stjerne polyeder

stjerneformet oktaeder

Tredimensionel ved antallet af
ansigter (angivet i parentes)
Monohedron (1)

Dihedron (2)

Trihedron (3)

Tetraeder (4)

Pentahedron (5)

Hexahedron (6)

Heptahedron (7)

Oktaeder (8)

Enneahedron (9)

Dekaeder (10)

Endecahedron (11)

Dodekaeder (12)

Tridecahedron (13)

Tetradecahedron (14)

Pentadekaeder (15)

Hexadekaeder (16)

Heptadekaeder (17)

Octadecahedron (18)

Enneadekaeder (19)

Icosahedron (20)

Icosotetrahedron (24)

Triacontahedron (30)

Hexacontahedron (60)

Enneacontahedron (90)

Hectotriadiohedron (132)

Apeirohedron (∞)

konveks
Arkimediske faste stoffer
Cuboctahedron

icosidodecahedron

afkortet tetraeder

afkortet oktaeder

Afkortet icosahedron

afkortet terning

afkortet dodekaeder

Rhombicuboctahedron

Rhombicosidodecahedron

Stumpet cuboctahedron

Rhombotrunkeret icosidodecahedron

snub terning

snub dodekaeder

catalanske kroppe
rombisk dodekaeder

Rhombotriacontahedron

Triakistetraeder

Tetrakisheksahedron

Pentakisdodecahedron

Triakisoctahedron

Triakisicosahedron

Deltoidal icositetrahedron

Deltoidal hexecontahedron

Hexakisoctahedron

hexakisicosahedron

Femkantet icositetrahedron

Femkantet hexecontahedron

Prismer

trekantet prisme

firkantet prisme

Femkantet prisme

Sekskantet prisme

Heptagonal prisme

Ottekantet prisme

Ni-vinklet prisme

Tikantet prisme

Ellevvinklet prisme

Todekagonalt prisme

Johnson polyeder

firkantet pyramide

Femkantet pyramide

Tri-slope kuppel

Fire-pitched kuppel

fem skråninger kuppel

fem skråninger rotunde

Aflang trekantet pyramide

Aflang firkantet pyramide

Aflang femkantet pyramide

Snoet aflang firkantet pyramide

Snoet aflang femkantet pyramide

trekantet bipyramide

Femkantet bipyramide

Aflang trekantet bipyramide

Aflang firkantet bipyramide

Aflang femkantet bipyramide

Snoet aflang firkantet bipyramide

Aflang trekantet kuppel

Aflang høvlet kuppel

Aflang femsidet kuppel

Aflang rotunde med fem skråninger

Snoet aflang trekantet kuppel

Snoet aflang, firkantet kuppel

Snoet aflang kuppel med fem stigninger

Snoet aflang fem-skrånings rotunde

Gyrobifastigium

Tre-skrån lige bi-dome

Fire-skråninger lige bi-dome

Fire-skråning drejet bi-dome

Fem skråninger lige bi-dome

Fem skrånende bi-dome

Fem-skråninger lige kuppel

Fem-skråninger drejet kuppel-orotonda

Fem skråninger lige birotunda

Aflang tri-slope lige bi-dome

Aflang tri-slope roteret bi-dome

Aflang firkantet gyrobicupole

Aflang fem-skråning lige bi-dome

Aflang fem-skråning drejet bi-dome

Aflang fem-skrån lige kuppel

Aflang fem-skråning drejet kuppel

Aflang fem-skråning lige birotunda

Aflang fem-skråning drejet birotunda

Snoet aflang tri-slope bi-dome

Snoet aflang fire-pitched bi-dome

Snoet aflang fem-skråning bi-kuppel

Snoet aflang fem-skråning kuppel

Snoet aflang fem-skråning birotunda

Forlænget trekantet prisme

Dobbelt forlænget trekantet prisme

Tredobbelt forlænget trekantet prisme

Forlænget femkantet prisme

Dobbelt forlænget femkantet prisme

Forlænget sekskantet prisme

Dobbelt-modsat forlænget sekskantet prisme

Dobbelt skråt forlænget sekskantet prisme

Tredobbelt forlænget sekskantet prisme

forstærket dodekaeder

Dodecahedron dobbelt forlænget

Dodecahedron dobbelt forlænget

Triple Augmented Dodecahedron

Dobbelt skråt skåret icosaeder

Triple cut icosahedron

Forstærket triple cut icosahedron

Forstærket trunkeret tetraeder

Augmented Truncated Cube

Dobbelt forstærket trunkeret terning

Forstærket afkortet dodekaeder

Dodekaeder afkortet dodekaeder dobbelt forlænget

Dodekaeder dodekaeder

Triple-Augmented Truncated Dodecahedron

Snoet rhombicosidodecahedron

Dobbelt snoet rhombicosidodecahedron

Dobbelt snoet rhombicosidodecahedron

Tri-snoet rhombicosidodecahedron

Skær rhombicosidodecahedron af

Modsat snoet afkortet rhombicosidodecahedron

Skrå snoet afkortet rhombicosidodecahedron

Dobbelt snoet afkortet rhombicosidodecahedron

Dobbelt-modsat skåret rhombicosidodecahedron

Den to gange skråtskårne rhombicosidodecahedron

Snoet dobbeltskåret rhombicosidodecahedron

Tredelt rhombicosidodecahedron

pladeepitel biclinoid

Snub firkantet antiprisme

kilekrone

Forlænget kilekrone

Stor kilekrone

Affladet stor kilekrone

Biclinic med bælte

Dobbelt Serporotonda

Affladet trekantet clinorohonde

Pyramide

Bipyramide

antiprisme

Zonohedron

Parallelepiped

Rhombohedron

prismatoid

Tetraeder

Afkortet pyramide

Pentagondodecahedron

parallelohedron

Kuppel

Rotunde

Birotonda

Deltahedron

Trapecerombisk dodekaeder

Bilinsky dodekahedron

Cyklisk polyeder

Formler ,
teoremer ,
teorier
Alexandrovs sweep-sætning

Bleeckers sætning

Cauchys polytopsætning

Lindelöf polytopsætning

Minkowskis polyedre-sætning

Sabitovs teorem

Eulers sætning for polyeder

Schläfli formel

Andet
Schläfli symbol

Conway notation

Silashi polyeder

Chasar polyeder

Schoenhardt polyeder

Fleksibel polyhedron ( Steffen polyhedron )

Hanner polyeder

Holyhedron

Permutationspolyeder

Ortocentrisk tetraeder

Isohedral tetraeder

cuboid

Polyeder gruppe

Dodekaeder

Solid vinkel

enhed terning

Scan

Parket

Scutoid

Grundlæggende konvekse regelmæssige og ensartede honningkager i rum med dimensionerne 2-10

Familie ${\tilde{A}}_{n-1}$ ${\tilde{C}}_{n-1}$ ${\tilde{B}}_{n-1}$ ${\tilde{D}}_{n-1}$ ${\tilde{G}}_2$ / / ${\tilde{F}}_4$ ${\tilde {E}}_{n-1}$

Homogen mosaik {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Sekskantet

Homogene konvekse honningkager {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4

ensartet femdimensionel honningkage {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Honeycomb med 24 celler

ensartet seksdimensionel honningkage {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6

ensartet syvdimensionel honeycomb {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _

ensartet ottedimensionel honningkage {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31

ensartet ni-dimensionel honeycomb {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21

Ensartede n -dimensionelle honningkager {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21

geometriske mosaikker
Periodisk
Pythagoras

Rhombic

Schwartz trekant

Rektangulær
Dominobrikker

Femkantet

Homogen mosaik

Honeycombs
Farvelægning

Konveks

Delt mosaik

Flad krystallografisk gruppe

Wythoff konstruktion

aperiodisk
Ammann-Binker

Aperiodisk sæt mosaikfliser
Liste

En fliseudfordring
Sokolara - Taylor

Gilbert

Penrose

pinwheel

Kuppelformet

Opdelings- og selvklæbende sæt
Sphinx

Truche

Andet
Non- isohedral og isohedral

Arkitektonisk og reflekterende

Circle Limit III

Computer grafik

honningkager

Kant transitiv

Pakke

Opgaver
Van

heesh

kvadrating

Mosaikfliser
Conways kriterium

Girih

Regelmæssig opdeling af flyet

Almindelig gitter

Udskiftninger

Voronoi diagram

Foderberg

Ved toppunktskonfiguration
_
Kugleformet
2n _

3 3 n

V3 3.n _

42.n _ _

V4 2.n _

Korrekt
2∞ _

3 6

4 4

6 3

semi
-korrekt
3 2 .4.3.4

V3 2.4.3.4 _

3 3 .4 2

3 3 .∞

3 4 .6

V3 4.6 _

3.4.6.4

(3.6) 2

3.12 2

4 2 .∞

4.6.12

4,8 2

Hyperbolsk
_
3 2 .4.3.5

3 2 .4.3.6

3 2 .4.3.7

3 2 .4.3.8

3 2 .4.3.∞

3 2 .5.3.5

3 2 .5.3.6

3 2 .6.3.6

3 2 .6.3.8

3 2 .7.3.7

3 2 .8.3.8

3 3 .4.3.4

3 2 .∞.3.∞

3 4 .7

3 4 .8

3 4 .∞

3 5 .4

3 7

3 8

3∞ _

(3.4) 3

(3.4) 4

3.4.6 2.4 _

3.4.7.4

3.4.8.4

3.4.∞.4

3.6.4.6

(3.7) 2

(3.8) 2

3.14 2

3,16 2

(3.∞) 2

3.∞ 2

4 2 .5.4

4 2 .6.4

4 2 .7.4

4 2 .8.4

4 2 .∞.4

4 5

4 6

4 7

4 8

4∞ _

(4.5) 2

(4.6) 2

4.6.12

4.6.14

V4.6.14

4.6.16

V4.6.16

4.6.∞

(4.7) 2

(4.8) 2

4.8.10

V4.8.10

4.8.12

4.8.14

4.8.16

4.8.∞

4.10 2

4.10.12

4.12 2

4.12.16

4,14 2

4,16 2

4.∞ 2

(4.∞) 2

5 4

5 5

5 6

5∞ _

5.4.6.4

(5.6) 2

5,8 2

5.10 2

5.12 2

(5.∞) 2

6 4

6 5

6 6

6 8

6.4.8.4

(6.8) 2

6,8 2

6.10 2

6.12 2

6,16 2

7 3

74 _

7 7

7,6 2

7,8 2

7.14 2

8 3

8 4

8 6

8 8

8 12

8,6 2

8.16 2

∞ 3

∞ 4

∞ 5

∞∞ _

∞.6 2

∞.8 2

Schläfli {p,q,r}	Celletype { p,q}	Ansigtstype { p}	Kantfigur { r}	Toppunktsfigur {q,r }
{2,4,4	{2,4}	{2}	{fire}	{4,4}
{2,3,6	{2,3}	{2}	{6}	{3,6}
{2,6,3}	{2,6}	{2}	{3}	{6,3}
{4,4,2}	{4,4}	{fire}	{2}	{4,2}
{3,6,2}	{3,6}	{3}	{2}	{6,2}
{6,3,2}	{6,3}	{6}	{2}	{3,2}

Navn	Schläfli symbol { p,q,r}	Celletype { p,q}	Ansigtstype { p}	Kantfigur { r}	Toppunktsfigur {q,r }	Dobbelt
Icosahedral honeycombs	{3,5,3}	{3,5}	{3}	{3}	{5,3}	Selv-dual
Cubic honeycombs ordre 5	{4,3,5}	{4,3}	{fire}	{5}	{3,5}	{5,3,4}
Bestil 4 dodekaedriske honeycomb	{5,3,4}	{5,3}	{5}	{fire}	{3,4}	{4,3,5}
Dodecahedral honeycomb Order 5	{5,3,5}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	Selv-dual

Navn	Schläfli symbol { p,q,r}	Celletype { p,q}	Tpi- kant {p}	Kantfigur { r}	Toppunktsfigur {q,r }	Dobbelt
Tetraedriske honningkager af orden 6	{3,3,6}	{3,3}	{3}	{6}	{3,6}	{6,3,3}
Sekskantede mosaik honeycombs	{6,3,3}	{6,3}	{6}	{3}	{3,3}	{3,3,6}
Bestil 4 oktaedriske honeycomb	{3,4,4}	{3,4}	{3}	{fire}	{4,4}	{4,4,3}
Firkantede mosaik honeycombs	{4,4,3}	{4,4}	{fire}	{3}	{4,3}	{3,3,4}
Trekantede mosaik honeycombs	{3,6,3}	{3,6}	{3}	{3}	{6,3}	Selv-dual
Cubic honeycombs ordre 6	{4,3,6}	{4,3}	{fire}	{fire}	{3,4}	{6,3,4}
Bestil 4 Hexagonal Mosaic Honeycombs	{6,3,4}	{6,3}	{6}	{fire}	{3,4}	{4,3,6}
Firkantede mosaik honeycombs ordre 4	{4,4,4}	{4,4}	{fire}	{fire}	{4,4}	{4,4,4}
Dodecahedral honeycomb Order 6	{5,3,6}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{6,3,5}
Hexagonal mosaik honeycomb order 5	{6,3,5}	{6,3}	{6}	{5}	{3,5}	{5,3,6}
Hexagonal mosaik honeycombs ordre 6	{6,3,6}	{6,3}	{6}	{6}	{3,6}	Selv-dual

Navn	Schläfli symbol { p,q,r,s}	Facettype { p,q,r}	Celletype { p,q}	Ansigtstype { p}	ansigtsform { s}	Kantfigur {r,s }	Topfigur { q,r,s}	Dobbelt
Tesseract honeycombs	{4,3,3,4}	{4,3,3}	{4,3}	{fire}	{fire}	{3,4}	{3,3,4}	Selv-dual
16 cellers honningkage	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,3}
Fireogtyve -cellet honningkage	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,3,4,3}

Navn	Schläfli symbol { p,q,r,s}	Facettype { p,q,r}	Celletype { p,q}	Ansigtstype { p}	ansigtsform { s}	Kantfigur {r,s }	Topfigur { q,r,s}	Dobbelt
Fem-cellet honeycomb orden 5	{3,3,3,5}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
120 celle honningkager	{5,3,3,3}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
Tesseract honeycombs ordre 5	{4,3,3,5}	{4,3,3}	{4,3}	{fire}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,4}
120 celler rækkefølge 4 celler	{5,3,3,4}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{fire}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,5}
120 celler orden 5 honeycombs	{5,3,3,5}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	Selv-dual

Navn	Schläfli symbol { p,q,r,s}	Facettype { p,q,r}	Celletype { p,q}	Ansigtstype { p}	ansigtsform { s}	Kantfigur {r,s }	Topfigur { q,r,s}	Dobbelt
24 celler rækkefølge 4 celler	{3,4,3,4}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{fire}	{3,4}	{4,3,4}	{4,3,4,3}
Cubic honeycomb	{4,3,4,3}	{4,3,4}	{4,3}	{fire}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,4,3,4}

Navn	Schläfli symbol { p,q,r,s}	Facettype { p,q,r}	Celletype {p,q }	Ansigtstype { p}	ansigtsform { s}	Kantfigur {r,s }	Topfigur { q,r,s}	Dobbelt	Tæthed _
Honeycomb fra en lille stjerneformet 120-celle	{5/2,5,3,3}	{5/2,5,3	{5/2.5}	{5}	{5}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3,5,5/2}	5
600-cellers pentagram rækkefølge	{3,3,5,5/2}	{3,3,5}	{3,3}	{3}	{5/2}	{5,5/2}	{3,5,5/2}	{5/2,5,3,3}	5
Icosahedral 120-cellet honeycomb orden 5	{3,5,5/2,5}	{3,5,5/2}	{3,5}	{3}	{5}	{5/2.5}	{5,5/2,5}	{5.5/2.5.3}	ti
Honeycombs af en stor 120-celler	{5.5/2.5.3}	{5,5/2,5}	{5,5/2}	{5}	{3}	{5,3}	{5/2,5,3}	{3,5,5/2,5}	ti

Navn	Schläfli { p 1 , p 2 , ..., p n −1 }	Facettype _	Vertex figur	Dobbelt
Firkantet parket	{4,4}	{fire}	{fire}	Selv -dual
kubisk honningkage	{4,3,4}	{4,3}	{3,4}	Selv - dual
Tesseract honeycombs	{4,3 2 ,4}	{4,3 2 }	{3 2 ,4}	Selv - dual
5-kubik honeycomb	{4,3 3 ,4}	{4,3 3 }	{3 3,4 }	Selv - dual
6-kubik honeycomb	{4,3 4 ,4}	{4,3 4 }	{3 4 ,4}	Selv - dual
7-kubik honeycombs	{4,3 5,4 }	{4,3 5 }	{3 5 ,4}	Selv - dual
8-kubik honeycombs	{4,3 6 ,4}	{4,3 6 }	{3 6 ,4}	Selv - dual
n -dimensionelle hyperkubiske honningkager	{4,3 n−2 ,4}	{4,3n −2 }	{ 3n−2 ,4}	Selv - dual

Navn	Schläfli symbol { p,q,r,s,t}	Facettype { p,q,r,s}	4-sidet type {p,q,r}	celletype {p,q }	ansigtstype { p}	cellefigur { t}	ansigtsfigur {s,t }	kantfigur {r,s,t }	Toppunktsfigur {q , r,s,t}	Dobbelt
5-orthoplex honeycomb	{3,3,3,4,3}	{3,3,3,4}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,3}
Fireogtyve -cellede honningkager	{3,4,3,3,3}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{4,3,3,3}	{3,3,3,4,3}
16 cellers honningkage	{3,3,4,3,3}	{3,3,4,3}	{3,3,4}	{3,3}	{3}	{3}	{3,3}	{4,3,3}	{3,4,3,3}	Selv - dual
24 celler rækkefølge 4 celler	{3,4,3,3,4}	{3,4,3,3}	{3,4,3}	{3,4}	{3}	{fire}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,4	{4,3,3,4,3}
Tesseract honeycombs	{4,3,3,4,3}	{4,3,3,4	{4,3,3}	{4,3}	{fire}	{3}	{4,3}	{3,4,3}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3,4}

2{2}	3{2}	4{2}	5{2}	6{2}	7{2}	8{2}	9{2}	10{2}	11{2}	12{2}	13{2}	14{2}	15{2}
2{3}	3{3}	4{3}	5{3}	6{3}	7{3}	8{3}	9{3}	10{3}	2{4}	3{4}	4{4}	5{4}	6{4}	7{4}
2{5}	3{5}	4{5}	5{5}	6{5}	2{5/2}	3{5/2}	4{5/2}	5{5/2}	6{5/2}	2{6}	3{6}	4{6}	5{6}
2{7}	3{7}	4{7}	2{7/2}	3{7/2}	4{7/2}	2{7/3}	3{7/3}	4{7/3}	2{8}	3{8}	2{8/3}	3{8/3}
2{9}	3{9}	2{9/2}	3{9/2}	2{9/4}	3{9/4}	2{10}	3{10}	2{10/3}	3{10/3}
2{11}	2{11/2}	2{11/3}	2{11/4}	2{11/5}	2{12}	2{12/5}	2{13}	2{13/2}	2{13/3}	2{13/4}	2{13/5}	2{13/6}
2{14}	2{14/3}	2{14/5}	2{15}	2{15/2}	2{15/4}	2{15/7}

Forbindende rum kvadrater		Forbindelse af rumlige sekskanter	Forbinder rumlige dekagoner
To {2}#{ }	Tre {2}#{ }	To {3}#{ }	To {5/3}#{ }

Dualitet	selv-dual			Dobbelt par
Symmetri	[ 4,3 ], Åh	[5,3] + , I	[5,3], Ih
Billede
Kugleformet
Polyeder	stjerneformet oktaeder	5 {3,3}	10 {3,3	5 {4,3}	5 {3,4}
coxeter	{4,3} [2 {3,3} ] {3,4}	{5,3} [5 {3,3} ] {3,5}	2 {5,3} [10 {3,3} ]2 {3,5}	2 {5,3} [5 {4,3} ]	[5 {3.4} ]2 {3.5}

Selv-dual	Selv-dual		Selv-dual
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2 {∞,∞}

{{4,4}} eller a{4,4} eller {4,4}[2{4,4}]{4,4} + eller	[2{6,3}]{3,6}	a{6,3} eller {6,3}[2{3,6}] +eller	{{∞,∞}} eller en{∞,∞} eller {4,∞}[2{∞,∞}]{∞,4} +eller
	3 {6,3}	3 {3,6}	3 {∞,∞}

	2{3,6}[3{6,3}]{6,3}	{3,6}[3{3,6}]2{6,3} ++	++

Forbindelse	Symmetri	Vertex placering	Cellelayout
120 {3,3,3}	[5,3,3], ordre 14400	{5,3,3}	{3,3,5}
5 {3,4,3}	[5,3,3], ordre 14400	{3,3,5}	{5,3,3}

Forbindelse 1	Forbindelse 2	Symmetri	Toppunkt placering (1)	Cellelayout (1)	Toppunktplacering (2)	Cellelayout (2)
3 {3,3,4} [23]	3 {4,3,3}	[3,4,3], ordre 1152	{3,4,3}	2{3,4,3}	2{3,4,3}	{3,4,3}
15 {3,3,4}	15 {4,3,3}	[5,3,3], ordre 14400	{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}	{5,3,3}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	[5,3,3], ordre 14400	5{3,3,5}	10{5,3,3}	10{3,3,5}	5{5,3,3}
75 {3,3,4}	75 {4,3,3}	[5,3,3], ordre 14400	{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	{3,3,5}
300 {3,3,4}	300 {4,3,3}	[5,3,3] + , ordre 7200	4{5,3,3}	8{3,3,5}	8{5,3,3}	4{3,3,5}
600 {3,3,4}	600 {4,3,3}	[5,3,3], ordre 14400	8{5,3,3}	16{3,3,5}	16{5,3,3}	8{3,3,5}
25 {3,4,3}	25 {3,4,3}	[5,3,3], ordre 14400	{5,3,3}	5{5,3,3}	5{3,3,5}	{3,3,5}

Forbindelse	Symmetri	Vertex placering	Cellelayout
5 {5.5/2.5}	[5,3,3] + , ordre 7200	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5.5/2.5}	[5,3,3], ordre 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}
5 {5/2,5,5/2}	[5,3,3] + , ordre 7200	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5/2,5,5/2}	[5,3,3], ordre 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}

Forbindelse 1	Forbindelse 2	Symmetri	Toppunkt placering (1)	Cellelayout (1)	Toppunktplacering (2)	Cellelayout (2)
5 {3,5,5/2	5 {5/2,5,3	[5,3,3] + , ordre 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {3,5,5/2}	10 {5/2,5,3	[5,3,3], ordre 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}
5 {5.5/2.3}	5 {3.5/2.5}	[5,3,3] + , ordre 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 _	10 {3.5/2.5}	[5,3,3], ordre 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}
5 {5/2,3,5	5 {5,3,5/2}	[5,3,3] + , ordre 7200	{5,3,3}	{3,3,5}	{5,3,3}	{3,3,5}
10 {5/2,3,5	10 {5,3,5/2}	[5,3,3], ordre 14400	2{5,3,3}	2{3,3,5}	2{5,3,3}	2{3,3,5}

Forbindelse 1 er vertex transitiv	Forbindelse 2 celle transitiv	Symmetri
2 hex-celler [24]	2 tesseracts	[4,3,3], rækkefølge 384
100 fireogtyve celler	100 fireogtyve celler	[5,3,3] + , ordre 7200
200 fireogtyve celler	200 fireogtyve celler	[5,3,3], ordre 14400
5 seks hundrede celler	5 hundrede og tyve celler	[5,3,3] + , ordre 7200
10 seks hundrede celler	10 hundrede og tyve celler	[5,3,3], ordre 14400

Forbindelse1 er vertex transitive	Join2 cell transitive	Symmetri
5 {3,3,5/2	5 {5/2,3,3	[5,3,3] + , ordre 7200
10 {3,3,5/2	10 {5/2,3,3	[5,3,3], ordre 14400

Polyeder	Mellem rhombotriacontahedron	Dodekodedekaeder	Mellem triambikycosahedron	Bitrigonal dodecahedron	Notched dodecahedron
Vertex figur	{5}, {5/2}	(5,5/2) 2	{5}, {5/2}	(5,5/3) 3
Facetter	30 diamanter	12 femkanter 12 femkanter	20 sekskanter	12 femkanter 12 femkanter	20 hexagrammer
Mosaik	{4, 5	{5, 4	{6, 5	{5, 6	{6, 6}{6, 6
χ	−6	−6	−16	−16	−20