En række undergrupper

I matematik er en række af undergrupper en kæde af undergrupper af formen . Serier af undergrupper kan forenkle undersøgelsen af en gruppe ved at reducere den til undersøgelsen af undergrupper af denne gruppe og undersøgelsen af relationerne mellem dem. Rækker af undergrupper kan danne vigtige invarianter af en given gruppe . $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G$ $\displaystyle G$ $\displaystyle G$

Definition

Normal serie, subnormal serie

En subnormal serie (også kaldet subnormal tårn , subinvariant serie , subnormal matryoshka eller blot serie ) af en gruppe er en sekvens af undergrupper $\displaystyle G$

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G,

hver af dem er en normal undergruppe af den større undergruppe umiddelbart efter den , dvs. Hvis derudover hver af undergrupperne er normal i gruppen , så siges serien at være normal . $\displaystyle G_{i}\triangleleft G_{{i+1}}$ $G_{{i}}$ $\displaystyle G$

Faktorgrupper kaldes seriefaktorgrupper . $G_{i+1}/G_{i}$

Rækkelængde

En serie med en ekstra egenskab for alle kaldes en serie uden gentagelser . Længden af serien er antallet af korrekte indeslutninger . Hvis serien ikke har nogen gentagelser, er dens længde . $\displaystyle G_{i}\neq G_{{i+1}}$ $\displaystyle i$ $\displaystyle G_{i}\varsubsetneq G_{{i+1}}$ $\displaystyle n$

For en subnormal serie er dens længde antallet af ikke- trivielle faktorgrupper i serien. Hver ikke-triviel gruppe har en subnormal serie af længde 1, nemlig serien . Hver egentlig normal undergruppe definerer en subnormal serie med længde 2. For simple grupper er en triviel serie med længde 1 den eneste mulige subnormale serie. $\{1\}=G_{0}\varsubsetneq G_{1}=G$

Stigende og faldende rækker

Rang af undergrupper kan skrives i stigende rækkefølge

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G,

eller i faldende rækkefølge

G=G_{0}\supseteq G_{1}\cdots \supseteq G_{n}=\{1\}.

For den endelige serie er der ingen forskel på hvilken form den er skrevet – som en stigende eller som en faldende serie. Men for en uendelig række er der allerede en forskel: den stigende række har det mindste element, elementet umiddelbart efter det, så det næste, og så videre, men må ikke have et maksimum element andet end . En faldende serie har derimod det største element, men har muligvis ikke et mindste element ud over . $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G,$ $\displaystyle G$ $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \cdots \supseteq \{1\}$ $\displaystyle \{1\}$

Noetherske og artinske grupper

En gruppe, der opfylder den stigende kæde-betingelse , kaldes Noetherian . Denne betingelse betyder, at der for en sådan gruppe ikke er nogen uendelig kæde af undergrupper, der stiger i forhold til inklusionsrelationen. Følgelig kaldes en gruppe, der opfylder den faldende kædetermineringsbetingelse, Artinian ; denne terminologi er analog med adskillelsen af artinske og noetherske ringe.

En gruppe kan være Noetherian eller ikke, et eksempel er den additive gruppe af heltal . I modsætning til ringe kan en gruppe være artinian eller ikke, et eksempel er Prufer-gruppen .

Faktorgrupper og undergrupper af Noetherske grupper er Noetherske. Desuden er en udvidelse af en noethersk gruppe med en noethersk gruppe en noethersk gruppe (det vil sige, hvis en given gruppe har en noethersk normal undergruppe, hvis kvotientgruppe er noethersk, så er gruppen selv noethersk). Lignende udsagn gælder for artinske grupper.

Betingelsen for, at en gruppe er noethersk, svarer også til betingelsen om, at enhver undergruppe af en given gruppe er endeligt genereret .

Uendelig og transfinite serier

Uendelige rækker af undergrupper er defineret på en naturlig måde: i dette tilfælde skal man rette et uendeligt lineært ordnet indekssæt . En stigende række , hvor indekssættet er mængden af naturlige tal, kaldes ofte blot en uendelig stigende række . Hvis rækkens undergrupper er nummereret med ordenstal , så fås en transfinit række , [1] for eksempel rækken $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G$

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{\omega }\subseteq G_{{\omega +1}}=G.

Hvis der er givet en rekursiv formel for elementerne i en serie, så kan en transfinit række bestemmes ved hjælp af transfinit rekursion . Desuden, på de begrænsende ordenstal, er elementerne i den stigende transfinite række givet af formlen

G_{\lambda }=\bigcup _{{\alpha <\lambda }}G_{\alpha },

og elementerne i den faldende transfinite række ved formlen

G_{\lambda }=\bigcap _{{\alpha <\lambda }}G_{\alpha }.

Andre lineært ordnede sæt vises sjældent som indekseringssæt i undergruppeserier. For eksempel kan man overveje en tosidet-uendelig række af undergrupper, indekseret med heltal:

\{1\}\subseteq \cdots \subseteq G_{{-1}}\subseteq G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G.

Rækkesammenligninger

Komprimeringen af en serie af undergrupper er en anden serie af undergrupper, der indeholder hvert element i den oprindelige serie. Begrebet komprimering definerer en delrækkefølge på sættet af rækker af undergrupper i en given gruppe, rækkerne af undergrupper danner et gitter i forhold til en sådan ordning, og subnormale og normale serier danner undergitter af dette gitter. Af særlig interesse er i en vis forstand maksimale serier uden gentagelser.

To subnormale serier siges at være ækvivalente eller isomorfe , hvis der er en bijektiv mapping , der forbinder mængderne af deres faktorgrupper, således at de tilsvarende faktorgrupper er isomorfe.

Maksimale rækker

En kompositionsserie er en maksimal subnormal serie.

I klassen af endelige subnormale serier betyder maksimalitet, at hver faktorgruppe er simpel , det vil sige, at en endelig sammensætningsserie er en endelig subnormal serie med simple faktorgrupper .

\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}

\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}

I klassen af stigende transfinite subnormale serier er maksimalitet relateret til begrebet transfinit supersimplicitet [1] (hypersimplicitet).

Gruppen kaldes transfinitely supersimple $\displaystyle G$ hvis den ikke har stigende subnormale serier uden gentagelser (endelig eller transfinite) ud over den trivielle serie . $\{1\}=G_{0}\varsubsetneq G_{1}=G$

En stigende transfinit subnormal serie er en sammensætningsserie, hvis alle dens faktorgrupper er transfinite supersimple. $\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}$

Åbne numre

Enhver transfinitely supersimple gruppe er enkel. Det vil sige, at klassen af transfinitely supersimple grupper udgør en underklasse i klassen af simple grupper. Spørgsmålet om tilfældighed eller ikke-sammenfald af disse klasser forbliver åbent. Det er nødvendigt at konstruere et eksempel på en simpel gruppe, der ikke er transfinitely supersimple, eller at bevise, at sådanne grupper ikke eksisterer.

Referencer

↑ 1 2 Sharipov, RA (2009), Transfinite normal og sammensætning af grupper, arΧiv : 0908.2257 [math.GR].