Fuchsisk entalspunkt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 21. marts 2017; checks kræver 3 redigeringer .

I teorien om differentialligninger med kompleks tid kaldes et punkt et fuchsisk singularpunkt i en lineær differentialligning $t=t_{0}\in \mathbb {C}$

{\dot {z}}=A(t)z,\quad z\in \mathbb {C} ^{n},\quad t\in \mathbb {C} ,

hvis systemmatricen A(t) har en førsteordens pol i sig. Dette er den enklest mulige singularitet af en lineær differentialligning med kompleks tid.

Det siges også, at det er et fuchsisk entalspunkt, hvis punktet viser sig at være fuchsisk efter ændringen , med andre ord, hvis systemets matrix har en tendens til nul ved uendelig. $t=\infty$ $s=0$ $t=1/s$ $På)$

Det enkleste eksempel

En endimensionel differentialligning har et fuchsisk singularpunkt ved nul, og dens løsninger er (generelt flerværdi ) funktioner . Når man går rundt om nul, ganges løsningen med . ${\dot {z}}={\frac {a}{t}}z$ ${\displaystyle z(t)=C\cdot t^{a))$ $\lambda =e^{2\pi ia}$

Vækst af løsninger og monodromi kortlægning

Når man nærmer sig et fuchsisk entalspunkt i en hvilken som helst sektor, vokser løsningens norm ikke hurtigere end polynomielt:

{\displaystyle \|z(t-t_{0})\|\leq C\|t-t_{0}\|^{-N))

for nogle konstanter og . Således er hvert fuchsisk ental punkt regelmæssigt . $C$ $N$

Poincaré-Dulac-Levelle normal form

Hilberts 21. problem

Hilberts enogtyvende problem var, at givet punkter på Riemann-sfæren og en repræsentation af den fundamentale gruppe af deres komplement, konstruere et system af differentialligninger med fuchsiske singulariteter på disse punkter, for hvilke monodromien viser sig at være en given repræsentation. I lang tid troede man, at dette problem blev positivt løst af Plemel (som offentliggjorde løsningen i 1908 ), men en fejl blev opdaget i hans løsning i 1970'erne af Yu. S. Ilyashenko . Faktisk gjorde Plemeljs konstruktion det muligt at konstruere det påkrævede system, når mindst én af monodromimatricerne er diagonaliserbar . [en]

I 1989 udgav A. A. Bolibrukh [2] et eksempel på et sæt af enkeltstående punkter og monodromi-matricer, der ikke kan realiseres af noget fuchsisk system, hvilket løser problemet negativt.

Litteratur

↑ Yu. S. Ilyashenko, " Ikke-lineær Riemann-Hilbert problem ", Differentialligninger med reel og kompleks tid, Samling af artikler, Tr. MIAN, 213, Nauka, M., 1997, s. 10-34.
↑ A. A. Bolibrukh, "Riemann-Hilbert-problemet på den komplekse projektive linje" , Mat. notes, 46:3 (1989), 118-120

A. A. Bolibrukh, Inverse monodromiproblemer i den analytiske teori om differentialligninger, M.: MTsNMO, 2009.
Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, Lectures on Analytic Differential Equations, AMS, 2007.