Parallel overførsel

Parallel translation er en isomorfi af lag over enderne af en stykkevis glat kurve af bunden af et glat bundt , defineret af en given forbindelse på . Især en lineær isomorphism af tangent rum og , defineret langs en kurve af nogle affin forbindelse givet på . $\eta :E\to B$ $E$ $T_{\gamma (0)}(M)$ $T_{\gamma (1)}(M)$ $\gamma \in M$ $M$

Parallel oversættelse langs en affin forbindelse

Lad en affin forbindelse gives på en glat manifold . En vektor siges at blive opnået ved parallel translation fra en vektor langs en glat kurve uden selvskæringer, hvis der eksisterer et glat vektorfelt i nærheden af denne kurve med følgende egenskaber: $M$ $X_{1}\in T_{\gamma (1)}(M)$ $X_{0}\in T_{\gamma (0)}(M)$ $\gamma :[0,1]\to M$ $x$

ligheder og er opfyldt ; ${\displaystyle X(\gamma (0))=X_{0))$ ${\displaystyle X(\gamma (1))=X_{1))$
for en hvilken som helst værdi gælder ligheden , hvor symbolet angiver den kovariante afledte og er hastighedsvektoren . $t\in [0,1]$ $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0$ $\nabla$ ${\dot {\gamma }}(t)$ $\gamma$

Kommentar. Da i lokale koordinater er ligheden sand:

(\nabla _{\dot {\gamma }}X)^{i}={\frac {d}{dt}}X^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\cdot X^{j}{\dot {\gamma }}^{k}

og i dette udtryk er der ingen partielle afledninger af vektorens komponenter , i definitionen af parallel translation er det ikke nødvendigt at kræve, at vektorfeltet defineres i et helt nabolag af stien , det er nok, at det eksisterer og er glat ad denne vej alene. $x$ $x$ $\gamma (t)$

En parallel translation langs en stykkevis glat kurve (herunder kurver med selvskæringer) defineres som en overlejring af parallelle translationer langs dens ikke-selvskærende glatte stykker.

Baseret på begrebet parallel translation af en vektor defineres begreberne parallel translation af en tensor af vilkårlig valens.

Egenskaber for parallel translation af vektorer

Ifølge teorien om almindelige differentialligninger fortsætter løsningen af Cauchy-problemet med en vilkårlig lineær ODE i det uendelige langs enhver glat kurve, derfor overføres denne vektor entydigt ved at specificere en vektor i det indledende punkt og angive en vej med parallel translation. til ethvert punkt på denne vej.
Når vektorer oversættes langs den samme vej, bevares alle lineære relationer mellem dem.
Overførslen af vektorer er reversibel: det er nok at overføre endevektorerne langs returvejen for at få de originale vektorer.
Som en konsekvens af de to foregående egenskaber viser det sig, at operatoren for parallel translation langs en kurve er en lineær isomorfi af rummene og . $\gamma$ $T_{\gamma (0)}(M)$ $T_{\gamma (1)}(M)$
Hvis en affin forbindelse er i overensstemmelse med en metrisk tensor på en Riemannmanifold ( Levi-Civita-forbindelsen ), så er translationsoperatoren ortogonal, det vil sige, at den bevarer punktprodukterne af vektorer, deres længder og vinklerne mellem dem.
En vigtig egenskab ved parallel translation er også uafhængigheden af translationsresultatet fra stiparameteriseringen (ækvivalente stier vil give det samme resultat). Samtidig fører parallel translation langs forskellige kurver normalt til forskellige resultater.

Relaterede definitioner

En geodætisk er en glat bane, hvis tangentvektor i hvert punkt opnås ved parallel translation af tangentvektoren fra et hvilket som helst andet punkt.
Holonomigruppen er gruppen af automorfier af tangentrummet defineret af parallelle translationer langs lukkede stykkevis glatte kurver. Desuden, for en forbundet manifold , og er altid konjugeret. $\Phi _{x}$ $T_{x}M$ $\Phi _{x}$ ${\displaystyle \Phi _{y))$

Historie

Udviklingen af begrebet parallel oversættelse begyndte med den sædvanlige parallelisme på det euklidiske plan, for hvilket Minding i 1837 angav muligheden for at generalisere det til tilfældet med en overflade i ved hjælp af det koncept, han introducerede om at udfolde en kurve på en fly . Denne indikation af Minding tjente som udgangspunkt for Levi-Civita , som ved at formalisere den analytisk parallelle transport af en tangentvektor på en overflade, opdagede dens afhængighed kun af overfladens metriske og på dette grundlag generaliserede den straks til tilfælde af et dimensionelt Riemannsk rum (se Levi-Civita-forbindelsen ). Yderligere generaliseringer af dette begreb er forbundet med udviklingen af den generelle teori om sammenhænge. $\mathbb {R} ^{3}$ $\gamma \in S$ $\mathbb {R} ^{2}$ $n$

Litteratur

Rashevsky PK Riemann geometri og tensoranalyse. - Enhver udgave.
Kobayashi Sh., Nomizu K. Fundamentals of differential geometri. — Novokuznetsk Institut for Fysik og Matematik. - T. 1. - 344 s. - ISBN 5-80323-180-0 .