Vinkelmomentum

vinkelmomentum
${\vec {L}}={\vec {r}}\ gange {\vec {p}}\,$
Dimension	L2MT -1 _ _
Enheder
SI	m 2 kg / s _
GHS	cm 2 g / s _
Noter
pseudovektor

Vinkelmomentum ( momentum i forhold til et punkt , også: kinetisk momentum , vinkelmomentum , orbital momentum , vinkelmomentum ) er en fysisk størrelse, der kendetegner mængden af rotationsbevægelse og afhænger af hvor meget masse der roterer, hvordan den er fordelt i rummet og med hvilken vinkelhastighed rotation sker [1] .

For et materialepunkt er vinkelmomentet lig med vektorproduktet af punktets radiusvektor og dets momentum , for et system af punkter - summen af sådanne produkter. Standardnotation: , SI-enhed : m 2 kg/s. Værdien afhænger af valget af positionen for oprindelsen af radiusvektorerne O. $\mathbf{L}$ $\mathbf{L}$

Vinkelmomentet af et lukket system bevares . Det er et af de tre additive ( energi , momentum , vinkelmomentum) integraler af bevægelse . I nærvær af ydre kræfter er den afledte vinkelmomentum i forhold til tid lig med kræftmomentet (med hensyn til den samme begyndelse O).

Hovedanvendelsen af begrebet vinkelmomentum vedrører problemer, der involverer reel rotation (især ved tilstedeværelse af central eller aksial symmetri; så vælges O normalt i midten eller på aksen). Men værdien kan beregnes i andre situationer, for eksempel for en retlinet bevægelse af en partikel forbi et vilkårligt punkt O, som ikke ligger på bevægelseslinjen og konventionelt tages som centrum. $\mathbf{L}$

Ved rotation af et stift legeme omkring en fast akse er det ofte ikke selve vinkelmomentet, der bruges, men dets projektion på denne akse - sådan en størrelse kaldes vinkelmomentet om aksen . $L_{\parallel }$

Begrebet vinkelmomentum blev oprindeligt introduceret i klassisk mekanik, men har generaliseringer inden for kvantemekanik og elektrodynamik.

Vinkelmomentum i klassisk mekanik

Definition

Vinkelmomentet af et materialepunkt i forhold til et referencepunkt bestemmes af vektorproduktet af dets radiusvektor og momentum : $\mathbf L$

{\mathbf {L}}={\mathbf {r}}\ gange {\mathbf {p}}

hvor er radiusvektoren for partiklen i forhold til det valgte faste referencepunkt, er partiklens momentum. $\mathbf {r}$ ${\mathbf p}$

Fra definitionen af vinkelmomentet følger dets additivitet : for et system bestående af flere materialepunkter,

\mathbf {L} =\sum \limits _{i}\mathbf {L} _{i}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _ {jeg}

Antallet af partikler kan være uendeligt, for eksempel i tilfælde af et fast legeme med en fordelt masse.

Da vinkelmomentet er givet af krydsproduktet , er det en pseudovektor vinkelret på både vektorer og . $\mathbf {r}$ ${\mathbf p}$

Vinkelmomentet kan beregnes med hensyn til enhver oprindelse O (de resulterende forskellige værdier er relateret på en indlysende måde); dog oftest (for nemheds skyld og tydelighedens skyld) beregnes det i forhold til massecentret, et fast rotationspunkt for en stiv krop eller et andet punkt valgt af noget. $\mathbf{L}$

Valget af punkt O er nogle gange relateret til problemets karakter. Så når man overvejer en planets orbitale bevægelse omkring Solen, er det naturligt at tage Solen som oprindelsen, og når man analyserer dens egen rotation, centrum for denne planet. Naturligvis opnås to forskellige vinkelmomenta: og . $\mathbf {L} _{\mathrm {orbit} }$ $\mathbf {L} _{\mathrm {spin} }$

Beregning i det generelle tilfælde

Hvis der er et materialepunkt med en masse, der bevæger sig med en hastighed og er placeret i et punkt beskrevet af radiusvektoren , så beregnes vinkelmomentet også ved formlen $m$ $\mathbf{v}$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v}

For at beregne et legemes vinkelmomentum skal det opdeles i uendeligt små stykker ( - tæthed) og summere deres momenter som momentum af materielle punkter, det vil sige tage integralet : $dm=\rho (\mathbf {r} )dV$ $\rho$

{\displaystyle \mathbf {L} =\int \limits _{V}{\mathbf {dL} }=\int \limits _{V}{\mathbf {r} \times \mathbf {v} \,dm} =\int \limits _{V}{\mathbf {r} \times \mathbf {v} \,\rho dV))

I praksis er det givet som en funktion af tre koordinater, og det er nødvendigt at udføre triple integration: $\rho$

\mathbf {L} =\iiint {(x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} )\ gange \mathbf {v} \,\rho (x,y, z)\,dx\,dy\,dz}

Hvis vi antager, at det er en generaliseret funktion , inklusive muligvis delta-lignende udtryk, så er denne formel anvendelig til både distribuerede og diskrete systemer. $\rho(x,y,z)$

Fast akse tilfælde

En vigtig anvendelse af begrebet "momentum" er bevægelsen omkring en fast akse. I en sådan situation er det ofte ikke selve vinkelmomentet (pseudovektor), men dets projektion på aksen som en pseudoskalær , hvis fortegn afhænger af rotationsretningen:

L_{\parallel }=\pm |\mathbf {r_{\perp }} \times \mathbf {p_{\perp }} |

Parallelisme-vinkelret ( , ) menes med hensyn til aksen; , . I dette tilfælde er afstanden fra aksen til materialepunktet, kaldet "skulderen". Værdien af denne projektion, i modsætning til selve øjeblikket, ændres ikke, når origo O forskydes på aksen. For et distribueret system $\parallel$ $\perp$ $\mathbf {r} =\mathbf {r_{\perp }} +\mathbf {r_{\parallel }}$ $\mathbf {p} =\mathbf {p_{\perp }} +\mathbf {p_{\parallel }}$ ${\displaystyle r_{\perp ))$

L_{\parallel }=\pm \left|\int {\mathbf {r_{\perp }} \times \mathbf {v_{\perp }} \,\rho dV}\right|

Hvis alle kroppens punkter på samme tid bevæger sig i cirkler (roterer) med samme vinkelhastighed , altså numerisk , så vil massen eller for systemet for et materialepunkt være hhv. $\omega$ $v=\omega r_{\perp }$ $m$

L_{\parallel }=\pm \omega mr_{\perp }^{2}\quad

eller .

{\displaystyle \quad L_{\parallel }=\pm \omega \int {r_{\perp }^{2}\,\rho dV))

Størrelsen kaldes undertiden vinkelmomentet om aksen. Parallelsymbolet y og tegnet før udtrykket kan udelades, hvis det er tydeligt, hvad der bliver sagt. $L_{\parallel }$ $L$

For et absolut stift legeme kaldes værdien af det sidste integral inertimomentet om rotationsaksen og er betegnet med . Derefter antager posten formen eller, i vektorform, . Hvis inertimomentet er kendt om en akse, der går gennem legemets massecenter, og rotation sker omkring en anden akse parallelt med det, så findes det nødvendige inertimoment af Steiners sætning . $jeg$ $\,L_{\parallel }=\pm I\omega \,$ $\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}$

Bevarelse af vinkelmomentum

Lov om bevarelse af vinkelmomentum : Det samlede vinkelmomentum omkring ethvert fast punkt for et lukket system forbliver konstant med tiden.

Den afledte af vinkelmomentet i forhold til tid er kraftmomentet :

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\sum _{i}{\frac {d\mathbf {r} _{i}}{dt}}\ gange \mathbf {p } _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\ gange {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=\sum _{i}\ mathbf {r} _{i}\ gange \mathbf {F} _{i}=\mathbf {\tau _{ext))

Kravet om at systemet skal være lukket kan således svækkes til kravet om, at hovedmomentet (totalt over alle partikler ) af eksterne kræfter er lig med nul: $jeg$

\mathbf {L} =\mathrm {konstant} \leftrightarrow \mathbf {\tau _{ext)) =0

hvor er momentet af kræfter påført partikelsystemet. (Men selvfølgelig, hvis der slet ikke er nogen ydre kræfter, er dette krav også opfyldt.) En lignende bevarelseslov gælder for vinkelmomentum omkring en fast akse. $\mathbf {\tau _{ext}}$

Ifølge Noethers teorem følger loven om bevarelse af vinkelmomentum fra rummets isotropi , det vil sige fra rummets invarians i forhold til rotation gennem en vilkårlig vinkel. Når man roterer gennem en vilkårlig infinitesimal vinkel , vil radiusvektoren for partiklen med tallet ændre sig med , og hastighederne vil ændre sig med . Systemets Lagrange-funktion vil ikke ændre sig under en sådan rotation på grund af rummets isotropi. Derfor $\delta \varphi$ $jeg$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\delta \varphi \times \mathbf {r} _{i))$ ${\displaystyle \delta \mathbf {v} _{i}=\delta \varphi \times \mathbf {v} _{i))$ ${\mathcal L}$

\delta \mathcal L = \mathcal L(\mathbf{r}_i + \delta\mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i + \delta\mathbf{v}_i) - \mathcal L(\ mathbf{r}_i,\; \mathbf{v}_i) = \sum \limits_i \left( \frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf r_i} \delta \varphi \times\mathbf r_i + \ frac{\partial \mathcal L}{\partial \mathbf v_i} \delta \varphi \times \mathbf v_i \right)=0.

Under hensyntagen til , hvor er det generaliserede momentum af den -te partikel, kan hvert led i summen fra det sidste udtryk omskrives som $\frac{\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf v_{i}}} = \mathbf {p_{i}},\; \frac{\partial \mathcal {L}}{\partial \mathbf {r_{i}}} = \mathbf {\dot p_{i}}$ ${\mathbf p}_{i}$ $jeg$

\dot {\mathbf p_i} \,\delta \varphi \times \mathbf r_i + \mathbf p_i\,\delta \varphi \times \mathbf {\dot r_i}.

Nu, ved at bruge den blandede produktegenskab , udfører vi en cyklisk permutation af vektorer, som et resultat af hvilken vi opnår, idet vi tager den fælles faktor ud:

\delta \mathcal L = \delta \varphi \sum \limits_i \left( \mathbf r_i \times \dot {\mathbf p_i} + \dot {\mathbf r_i} \times \mathbf p_i \right) = \delta \varphi \frac{d}{dt} \sum \limits_i (\mathbf r_i \times \mathbf p_i) = \delta \varphi \frac{d \mathbf L}{dt} = 0,

hvor er systemets vinkelmomentum. I lyset af vilkårligheden i , følger det af ligheden $\mathbf L = \sum \mathbf L_i = \sum \mathbf r_i \times \mathbf p_i$ $\delta \varphi$ $\delta \mathcal L = 0$ ${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0.$

Relaterede begreber

Når man overvejer problemer relateret til rotation, fremkommer de begreber, der delvist blev nævnt ovenfor:

vinkelmomentum i forhold til aksen (udtrykket består af fire ord) - projektionen af vinkelmomentet på aksen;
inertimoment af et stivt legeme (se også inertimoment af nogle legemer );
kraftmoment (aka: moment, rotationsmoment, vridningsmoment);
impuls af kraftmomentet (enhed - N m s ) - et mål for kraftmomentets indvirkning i forhold til en given akse i en given tidsperiode (i rotationsbevægelse ). $\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {r} \times \mathbf {F} (t)\;dt$

På trods af konsonansen med "momentum" er disse begreber ikke synonyme med udtrykket "momentum" og har en selvstændig betydning.

Vinkelmomentum i elektrodynamik

Når man beskriver bevægelsen af en ladet partikel i et elektromagnetisk felt, er det kanoniske momentum ikke invariant . Som en konsekvens er det kanoniske vinkelmoment heller ikke invariant. Så tages det reelle momentum, som også kaldes det "kinetiske momentum": $s$ $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$

\mathbf {p} -{\frac {e\mathbf {A} }{c)),

hvor er den elektriske ladning , er lysets hastighed , er vektorpotentialet . Den (invariante) Hamiltonian af en ladet massepartikel i et elektromagnetisk felt er således: $e$ $c$ $EN$ $m$

H =\frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right)^2 + e\varphi,

hvor er det skalære potentiale . Fra dette potentiale følger Lorentz' lov . Det invariante vinkelmoment, eller "kinetisk vinkelmomentum", er defineret som følger: $\varphi$

K= \mathbf{r} \times \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right).

Vinkelmomentum i kvantemekanik

Momentoperator

I kvantemekanikken er vinkelmomentum kvantiseret , hvilket betyder, at det kun kan ændre sig i "kvanteniveauer" mellem præcist definerede værdier. Projektionen på en hvilken som helst akse af partiklernes vinkelmomentum skal på grund af deres rumlige bevægelse være et heltal ganget med ( med en streg - Plancks konstant divideret med ). $\hbar$ $h$ $2\pi$

Eksperimenter viser, at de fleste partikler har en konstant indre vinkelmomentum, der er uafhængig af deres bevægelse gennem rummet. Dette spin vinkelmomentum er altid et multiplum af både fermioner og bosoner . For eksempel har en elektron i hvile et vinkelmomentum . [2] $\hbar/2$ $\hbar$ $\hbar/2$

I den klassiske definition afhænger vinkelmomentet af 6 variable , , , , , og . Ved at oversætte dette til kvantemekaniske definitioner ved hjælp af Heisenbergs usikkerhedsprincip finder vi, at det ikke er muligt at beregne alle seks variabler samtidigt med nogen præcision . Derfor er der en grænse for, hvad vi kan lære eller beregne om det praktiske vinkelmomentum. Det betyder, at det bedste, vi kan gøre, er samtidig at beregne størrelsen af vinkelmomentvektoren og en hvilken som helst af dens komponenter (projektioner). ${\displaystyle r_{x))$ ${\displaystyle r_{y))$ ${\displaystyle r_{z))$ $p_{x}$ $p_{y}$ $p_{z}$

Matematisk defineres det samlede vinkelmomentum i kvantemekanikken som operatøren af en fysisk størrelse ud fra summen af to dele, der er forbundet med rumlig bevægelse - i atomfysik kaldes et sådant moment for henholdsvis orbital, og det indre spin af en partikel, spin. Den første operator virker på de rumlige afhængigheder af bølgefunktionen:

{\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {r} }}\time {\hat {\mathbf {p} }}

hvor og er henholdsvis koordinat- og momentumoperatorerne, og den anden er for internt spin. Især for en enkelt partikel uden elektrisk ladning og uden spin kan vinkelmomentoperatoren skrives som: $\hat{\mathbf{r}}$ $\hat{\mathbf{p}}$

{\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )

hvor er nabla-operatøren . Dette er en almindelig form for vinkelmomentoperatoren, men ikke den vigtigste, den har følgende egenskaber: $\nabla$

[L_i,\; L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k, \quad\left[L_i,\; \mathbf{L}^2 \right] = 0

hvor er symbolet for Levi-Civita ; $\varepsilon_{ijk}$

og endnu vigtigere substitutioner med Hamiltonian af en partikel uden ladning og spin:

\venstre[L_i,\; H \højre] = 0

Rotationssymmetri

Momentumoperatorer er almindeligt forekommende ved løsning af problemer med sfærisk symmetri i sfæriske koordinater . Derefter vinkelmomentet i den rumlige repræsentation:

-{\frac {1}{\hbar ^{2}}}\mathbf {L} ^{2}={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{ \partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\ frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.

Når egenværdierne for denne operator er fundet, opnås følgende:

L^{2}\mid l,\;m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)\mid l,\;m\rangle ,

L_z \midt l,\; m \rang = \hbar m \midt l,\; m\rang,

hvor , er heltal sådan at a er sfæriske funktioner af . $l$ $m$ $-l\leq m\leq l,$ $\lang\theta ,\; \varphi \midl,\; m \rang = Y_{l,\;m}(\theta,\;\varphi)$

Noter

↑ Pivarski, Jim Spin . Symmetry Magazine (marts 2013). Hentet 28. april 2014. Arkiveret fra originalen 15. april 2014. (ubestemt)
↑ [ Information fra Nobelkomiteens hjemmeside (engelsk) . Hentet 3. november 2017. Arkiveret fra originalen 18. maj 2008. (ubestemt) Information fra Nobelkomiteens hjemmeside (engelsk) ]

Litteratur

Biedenharn L., Lauck J. Vinkelmomentum i kvantefysik. Teori og anvendelser. - M. : Mir, 1984. - T. 1. - 302 s.
Blokhintsev D. I. Grundlæggende om kvantemekanik. — M .: Nauka, 1976. — 664 s.
Boum A. Kvantemekanik: grundlæggende og applikationer. — M .: Mir, 1990. — 720 s.
Varshalovich D. A. , Moskalev A. N., Khersonsky V. K. Kvanteteori om vinkelmomentum . - L . : Nauka, 1975. - 441 s.
Zar R. Teori om momentum. Om rumlige effekter i fysik og kemi. — M .: Mir, 1993. — 352 s.