Algebraisk talfeltdiskriminant

Diskriminanten af et algebraisk talfelt er en talinvariant , der groft sagt måler størrelsen ( ring af heltal ) af et algebraisk talfelt. Mere specifikt er det proportionalt med kvadratet af rumfanget af det fundamentale område af ringen af heltal, og det bestemmer hvilke primtal , der forgrener sig .

Diskriminanten er den vigtigste invariant af et talfelt og optræder i nogle vigtige analytiske formler, såsom den funktionelle ligning for Dedekind zeta-funktionen af et felt K og formlen for antallet af klasser af et felt K . Den gamle Hermite- sætning siger, at der kun er et begrænset antal talfelter med en afgrænset diskriminant, men definitionen af dette tal forbliver et åbent problem og er genstand for forskning [1] .

Diskriminanten af feltet K kan kaldes den absolutte diskriminant af feltet K for at skelne den fra den relative diskriminant af udvidelsen K / L af talfelter. Sidstnævnte er et ideal i ringen af heltal i feltet L og viser, ligesom den absolutte diskriminant, hvilke primtal, der forgrener sig i K / L . Det er en generalisering af den absolutte diskriminant, der tillader feltet L at være større end . Faktisk, når , den relative diskriminant er det primære ideal for ringen genereret af den absolutte diskriminant i feltet K. $\mathbb {Q}$ $L=\mathbb {Q}$ $K/\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$

Definition

Lad K være et algebraisk talfelt og lad O K være dets ring af heltal . Lade være en integral basis af ringen O K (det vil sige en basis som et Z -modul ), og lad være sættet af indlejringer af feltet K i komplekse tal (det vil sige injektiv homomorfismer af ringe ). Diskriminanten af feltet K er lig med kvadratet af determinanten n x n af matricen B , hvis ( i , j )-elementer er lig med . i symbolsk form, ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n))$ $\{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}}\}$ $K\rightarrow \mathbb {C}$ $\sigma _{i}(b_{j})$

\Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})& \cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _ {n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.

Tilsvarende kan man bruge sporet fra K til . Specielt definerer vi sporformen som en matrix, hvis ( i , j )-elementer er lig med . Denne matrix er lig med B T B , så diskriminanten af feltet K er determinanten for denne matrix. $\mathbb {Q}$ $\mathbf {Tr} _{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})$

Eksempler

Kvadratiske talfelter : lad d være et kvadratfrit tal , så er feltets diskriminant [2] $K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d)))$

\Delta _{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}}. \\\end{array}}\right.

Et heltal, der optræder som diskriminanten i et kvadratisk talfelt, kaldes den fundamentale diskriminant [3] .

Cirkulære felter : lad n > 2 være et heltal, være den primitive n'te rod af enhed og være det n'te cirkulære felt. Feltdiskriminanten er givet ved formlen [2] [4] $\zeta _{n}$ $K_{n}=\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ $K_n$

{\displaystyle \Delta _{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p| n}p^{\varphi (n)/(p-1)))))

hvor er Euler-funktionen , og produktet i nævneren løber over alle primtal p , der dividerer n .

\varphi (n)

Potensbaser: I det tilfælde, hvor ringen af heltal har en potensheltalsbasis , dvs. den kan skrives som , er diskriminanten af feltet K lig med diskriminanten af det minimale polynomium i . For at se dette kan vi vælge heltalsgrundlaget for ringen til at være . Så er matricen i definitionen Vandermonde-matricen forbundet med , hvis determinantkvadrat er $O_{K}=\mathbb {Z} [\alpha ]$ $\alfa$ $O_{K}$ ${\displaystyle b_{1}=1,b_{2}=\alpha ,b_{3}=\alpha ^{2},\dots ,b_{n}=\alpha ^{n-1))$ $\alpha _{i}=\sigma _{i}(\alpha )$

{\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2))

hvilket er nøjagtigt det samme som definitionen af diskriminanten for et minimalt polynomium.

Lade være talfeltet opnået ved at tilføje roden af polynomiet . Dette eksempel er Dedekinds originale eksempel på et talfelt, hvis ring af heltal ikke har en potensbasis. Heltalsgrundlaget er angivet som , og diskriminanten af feltet K er -503 [5] [6] . $K=\mathbb {Q} (\alpha )$ $\alfa$ $x^{3}-x^{2}-2x-8$ ${\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha (\alpha +1)/2\))$
Duplikatdiskriminanter: Diskriminanten af et kvadratisk felt definerer det unikt, men dette er generelt ikke sandt for højere grad af numeriske felter. For eksempel er der to ikke-isomorfe kubiske felter med diskriminant 3969. De opnås ved at tilføje roden af polynomiet henholdsvis x 3 − 21 x + 28 eller x 3 − 21 x − 35 [7] .

Hovedresultater

Brills sætning [8] : Tegnet for diskriminanten er , hvor r 2 er antallet af komplekse punkter i feltet K [9] . $(-1)^{r_{2))$
Et primtal p forgrener sig i K , hvis og kun hvis p deler [10] . $\Delta _{K}$
Stickelbergers sætning [11] :

\Delta _{K}\equiv 0

eller

1{\pmod {4)).

Minkowski bundet [12] : Ladnangive graden af forlængelsen, ogr2angive antallet af komplekse steder i feltetK, så $K/\mathbb {Q}$

|\Delta _{K}|^{1/2}\geqslant {\frac {n^{n}}{n!)}}\left({\frac {\pi }{4}}\ højre )^{r_{2}}\geqslant {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi}{4}}\right)^{n/2}.

Minkowskis sætning [13] : Hvis K ikke er lig med så (dette følger direkte af Minkowski-bindingen). $\mathbb {Q}$ $|\Delta _{K}|>1$
Hermite-Minkowski-sætning [14] : LadNvære et positivt heltal. Der er kun et endeligt antal (op til isomorfi) af algebraiske talfelterKmed. Igen følger dette af Minkowski-bundet, sammen med Hermites sætning (at der kun er et begrænset antal algebraiske felter med en foreskrevet diskriminant). $|\Delta _{K}|<N$

Historie

Definitionen af diskriminanten for et generelt algebraisk talfelt K blev givet af Dedekind i 1871 [15] . På dette tidspunkt kendte han allerede til sammenhængen mellem diskriminanten og forgreningen [16] .

Hermites teorem gik forud for den generelle definition af diskriminanten, og beviset heraf blev offentliggjort af Charles Hermite i 1857 [17] . I 1877 bestemte Alexander von Brill fortegnet på determinanten [18] . Leopold Kronecker formulerede Minkowskis teorem i 1882 [19] , selvom Hermann Minkowski først gav sit bevis i 1891 [20] . Samme år offentliggjorde Minkowski sin binding til determinanten [21] . Ved slutningen af det nittende århundrede Stickelberger opnåede Ludwig diskriminant-restsætningen modulo fire [22] [23] .

Relativ diskriminant

Den ovenfor definerede diskriminant omtales nogle gange som den absolutte diskriminant af feltet K for at skelne den fra den relative diskriminant af nummerfeltudvidelsen K / L , som er et ideal i O L. Den relative diskriminant er defineret på samme måde som den absolutte diskriminant, men det skal tages i betragtning, at idealet i O L måske ikke er principielt, og at O L måske ikke er grundlaget for O K . Lad være sættet af indlejringer af K i , som er enheder på L . Hvis er et eller andet grundlag for et felt K over L , lad ) være kvadratet af determinanten af en n x n matrix, hvis ( i , j )-elementer er lig med . Så er den relative diskriminant af udvidelsen K / L den ideelle genereret af , hvor løber gennem alle heltalsbaser af udvidelsen K / L . (dvs. over baser med egenskaben, at for alle i .) Alternativt er den relative diskriminant af forlængelsen K / L lig med normen trim K / L [24] . Når er den relative diskriminant det primære ideal for ringen , der genereres af den absolutte diskriminant . I tårnet af K / L / F felter er de relative diskriminanter forbundet med $\Delta _{K}/L$ $\{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}}\}$ $\mathbb {C}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n))$ ${\displaystyle d(b_{1},\dots,b_{n))$ $\sigma _{i}(b_{j})$ $d(b_{1},\dots ,b_{n})$ $\{b_{1},\dots ,b_{n}\}$ $b_{i}\in O_{K}$ $L=\mathbb {Q}$ $\Delta _{K/\mathbb {Q} }$ $\mathbb {Z}$ $\Delta _{K}$

\Delta _{K/F}={\mathcal {N}}_{L/F}\left({\Delta _{K/L}}\right)\Delta _{L/F}^ {[K:L]}

hvor betegner den relative norm [25] [26] . $\mathcal{N}$

Forgrening

Den relative diskriminant bestemmer forgreningen af feltudvidelsen K / L . Et principielt ideal p i et felt L forgrener sig til K , hvis og kun hvis det deler den relative diskriminant . En forlængelse forgrener sig, hvis og kun hvis diskriminanten er den ideelle enhed [24] . Minkowski bundet ovenfor viser, at der ikke er nogen ikke-trivielle, uforgrenede feltudvidelser . Felter større end , kan have ikke-forgrenede udvidelser. For eksempel, for ethvert felt med antallet af klasser større end én, er dets Hilbert -klassefelt en ikke-triviel uforgrenet udvidelse. $\Delta _{K/L}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Roddiskriminant

Roddiskriminanten af et talfelt K af grad n , ofte betegnet rd K , er defineret som den n'te rod af den absolutte værdi af den (absolutte) diskriminant af feltet K [27] . Forholdet mellem de relative diskriminanter i marktårnet viser, at roddiskriminanten ikke ændres i en uforgrenet ekspansion. Eksistensen af et tårn af klassefelter giver grænser for roddiskriminanten — eksistensen af et uendeligt tårn af klassefelter over , hvor m = 3 5 7 11 19, viser, at der er et uendeligt forskelligt felt med roddiskriminant 2 √ m ≈ 296.276 [28] . Hvis r og 2 s er lig med antallet af reelle og komplekse indlejringer, så sætter vi og . Betegn ved infimum rd K for felter K med . Vi har (til tilstrækkeligt store) [28] $\mathbb {Q} ({\sqrt {-m)))$ $n=r+2s$ $\rho =r/n$ $\sigma =2s/n$ $\alpha (\rho ,\sigma )$ $(r',2s')=({\rho }n,{\sigma }n)$

{\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )\geqslant 60.8^{\rho }22.3^{\sigma ))

og antager gyldigheden af den generaliserede Riemann-hypotese

\alpha (\rho ,\sigma )\geqslant 215.3^{\rho }44.7^{\sigma }.

Således har vi . Det viste Martinet og [28] [29] . Voight [27] beviste, at for rent reelle felter er roddiskriminanten > 14 med 1229 undtagelser. $\alpha (0,1)<296.276$ $\alpha (0,1)<93$ $\alpha (1,0)<1059$

Forholdet til andre mængder

Når det er indlejret i volumenet af ringens fundamentale område, er O K lig (nogle gange bruges et andet mål , og volumenet er lig med , hvor r 2 er antallet af komplekse steder i feltet K ). $K\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {R}$ ${\sqrt {|\Delta _{K}|}}$ $2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}$
Da diskriminanten optræder i denne volumenformel, optræder den også i den funktionelle ligning for Dedekind zeta-funktionen af feltet K , og derfor også i den analytiske klassetalsformel og i Brouwer-Siegel-sætningen .
Den relative diskriminant af forlængelsen K / L er lig med Artin-lederen den regulære repræsentation af Galois-gruppen i forlængelsen K / L . Dette giver en forbindelse mellem Artin-lederne og karaktererne i Galois-gruppen i forlængelsen K / L , som kaldes dirigent-diskriminerende formel [30] .

Noter

↑ Cohen, Diaz og Diaz, Olivier, 2002 .
↑ 1 2 Manin, Panchishkin, 2007 , s. 130.
↑ Cohen, 1993 , s. Definition 5.1.2.
↑ Washington, 1997 , s. Forslag 2.7.
↑ Dedekind, 1878 , s. 30-31.
↑ Narkiewicz, 2004 , s. 64.
↑ Cohen, 1993 , s. Sætning 6.4.6.
↑ Koch, 1997 , s. elleve.
↑ Washington, 1997 , s. Lemma 2.2.
↑ Neukirch, 1999 , s. Følge III.2.12.
↑ Neukirch, 1999 , s. Øvelse I.2.7.
↑ Neukirch, 1999 , s. Forslag III.2.14.
↑ Neukirch, 1999 , s. Sætning III.2.17.
↑ Neukirch, 1999 , s. Sætning III.2.16.
↑ 1 2 Dedekinds tillæg X i anden udgave af Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie (tysk: Forelæsninger om talteori) ( Dedekind 1871 )
↑ Bourbaki, 1994 .
↑ Hermite, 1857 .
↑ Brill, 1877 .
↑ Kronecker, 1882 .
↑ Minkowski, 1891a .
↑ Minkowski, 1891b .
↑ Stickelberger, 1897 .
↑ Alle fakta i dette afsnit kan findes i Narkiewiczs bog ( Narkiewicz 2004 , s. 59, 81)
↑ 1 2 Neukirch, 1999 , s. §III.2.
↑ Neukirch, 1999 , s. Følge III.2.10.
↑ Fröhlich og Taylor 1993 , s. Forslag III.2.15.
↑ 12 Voight , 2008 .
↑ 1 2 3 Koch, 1997 , s. 181-182.
↑ Martinet, 1978 , s. 65-73.
↑ Serre, 1967 , s. Afsnit 4.4.

Litteratur

Yu. I. Manin , A.A. Panchishkin. Introduktion til moderne talteori. - Sekund. - 2007. - T. 49. - S. 130. - (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). — ISBN 978-3-540-20364-3 .
Jacques Martinet. Tours de corps de classes et estimations de discriminants (fransk) // Inventiones Mathematicae . - 1978. - Bd. 44 . - doi : 10.1007/bf01389902 . — .
Alexander von Brill. Ueber die Discriminante // Mathematische Annalen. - 1877. - T. 12 , Nr. 1 . — s. 87–89 . - doi : 10.1007/BF01442468 .
Richard Dedekind . Vorlesungen über Zahlentheorie af P.G. Lejeune Dirichlet . - 2. - Vieweg, 1871.
Richard Dedekind . Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Congruenzen // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1878. - T. 23 , Nr. 1 .
Charles Hermite . Extrait d'une lettre de MC Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d'irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers complexes d'un degré et d'un discriminant donnés // Crelle's Journal . - 1857. - T. 53 . — S. 182–192 . - doi : 10.1515/crll.1857.53.182 .
Leopold Kronecker . Grundzüge einer aritmetischen Theorie der algebraischen Grössen // Crelle's Journal . - 1882. - T. 92 . — S. 1–122 .
Hermann Minkowski . Ueber die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen // Crelle's Journal. — 1891a. - T. 107 . — S. 278–297 .
Hermann Minkowski . Théorèmes d'arithmétiques // Comptes rendus de l'Académie des sciences . — 1891b. - T. 112 . — S. 209–212 .
Ludwig Stickelberger. Über eine neue Eigenschaft der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper // Proceedings of the First International Congress of Mathematicians, Zürich. - 1897. - S. 182-193.
Nicholas Bourbaki. Elementer i matematikkens historie / Oversat af Meldrum, John. - Berlin: Springer-Verlag, 1994. - ISBN 978-3-540-64767-6 .
- Bourbaki N. Essays om matematikkens historie. - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1963.
Henri Cohen. Et kursus i beregningsmæssig algebraisk talteori. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1993. - V. 138. - (Graduate Texts in Mathematics). - ISBN 978-3-540-55640-4 .
Henri Cohen, Francisco Diaz og Diaz, Michel Olivier. A Survey of Discriminant Counting // Algorithmic Number Theory, Proceedings, 5th International Syposium, ANTS-V, University of Sydney, juli 2002 / Claus Fieker, David R. Kohel. - Berlin: Springer-Verlag, 2002. - T. 2369. - S. 80–94. — (Forelæsningsnotater i datalogi). — ISBN 978-3-540-43863-2 . - doi : 10.1007/3-540-45455-1_7 . (utilgængeligt link)
Albrecht Fröhlich, Martin J. Taylor. Algebraisk talteori. - Cambridge University Press , 1993. - V. 27. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 978-0-521-43834-6 .
Helmut Koch. Algebraisk talteori. - Springer-Verlag , 1997. - T. 62. - (Encycl. Math. Sci.). — ISBN 3-540-63003-1 .
Władysław Narkiewicz. Elementær og analytisk teori om algebraiske tal. - 3. - Berlin: Springer-Verlag, 2004. - (Springer Monographs in Mathematics). - ISBN 978-3-540-21902-6 .
Jürgen Neukirch. Algebraisk talteori. - Berlin: Springer-Verlag, 1999. - T. 322. - (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 978-3-540-65399-8 .
Jean-Pierre Serre . Lokal klassefeltteori // Algebraisk talteori, Proceedings of an instructional conference at University of Sussex, Brighton, 1965 / JWS Cassels, Albrecht Fröhlich. - London: Academic Press, 1967. - ISBN 0-12-163251-2 .
John Voight Voight. Optælling af helt reelle talfelter af afgrænset roddiskriminant // Algoritmisk talteori. Proceedings, 8th International Symposium, ANTS-VIII, Banff, Canada, maj 2008 / Alfred J. van der Poorten, Andreas Stein. - Berlin: Springer-Verlag, 2008. - T. 5011. - S. 268-281. — (Forelæsningsnotater i datalogi). — ISBN 978-3-540-79455-4 . - doi : 10.1007/978-3-540-79456-1_18 .
Lawrence Washington. Introduktion til cyklotomiske felter. — 2. - Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997. - V. 83. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-94762-4 .

Læsning for yderligere læsning

James S. Milne. Algebraisk talteori . - 1998.