Sult-Shafarevich-sætning

Golod-Shafarevich- sætningen er en algebra-sætning. Det blev formuleret og bevist af E. S. Golod og I. R. Shafarevich i 1964 [1] [2] Vigtige konsekvenser af det er det negative svar på Kurosh -problemet (der eksisterer en nul-algebra, der ikke er lokalt nilpotent) [3] , en negativ svar på det generelle Burnside-problem (der findes en periodisk gruppe , der ikke er lokalt begrænset) [4] .

Betingelser

Lade være en polynomial ring i ikke-pendlende variabler over et vilkårligt felt . Lade være en graderet algebra på grund af definitionen af en gradfunktion på den. $T=F\venstre[x_{1},...,x_{d}\højre]$ ${\displaystyle x_{1},...,x_{d))$ $F$ $T$

Lad os repræsentere det som en sum af underrum , hvor , og har et grundlag af elementer i formen , hvor variablerne er valgt fra mængden . $T$ $T=T_{0}+T_{1}+\ldots +T_{n}+\ldots$ $T_{0}=F$ $T_{n}$ ${\displaystyle d^{n))$ $x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{n}}$ $x_{i_{j))$ $\left\{x_{1},...,x_{d}\right\}$

Vi kalder rummets elementer for homogene graders elementer . $T_{n}$ $n$

Lade være en to-sidet ideal af algebra , genereret af homogene elementer af grader , hhv. Lad os arrangere det så . Antallet af de elementer, hvis grader er ens , vil blive betegnet som . ${\mathfrak {U}}=(f_{1},f_{2},...)$ $T$ $f_{1},f_{2},...$ $n_{1},n_{2},...$ $n_{1},n_{2},...$ $2\leqslant n_{1}\leqslant n_{2}\leqslant \ldots$ ${\displaystyle f_{j))$ $jeg$ ${\displaystyle r_{i))$

Kvotientalgebraen arver karaktergivningen fra på grund af det faktum, at idealet er genereret af homogene elementer . $A=T/{\mathfrak {U}}$ $T$ ${\mathfrak {U}}$

Kvotientalgebraen kan repræsenteres som en sum , hvor . $A=A_{0}+A_{1}+\ldots +A_{n}+\ldots$ $A_{i}\simeq T/{\mathfrak {U}}\cap T_{i}$

Lad . $b_{n}=\dim _{F}A_{n}$

Ordlyd

Algebraen beskrevet i sætningens betingelser har følgende egenskaber: $EN$

$b_{n}\geqslant db_{n-1}-\sum _{n_{i}\leqslant n}b_{n-n_{i))$ for alle . $n\geqslant 1$
Hvis for hver , så er uendelig-dimensionel over . $jeg$ $r_{i}\leqslant \left({\frac {d-1}{2}}\right)^{2}$ $EN$ $F$

Bevis

Beviset for sætningen fylder sider i bogen [5] $fire$

Se også

Forbrændingsproblem

Noter

↑ Golod E. S. Om nul-algebraer og endeligt tilnærmelige p-grupper // Izvestiya AN SSSR. Matematisk serie. - 1964. - T. 28, hæfte 2 . - S. 273-276 .
↑ Golod E. S. , Shafarevich I. R. På tårnet af klassefelter // Izvestia fra USSR's Videnskabsakademi. Matematisk serie. - 1964. - T. 28, hæfte 2 . - S. 261-272 .
↑ Ikke-kommutative ringe, 1972 , s. 184.
↑ Ikke-kommutative ringe, 1972 , s. 185.
↑ Ikke-kommutative ringe, 1972 , s. 180-183.

Litteratur

Herstein I. Ikke-kommutative ringe. - M . : Mir, 1972. - 191 s.