Klassegruppe for overfladetransformation

Klassegruppen af overfladetransformationer er gruppen af homeomorfismer op til kontinuerlig deformation. Det opstår naturligt i studiet af tredimensionelle manifolder og er relateret til andre grupper, især til fletningsgrupper og gruppen af ydre automorfier i en gruppe.

Kortlægningsklassegruppen kan defineres for vilkårlige manifolder og for vilkårlige topologiske rum, men tilfældet med overflader er det mest undersøgte i gruppeteori .

Historie

Undersøgelsen af kortlægning af klassegrupper er igangsat af Max Dehn og Jakob Nielsen . Dehn konstruerede et endeligt system af generatorer til denne gruppe, [1] og Nielsen beviste, at alle automorfier af de grundlæggende grupper af overflader er initieret af homeomorfismer.

I midten af halvfjerdserne brugte William Thurston denne gruppe i studiet af tredimensionelle manifolder. [2]

Senere begyndte klassegruppen at blive undersøgt i geometrisk gruppeteori , hvor den fungerer som en prøveplads for forskellige hypoteser og udvikling af tekniske værktøjer.

Definition

Lad der være en forbundet , lukket , orienterbar overflade og en gruppe af dens orienteringsbevarende homeomorfismer udstyret med en kompakt-åben topologi . $S$ $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$

Den tilsluttede komponent af enhed i er betegnet med . Den består af homeomorphisms isotopisk til identiteten homeomorphism. En undergruppe er en normal undergruppe . $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$ $\mathrm {Homeo} _{0}(S)$ $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$ $\mathrm {Homeo} _{0}(S)$ $\mathrm {Homeo} ^{+}(S)$

Klassegruppen af kortlægning af overfladetransformationer er defineret som kvotientgruppen $S$

\mathrm {Mod} (S)=\mathrm {Homeo} ^{+}(S)/\mathrm {Homeo} _{0}(S).

Noter

Hvis vi bruger alle homeomorfismer i denne definition (ikke kun orienteringsbevarende), får vi en udvidet gruppe af transformationsklasser , hvor gruppen er indeholdt som en undergruppe af indeks 2. $\mathrm {Mod} ^{\pm }(S)$ $\mathrm {Mod} (S)$

Denne definition kan også gives for kategorien diffeomorfismer . Mere præcist, hvis ordet "homeomorfisme" overalt erstattes af " diffeomorfisme ", får vi den samme gruppe, da inklusion inducerer en isomorfisme af de tilsvarende klasser. $\mathrm {Diff} ^{+}(S)\subset \mathrm {Homeo} ^{+}(S)$

I tilfældet, hvornår er en kompakt overflade med grænse , tages kun homeomorfismer i definitionen, der fikserer alle punkter på grænsen. $S$ $\delvis S$

For overflader med udstansede punkter er gruppen defineret på nøjagtig samme måde som ovenfor.
- Bemærk, at klassekortlægningen har lov til at omarrangere de udstansede punkter, men ikke kantkomponenterne.

Eksempler

Gruppen af transformationsklasser i sfæren er triviel.
Klassegruppen for toruskortlægning er naturligt isomorf i forhold til den modulære gruppe . $\mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$
Kortlægningsklassegruppen af en ring er den cykliske gruppe dannet af en enkelt Dehn-drejning .
Fletningsgruppen med n tråde er naturligt isomorf i forhold til gruppen af disktransformationsklasser med n punkterede punkter.

Egenskaber

Gruppen af klasser af overfladetransformationer kan tælles .

Den udvidede transformationsklassegruppe af en overflade uden grænse er isomorf i forhold til automorfigruppen i dens fundamentale gruppe.
- Desuden er enhver automorfisme af den grundlæggende gruppe induceret af en eller anden overflade-homeomorfisme.
- Generelt ophører udsagnet med at være sandt for overflader med en grænse. I dette tilfælde er den fundamentale gruppe en fri gruppe, og gruppen af ydre automorfismer i gruppen inkluderer overfladens transformationsklassegruppe som en egentlig undergruppe.

For en kompakt overflade og der er en nøjagtig rækkefølge $S$ $x\i S$ $1\to \pi _{1}(S,x)\to \mathrm {Mod} (S\setminus \{x\})\to \mathrm {Mod} (S)\til 1.$

Ethvert element i overfladetransformationsklassegruppen falder i en af tre kategorier: $\alfa$
- $\alfa$ har en endelig orden (det vil sige for nogle ); $\alpha ^{n}=1$ $n$
- $\alfa$ er reducerbar, det vil sige, at der er et sæt ikke-skærende lukkede kurver på , som er bevaret under påvirkning af ; $S$ $\alfa$
- $\alfa$ pseudo-Anosov .

En gruppe af overfladetransformationsklasser kan genereres
- To elementer [3]
- Involutioner [4]
- Der er en sidste opgave med Den-drejninger som generatorer.
  - Det mindste antal Dehn-drejninger , der danner klassegruppen af transformationer af en slægtsoverflade er . $g\geqslant 2$ $2g+1$

En overflades transformationsklassegruppe virker naturligt på dens Teichmüller-rum .
- Denne handling er faktisk diskontinuerlig , ikke gratis.
- Metrik på Teichmüller-rummet kan bruges til at etablere nogle globale egenskaber for en gruppe af transformationsklasser. For eksempel følger det heraf, at det maksimale kvasi-isometrisk indlejrede plan i klassegruppen af transformationer af slægtens overflade har dimension . [5] $g$ $3g-3+k$

Klassegruppen af transformationer af en overflade virker naturligt på komplekset af kurver af overfladen. Denne handling kan sammen med de kombinatoriske-geometriske egenskaber af et kompleks af kurver bruges til at bevise forskellige egenskaber for en transformationsklassegruppe.
- Dette forklarer især gruppens egenskaber tæt på Gromovs hyperbolicitet .

Den første homologi af klassegruppen af overfladetransformationer er endelig.
- Det følger heraf, at de første kohomologigrupper også er endelige.

Klassegruppen af overfladetransformationer er restfinit .

Gruppen af overfladetransformationsklasser har kun et begrænset antal konjugationsklasser.

Det vides ikke, om klassegruppen af overfladetransformationer er en lineær gruppe. Ud over symplektiske repræsentationer om homologi er der andre lineære repræsentationer, der følger af topologisk kvantefeltteori. Billederne af disse repræsentationer er indeholdt i aritmetiske grupper, der ikke er symplektiske [6] .
Dimensionen af en ikke-triviel handling af en gruppe af klasser af transformationer af en overflade af en slægt kan ikke være mindre end [7] . $g$ $2{\sqrt {g-1}}$

Noter

↑ Dehn, Max. Die Gruppe de Abbildungsklassen (neopr.) // Acta Mathematica . - 1938. - T. 69 . - S. 135-206 . - doi : 10.1007/bf02547712 .
↑ Thurston, William P. Om geometrien og dynamikken i overfladens diffeomorfismer // Bull . amer. Matematik. soc. : journal. - 1988. - Bd. 19 . - S. 417-431 . - doi : 10.1090/s0273-0979-1988-15685-6 .
↑ Wajnryb, B. Kortlægning af klassegruppe af en overflade er genereret af to elementer // Topology : journal. - 1996. - Bd. 35 . - s. 377-383 . - doi : 10.1016/0040-9383(95)00037-2 .
↑ Tara E. Brendle, Benson Farb. Hver kortlægningsklassegruppe er genereret af 3 torsionselementer og af 6 involutioner // J. Algebra : journal. - 2004. - Bd. 278 . MR : 187C198
↑ Alex Eskin, Howard Masur, Kasra Rafi (2014), Large scale rank of Teichmüller space, arΧiv : 1307.3733 [math.GT]. .
↑ Masbaum, Gregor og Reid, Alan W. Alle finite grupper er involveret i kortlægningsklassegruppen // Geom . Topol. : journal. - 2012. - Bd. 16 . - S. 1393-1411 . - doi : 10.2140/gt.2012.16.1393 . MR : 2967055
↑ Benson Farb, Alexander Lubotzky, Yair Minsky. Rank-1 fænomener til kortlægning af klassegrupper (neopr.) // Duke Math. J.. - 2001. - T. 106 . - S. 581-597 . MR : 1813237

Litteratur

Alexey Zhirov. Topologisk konjugation af pseudo-Anosov-homeomorfismer. - MTSNMO, 2013. - 1000 eksemplarer. - ISBN 978-5-4439-0213-5 .
AA Gayfulin , Grupper af kortlægningsklasser og deres undergrupper Arkiveret 17. september 2017 på Wayback Machine .