Malmsten, Carl Johan

Carl Johan Malmsten
svensker. Carl Johan Malmsten

Fødselsdato	9. april 1814( 09-04-1814 ) [1] [2] [3]
Fødselssted	Skara (kommune)
Dødsdato	11. februar 1886( 1886-02-11 ) [1] [2] (71 år)
Et dødssted	Uppsala
Land	Sverige
Videnskabelig sfære	matematik
Arbejdsplads	Uppsala Universitet
Alma Mater	Uppsala Universitet
Akademisk grad	Doktor i filosofi (ph.d.) i matematik
Akademisk titel	Professor
Mediefiler på Wikimedia Commons

Carl Johan Malmsten ( svensk. Carl Johan Malmsten ; 9. april 1814 , Skara kommune , Sverige - 11. februar 1886 , Uppsala , Sverige ) var en svensk matematiker og politiker. Kendt for sit tidlige arbejde med kompleks analyse, teorien om nogle specielle funktioner, og som medstifter (sammen med Mittag-Leffler ) af det matematiske tidsskrift Acta Mathematica [4] .

Malmsten fik sin lektorgrad i 1840 og blev to år senere professor i matematik ved universitetet i Uppsala . I 1844 blev han optaget på Det Kongelige Svenske Videnskabsakademi . Fra 1859 til 1866 han var også en del af regeringen i Skara kommune , hvor han fungerede som minister uden portefølje , mens han samtidig fortsatte med at studere matematik.

Hovedbidrag

I lang tid blev navnet Karl Malmsten nævnt hovedsageligt i forbindelse med hans tidlige arbejde med teorien om funktioner for en kompleks variabel [5] . Men han ydede også store bidrag til andre analyseområder, især til teorien om spec. funktioner og differentialligninger, men desværre blev mange af hans værker ufortjent glemt, og resultaterne blev tilskrevet andre. Så relativt nylig viste Yaroslav Blagushin (Iar Blagouchine) [6] , at det var Malmsten, der ejede en række vigtige værker om logaritmiske integraler og summer, der er tæt forbundet med gammafunktionen , dens logaritmiske afledte , den generaliserede zetafunktion , samt Dirichlet L-serien . Især var Malmsten i 1842 i stand til i analytisk form at udtrykke følgende logaritmiske integraler

\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\,\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{1+x^{2}}}\,dx \,=\,\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\,\ln \ln {x}\,}{1+x^{2))}\,dx\ ,=\,{\frac {\pi }{\,2\,}}\ln \venstre\({\frac {\Gamma {(3/4))){\Gamma {(1/4))) ) }{\sqrt {2\pi \,}}\right\}

\int \limits _{0}^{{1}}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1+x)^{2}}}\,dx=\ int \limits _{1}^{{\infty }}\!{\frac {\ln \ln {x}}{(1+x)^{2}}}\,dx={\frac {1} {2}}{\bigl (}\ln \pi -\ln 2-\gamma {\bigr )},

\int \limits _{0}^{{1}}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x+x^{2}}}\,dx =\int \limits _{1}^{{\infty }}\!{\frac {\ln \ln {x}}{1-x+x^{2}}}\,dx={\frac { 2\pi {{\sqrt {3))))\ln {\biggl \{}{\frac {{\sqrt[ {6}]{32\pi ^{5)))){\Gamma {( 1/6)))}{\biggr \))

\int \limits _{0}^{{1}}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x+x^{2}}}\,dx =\int \limits _{1}^{{\infty }}\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+x+x^{2}}}\,dx={\frac { \pi }{{\sqrt {3))))\ln {\biggl \{}{\frac {\Gamma {(2/3))){\Gamma {(1/3)))}{\sqrt [ {3}]{2\pi }}{\biggr \}}

\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}}\ ,dx\,=\int \limits _{1}^{{\infty }}\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}} \,dx={\frac {\pi }{2\sin \varphi }}\ln \venstre\{{\frac {(2\pi )^{({\frac {\scriptstyle \varphi }{\scriptstyle \ pi }}}}\,\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}} \!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}-{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}} \!\right)}}\right\},\qquad -\pi <\varphi <\pi .

\int \limits _{0}^{{1}}\!{\frac {x^{{n-2}}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x^{ 2}+x^{4}-\cdots +x^{{2n-2))))\,dx\,=\int \limits _{1}^({\infty }}\!{\frac { x^{{n-2}}\ln \ln {x}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{{2n-2}}}}\,dx=

\quad =\,{\frac {\pi }{\,2n\,}}\sek {\frac {\,\pi \,}{2n}}\!\cdot \ln \pi +{\frac { \pi }{\,n\,}}\cdot \!\!\!\!\!\!\sum _{{l=1}}^{{\;\;{\frac {1}{2 }}(n-1)}}\!\!\!\!(-1)^{{l-1}}\cos {\frac {\,(2l-1)\pi \,}{2n} }\cdot \ln \venstre\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {2l-1}{2n))\right)}{\Gamma \!\left( \displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots

\int \limits _{0}^{{1}}\!{\frac {x^{{n-2}}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x^{ 2}+x^{4}+\cdots +x^{{2n-2))))\,dx\,=\int \limits _{1}^({\infty }}\!{\frac { x^{{n-2}}\ln \ln {x}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{{2n-2}}}}\,dx=

\qquad ={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n))\tan {\frac {\,\pi \,}{2n))\ln 2\pi +{ \frac {\pi }{n}}\sum _{{l=1}}^{{n-1}}(-1)^{{l-1}}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n))\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)))\ højre\},\quad n=2,4,6,\ldots \\[10mm]\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n))\tan {\frac {\,\pi \, }{2n}}\ln \pi +{\frac {\pi}{n}}\!\!\!\!\!\sum _{{l=1}}^{{\;\;\; {\frac {1}{2}}(n-1)}}\!\!\!\!(-1)^{{l-1}}\sin {\frac {\,\pi l\, }{n))\cdot \ln \venstre\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {\,l}{n))\!\right)}{\ Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {\,l}{n))\!\right)))\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots \end{caser }}

Detaljerne i beregningerne, såvel som en interessant historisk analyse, er givet i Ya. Blagushins værker [6] [7] . Mange af disse integraler blev først genopdaget og genstuderet i det 20. århundrede. Især de, uden en eneste omtale af Malmsten, optrådte med jævne mellemrum i værker af Ilan Vardi (Ilan Vardi), Viktor Adamchik (Victor Adamchik), Victor Moll (Victor Moll), Eric Weisstein og nogle andre [8] [9] [10] [11] [12] [13] . Desuden er misforståelserne om forfatterskabet af disse formler gået så vidt, at det første af disse integraler i mange moderne kilder kaldes Vardis integral , selvom han beregnede det 146 år senere end Malmsten . Malmsten opnåede disse formler ved hjælp af forskellige ret besværlige serieudvidelser, term-for-term integration, og også behændigt at anvende elementære transformationer. Metoder til moderne analyse gør det muligt at opnå dem på mindre tidskrævende måder, såsom konturintegrationsmetoder [6] , ved brug af Hurwitz zeta-funktionen [9] , gennem polylogaritmer [10] og ved brug af Dirichlet L-serien [8] . De samme metoder gør det muligt at beregne mere komplekse Malmsten-integraler [14] , hvoraf et stort antal blev betragtet i værker af V. Adamchik [9] , og især Ya. Blagushin [6] (ca. 80 integraler). Her er nogle eksempler på sådanne integraler

\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x))}{1+x^{3))}\,dx=\int \limits _ {1}^{\infty }{\frac {x\ln \ln x}{1+x^{3}}}\,dx={\frac {\ln 2}{6}}\ln {\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{6{\sqrt 3}}}\left\{\ln 54-8\ln 2\pi +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right\}

\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1-x+x^{2})^{2} }}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln x}{(1-x+x^{2})^{2}}} \,dx=-{\frac {\gamma }{3}}-{\frac {1}{3}}\ln {\frac {6{\sqrt 3}}{\pi }}+{\frac { \pi {\sqrt 3}}{27}}\left\{5\ln 2\pi -6\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\right\}

\int \limits _{0}^{1}{\frac {\left(x^{4}-6x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}} {\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\left(x^{4}- 6x^{2}+1\højre)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx={\frac {2\,{ \mathrm {G}}}{\pi }}

\int \limits _{0}^{1}{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x)) }{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\left(x^{4 }-4x^{2}+1\højre)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx={\frac {7\ zeta(3)}{8\pi ^{2}}}

{\begin{array}{ll}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x\!\left(x^{({\frac {m}{n))))- x^{{-{\frac {m}{n}}}}\right)^{{\!2}}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1-x ^{2})^{2}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\!\left(x^{{{\frac {m} {n))))-x^{{-{\frac {m}{n))))\højre)^({\!2))\ln \ln {x)){\,(1-x ^{2})^{2}\,}}\,dx=\!\!\!&\displaystyle {\frac {\,m\pi \,}{\,n\,}}\sum _{ {l=1}}^{{n-1}}\sin {\dfrac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {l}{n ))\!\right)-\,{\frac {\pi m}{\,2n\,}}{\mathrm {ctg}}{\frac {\pi m}{n}}\cdot \ln \ pi n\\[3mm]&\displaystyle -\,{\frac {\,1\,}{2))\ln \!\venstre(\!{\frac {\,2\,}{\pi } }\sin {\frac {\,m\pi \,}{n))\!\right)-\,{\frac {\gamma }{2))\end{array))

{\begin{array}{l}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}\!\left(x^{{{\frac {m}{n} ))}+x^{{-{\frac {m}{n))))\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2} )^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}\!\left(x^{{{\frac {m} {n))))+x^{{-{\frac {m}{n))))\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3 }\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \venstre(n^{2}-m^{2}\højre)\,}{8n^{2}}}\!\sum _{{l=0}}^{{2n-1}}\!(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \ln \ Gamma \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)\\[3mm]\displaystyle \,\,+{\frac {\,m\,}{\,8n^ {2}\,}}\!\sum _{{l=0}}^{{2n-1}}\!(-1)^{l}\sin {\dfrac {(2l+1)m\ pi }{2n}}\cdot \Psi \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)-{\frac {\,1\,}{\,32\pi n ^{2}\,}}\!\sum _{{l=0}}^{{2n-1}}(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \Psi _{1}\!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)+\,{\frac {\,\pi (n^{ 2}-m^{2})\,}{16n^{2}}}\sec {\dfrac {m\pi}{2n}}\cdot \ln 2\pi n\end{array}}

hvor m og n er positive heltal, således at m < n , G er den catalanske konstant , ζ er Riemann zetafunktionen , Ψ er digammafunktionen , Ψ 1 er trigammafunktionen; se henholdsvis ur. (43), (47) og (48) i [9] for de første tre integraler, og ex. 36-a, 36-b, 11-b og 13-b i [6] for de sidste fire (det tredje integral forekommer i begge papirer). Interessant nok fører nogle Malmsten-integraler til gamma- og polygamma-funktioner af det komplekse argument, som ikke er særlig almindelige i analyse. For eksempel,

\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+4x^{2}+x^{4}}} \,dx=\int \limits _{1}^{{\infty }}\!{\frac {x\ln \ln {x}}{1+4x^{2}+x^{4}}} \,dx={\frac {\,\pi \,}{\,2{\sqrt {3\,}}\,}}{\mathrm {Im}}\!\venstre[\ln \Gamma \! \left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{2\pi i}}\right)\!\right ]+\,{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,)))}{\,4{\sqrt {3\,}}\,}}\ln \pi

såvel som,

\int \limits _{{0}}^{{1}}\!{\frac {\,x\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{\,x^{4} -2x^{2}{\mathrm {ch}}{2}+1\,}}\,dx=\int \limits _{{1}}^({\infty }}\!{\frac {\ ,x\ln \ln {x}\,}{\,x^{4}-2x^{2}{\mathrm {ch}}{2}+1\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \,}{2\,{\mathrm {sh}}{2}\,}}{\mathrm {Im}}\!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{ \frac {i}{2\pi }}\right)-\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2\pi }}\ højre)\!\right]-{\frac {\,\pi ^{2}}{8\,{\mathrm {sh}}{2}\,}}-{\frac {\,\ln 2\ pi \,}{2\,{\mathrm {sh}}{2}\,}}

se Yaroslav Blagushin [6] , fhv. 7-a og 37 hhv. Det er også blevet fastslået, at Malmsten-integralerne er tæt beslægtede med de generaliserede Stieltjes-konstanter [6] [7] [15] , som stadig er dårligt forstået i øjeblikket.

I 1842 nåede Malmsten også at beregne flere vigtige logaritmiske rækker, blandt hvilke følgende to skiller sig mest ud:

\sum _{{n=0}}^{{\infty }}(-1)^{{n}}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\, {\frac {\pi }{4}}{\big (}\ln \pi -\gamma )-\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}(-1)^{{n-1}}{\frac {\sin an\cdot \ln {n}}{n}}\, =\,\pi \ln \venstre\{{\frac {\pi ^{({\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2\pi }}}}}{\Gamma \ venstre(\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {a}{2\pi }}\right)}}\right\}-{\frac {a}{2}}{\big (}\gamma +\ln 2{\big )}-{\frac {\pi }{2}}\ln \cos {\frac {a}{2}}\,,\qquad -\pi <a< \pi .

Det sidste resultat er især vigtigt, fordi det er en Fourier-rækkeudvidelse af logaritmen af gamma-funktionen , et resultat der normalt, og som vist i [6] , fejlagtigt tilskrives Ernst Kummer , som udledte en lignende formel

{\frac {1}{\pi }}\sum _{{n=1}}^({\infty }}{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}} =\ln \Gamma (x)-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {1}{2}}\ln(2\sin \pi x)-{\ frac {1}{2}}(\gamma +\ln 2\pi )(1-2x)\,,\qquad 0<x<1,

først i 1847 (strengt taget er Kummers resultat hentet fra Malmstens resultat ved at sætte a=π(2x-1)).

Malmsten ydede også et stort bidrag til teorien om zeta-funktioner, samt integraler og serier relateret til dem. Især var det ham, der i 1842 beviste det

L(s)\equiv \sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\qquad \qquad L(1-s)=L(s)\Gamma (s)2^{s}\pi ^{{-s))\sin {\frac {\pi s}{2)),

M(s)\equiv {\frac {2}{{\sqrt {3}}}}\sum _{{n=1}}^({\infty }}{\frac {(-1)^{{ n+1))}{n^{s))}\sin {\frac {\pi n}{3))\qquad \qquad M(1-s)=\displaystyle {\frac {2}{{\ sqrt {3))))\,M(s)\Gamma (s)3^{s}(2\pi )^{{-s))\sin {\frac {\pi s}{2)),

hvor rækkerne til venstre og højre konvergerer i 0<s<1. Interessant nok blev den første af disse formler angivet af Leonhard Euler i 1749 [16] , men det var Malmsten, der strengt beviste det. Det er ret morsomt, at formlen for serie L(s) også blev givet af Oskar Schlömilch i 1849, i øvrigt som en øvelse for studerende, men han udgav sit bevis først 9 år senere. [6] [17] [18] [19] Bemærkelsesværdig er ligheden mellem formlen for L(er) med den berømte Riemann- reflektionsformel

\zeta (1-s)=2\zeta (s)\Gamma (s)(2\pi )^{{-s}}\cos {\frac {\pi s}{2}}\,,\qquad \qquad \qquad s\neq 0.

som Riemann udledte i 1858, og som i øvrigt også første gang blev givet, dog i en lidt anden form, af Leonhard Euler i 1749 [16] . I 1846 udledte Malmsten også flere andre refleksionsformler, der er specialtilfælde af Hurwitz-reflektionsformlen for den generaliserede zetafunktion.

Når man taler om Malmstens bidrag til teorien om zeta-funktioner, kan man ikke undlade at nævne den meget nylige opdagelse af hans forfatterskab af refleksionsformlen for den første generaliserede Stieltjes-konstant

\gamma _{1}{\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}-\gamma _{1}{\biggl (}1-{\frac {m}{n}} {\biggr )}=2\pi \sum _{{l=1}}^{{n-1}}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma {\ biggl (}{\frac {l}{n}}{\biggr )}-\pi (\gamma +\ln 2\pi n){\mathrm {ctg}}{\frac {m\pi }{n} }

hvor m og n er positive heltal således at m < n . Denne lighed blev fejlagtigt i lang tid tilskrevet Almkvist og Meurman, som opnåede den halvandet århundrede senere end Malmsten [7] .

Det er bemærkelsesværdigt, at Malmstens skrifter er skrevet i et meget moderne sprog og er lette at læse (på trods af at mange er skrevet på latin, fransk og svensk). Desuden falder de i Malmstens værker antagne betegnelser næsten fuldstændig sammen med moderne, hvilket også i høj grad letter deres læsning.

Links

↑ 1 2 Carl J Malmsten (svensk) - 1917.
↑ 1 2 Malmsten i Mariestad, Carl J // Tvåkammar-riksdagen 1867–1970 (svensk) - V. 4. - S. 340.
↑ Skara domkyrkoförsamlings arkiv (tom 1933 Skara stadsförsamling), Födelse- och dopböcker, SE/GLA/13472/C/4 (1777-1816), bildid: C0052328_00096, side 170
↑ Mittag-Leffler og Acta (downlink) .
↑ "Om definita integraler mellan imaginära gränsor" (1865).
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Iaroslav V. Blagouchine Genopdagelse af Malmstens integraler, deres evaluering ved hjælp af konturintegrationsmetoder og nogle relaterede resultater. The Ramanujan Journal, vol. 35, nr. 1, s. 21-110, 2014. Arkiveret 12. december 2017 på Wayback Machine PDF Arkiveret 7. maj 2021 på Wayback Machine
↑ 1 2 3 Iaroslav V. Blagouchine En sætning til evaluering i lukket form af den første generaliserede Stieltjes-konstant ved rationelle argumenter og nogle relaterede summeringer Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 148, s. 537-592, 2015. Arkiveret 24. september 2015 på Wayback Machine arXiv PDF Arkiveret 14. december 2017 på Wayback Machine
↑ 1 2 I. Vardi Integrals, en introduktion til analytisk talteori. American Mathematical Monthly, vol. 95, s. 308-315, 1988.
↑ 1 2 3 4 V. Adamchik En klasse af logaritmiske integraler. Proceedings of the 1997 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, s. 1-8, 1997.
↑ 1 2 L. A. Medina og V H Moll En klasse af logaritmiske integraler. The Ramanujan Journal, vol. 20, nr. 1, s. 91-126, 2009.
↑ VH Moll Nogle spørgsmål i vurderingen af bestemte integraler. MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006.
↑ Eric W. Weisstein Vardis integral . Fra MathWorld-A Wolfram Web Resource. . Dato for adgang: 29. juni 2014. Arkiveret fra originalen 24. marts 2014. (ubestemt)
↑ NJA Sloane Sequence A115252 i The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . . Hentet 29. juni 2014. Arkiveret fra originalen 5. december 2014. (ubestemt)
↑ Det er mere korrekt at kalde integraler af denne type Malmsten-integraler frem for Vardy-integraler.
↑ Math StackExchange: evaluering af et bestemt integral (oprettet: 8. marts 2014) . Dato for adgang: 9. juli 2014. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016. (ubestemt)
↑ 1 2 L. Euler Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, année MDCCLXI, bind 17, pp. 83-106, A Berlin, chez Haude et Spener, Libraires de la Cour et de l'Académie Royale, 1768 [læst i 1749]
↑ GH Hardy Divergent-serien. Oxford ved Clarendan-pressen, 1949.
↑ H. Wieleitner Geschichte der Mathematik [i 2 bind] Berlin, 1922-1923.
↑ J. Dutka Om summeringen af nogle divergerende rækker af Euler og zeta-funktionerne. Arkiv for eksakte videnskabshistorie, bind 50, hæfte 2, s. 187-200, Arkiv for eksakte videnskabers historie, 27.VIII.1996. . Hentet 3. oktober 2017. Arkiveret fra originalen 16. juni 2018. (ubestemt)

Tematiske steder

Ordbøger og encyklopædier

svensk biografisk

I bibliografiske kataloger
GND : 123188113 ISNI : 0000 0000 8362 9883 LCCN : nr. 2010133410 LIBRIS : 31fjmfgm1n015sm VIAF : 20582701 WorldCat VIAF : 20582701