Operatør teori

Operatorteori er en gren af funktionel analyse , der studerer egenskaberne ved kontinuerlige lineære afbildninger mellem normerede rum . Generelt er en operator en analog af den mest almindelige funktion eller matrix i et finitdimensionelt rum. Men operatøren kan også agere i uendelig-dimensionelle rum.

En kortlægning fra et vektorrum til et vektorrum kaldes en lineær if -operator for enhver og i og enhver skalar og . Ofte skrevet i stedet for . En lineær operator fra et normeret rum til et normeret rum siges at være afgrænset, hvis der eksisterer et positivt reelt tal , således at for alle i . Den mindste konstant , der opfylder denne betingelse, kaldes operatørens norm og er betegnet med . Det er let at se, at en lineær operator mellem normerede rum er afgrænset, hvis og kun hvis den er kontinuert . Udtrykket "operator" i funktionel analyse betyder normalt en afgrænset lineær operator . $T$ $x$ $Y$ $T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)$ $x$ $y$ $x$ $\alfa$ $\beta$ $Tx$ $T(x)$ $x$ $Y$ $M$ $\lVert Tx\rVert \leqslant M\lVert x\rVert$ $x$ $x$ $M$ $T$ $\lVert T\rVert$

Mængden af alle (afgrænsede lineære) operatorer fra et normeret rum til et normeret rum er angivet med . I tilfældet, når de skriver i stedet for . Hvis er et Hilbert-rum , så skriver man normalt i stedet for . På , kan man introducere strukturen af et vektorrum gennem og , hvor , , og er en vilkårlig skalar. Med den indførte operatørnorm bliver det til et normeret rum . $x$ $Y$ $L(X,\;Y)$ $X=Y$ $L(X)$ $L(X,\;X)$ $H$ $B(H)$ $L(H)$ $L(X,\;Y)$ $(T+S)x=Tx+Sx$ $(\alpha T)x=T(\alpha x)=\alpha (Tx)$ $T,\;S\i L(X,\;Y)$ $x,\;y\i X$ $\alfa$ $L(X,\;Y)$

Især og for enhver og vilkårlig skalar . Et mellemrum er Banach , hvis og kun hvis det er Banach . $\lVert S+T\rVert \leqslant \lVert S\rVert +\lVert T\rVert$ $\lVert \alpha T\rVert =\venstre|\alpha \right|\cdot \lVert T\rVert$ $T,\;S\i L(X,\;Y)$ $\alfa$ $L(X,\;Y)$ $Y$

Lad og være normerede rum, og . Sammensætningen og betegnes og kaldes produktet af operatørerne og . På samme tid og . Hvis er et Banach-rum , så er udstyret med et produkt en Banach-algebra . $X,\;Y$ $Z$ $S\i L(X,\;Y)$ $T\i L(Y,\;Z)$ $S$ $T$ $TS$ $S$ $T$ $TS\i L(X,\;Z)$ $\lVert TS\rVert \leqslant \lVert T\rVert \cdot \lVert S\rVert$ $x$ $L(X)$

Der er flere hovedafsnit i operatørteori:

Spektralteori studerer spektret af en operator .
Operatør klasser. Især kompakte operatorer , Fredholm operatorer , isomorfismer , isometrier , strengt singularoperatorer osv. Ubegrænsede operatorer og delvist definerede operatorer , især lukkede operatorer , studeres også .
Operatører på særlige normerede rum.
- På Hilbert-rum studerer de selvtilknyttede , normale , enhedsmæssige , positive operatorer osv.
- På funktionsrum: differential- , pseudo -differential- , integral- og pseudo-integraloperatorer ; operatorer for multiplikation , substitution , substitution med vægt osv.
- På Banach-gitter : positive operatorer , regulære operatorer osv.
Sæt af operatorer (det vil sige delmængder ): operatoralgebraer , operatorsemigrupper osv. $L(X)$
Teorien om invariante underrum .

Litteratur

Sadovnichiy V. A. Teori om operatører. - M .: Forlag i Moskva. un-ta, 1979.
Dunford N., Schwartz J. Lineære operatører. Generel teori. — M.: IL, 1962. — 896 s.
Dunford N., Schwartz J. Lineære operatører. Spektral teori. — M.: Mir. 1966. - 1064 s.