Strengt ental operator

En afgrænset lineær operator mellem normerede rum siges at være stærkt singular, hvis dens begrænsning til ethvert uendeligt dimensionelt underrum ikke er en isomorfisme . Det vil sige, at operatøren i er strengt ental, hvis der for ethvert uendeligt-dimensionelt underrum i rummet og ethvert positivt reelt tal er en vektor i sådan, at . $T$ $L(X,Y)$ $M$ $x$ $c$ $x$ $M$ $\lVert Tx\rVert <c\lVert x\rVert$

Enhver kompakt operatør er strengt ental. For mange rum er det modsatte også tilfældet. Især, hvis for eller , så er enhver strengt ental operatør fra til kompakt. Enhver operatør fra til er strengt ental hvis og kompakt hvis . Produktet af to strengt enestående operatorer på eller på C(K) er en kompakt operator. $X=\ell _{p}$ $1\leq p<+\infty$ $X=c_{0}$ $x$ $x$ $\ell _{p}$ ${\displaystyle \ell _{q))$ $1\leq p<q<+\infty$ $1\leq q<p<+\infty$ $L_{p}[0,1]$ $1\leq p<+\infty$

Spektret af en strengt singulær operator er enten en endelig mængde eller en sekvens, der konvergerer til nul. Spektrets ikke-nulpunkter er operatørens egenværdier.

Ligesom kompakte operatorer danner stærkt singulære operatorer et operatorideal i betydningen A. Pietsch. Det vil sige, at når en strengt entalsoperator multipliceres med en afgrænset operator fra venstre eller højre, opnås igen en strengt entalsoperator. I dette tilfælde kan operatører handle mellem forskellige rum.

C.Read konstruerede et eksempel på en strengt singular operator uden invariante underrum . T. Gowers og B. Maurey konstruerede Banach-rum, hvor enhver operator er skrevet som , hvor er en skalar, er en identisk operator og er en strengt ental operator. $cI+S$ $c$ $jeg$ $S$