Teori om lineære stationære systemer

Teorien om lineære stationære systemer er en gren af teorien om dynamiske systemer , der studerer opførsel og dynamiske egenskaber af lineære stationære systemer (LSS). Det bruges til at studere styringsprocesser af tekniske systemer, til digital signalbehandling og i andre områder af videnskab og teknologi.

Oversigt

De definerende egenskaber for ethvert lineært stationært system er linearitet og stationaritet :

Linearitet betyder et lineært forhold mellem input og output af systemet.

Formelt kaldes et system lineært, hvis det har følgende egenskab:

hvis signalet ved systemets indgang kan repræsenteres af en vægtet sum af påvirkninger (for eksempel to) - x ( t ) = A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) så er signalet ved systemets udgang også en vægtet sum af reaktioner på hver af påvirkningerne - y ( t ) = A y 1 ( t ) + B y 2 ( t ) for enhver konstant A og B.

Stationaritet betyder, at systemets udgangssignal som reaktion på et givet inputsignal er det samme for ethvert tidspunkt, hvor inputsignalet påføres (op til forsinkelsestiden for tidspunktet for påføring af inputsignalet). I en snævrere forstand, hvis indgangssignalet er forsinket i tid med en vis mængde, vil udgangssignalet blive forsinket med samme mængde.

Dynamikken i systemer med ovenstående egenskaber kan beskrives ved en simpel funktion, for eksempel impulstransientfunktionen . Systemets output kan beregnes som en foldning af indgangssignalet med systemets impulsovergangsfunktion. Denne analysemetode kaldes undertiden tidsdomæneanalyse . Ovenstående gælder også for diskrete systemer.

Derudover kan enhver LSS beskrives i frekvensdomænet ved dens overførselsfunktion , som er Laplace-transformationen af impulsresponsfunktionen (eller Z-transform i tilfælde af diskrete systemer). På grund af egenskaberne ved disse transformationer vil systemets output i frekvensdomænet være lig med produktet af overførselsfunktionen og den tilsvarende transformation af inputsignalet. Med andre ord svarer foldning i tidsdomænet til multiplikation i frekvensdomænet.

For alle LSS er egenfunktioner komplekse eksponenter . Det vil sige, at hvis systemets input er et komplekst signal med en vis kompleks amplitude og frekvens , vil outputtet være lig med et signal med en kompleks amplitude . Forholdet vil være systemets overførselsfunktion ved frekvens . $A\exp({st})$ $EN$ $s$ $B\exp({st})$ $B$ $B/A$ $s$

Da sinusoider er summen af komplekse eksponenter med komplekse konjugerede frekvenser, hvis systemets input er en sinusoid, så vil systemets output også være en sinusoid, i det generelle tilfælde med en anden amplitude og fase, men med den samme frekvens .

LSS-teorien er velegnet til at beskrive mange systemer. De fleste LSS'er er meget nemmere at analysere end ikke-stationære og ikke-lineære systemer. Ethvert system, hvis dynamik er beskrevet af en lineær differentialligning med konstante koefficienter, er et lineært stationært system. Eksempler på sådanne systemer er elektriske kredsløb samlet af modstande , kondensatorer og induktorer (RLC-kredsløb). En vægt på en fjeder kan også betragtes som LSS.

De fleste af de generelle koncepter for LSS er ens i tilfælde af kontinuerlige systemer såvel som i tilfælde af diskrete systemer.

Stationaritet og lineære transformationer

Overvej et ikke-stationært system, hvis impulsrespons er en funktion af to variable. Lad os se, hvordan stationaritetsegenskaben hjælper os med at slippe af med én dimension. Lad for eksempel indgangssignalet være , hvor argumentet er tallene på den reelle akse, det vil sige . Linjeoperatøren viser, hvordan systemet håndterer dette input. Den tilsvarende operator for nogle sæt af argumenter er en funktion af to variable: $x(t)$ $t\in \mathbb {R}$ ${\mathcal {H}}$

h(t_1, t_2) \mbox{, } t_1, t_2 \in \mathbb{R}.

For et diskret system:

h[n_1, n_2] \mbox{, } n_1, n_2 \i \mathbb{Z}.

Da det er en lineær operator, er systemets effekt på inputsignalet repræsenteret af en lineær transformation beskrevet af følgende integral (superpositionsintegral) ${\mathcal {H}}$ $x(t)$

y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1, t_2) \, x(t_2) \, d t_2.

Hvis den lineære operator også er stationær, så ${\mathcal {H}}$

h(t_1, t_2) = h(t_1 + \tau, t_2 + \tau) \qquad \forall \, \tau \in \mathbb{R}.

Putting

\tau =-t_{2},

vi får:

h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}-t_{2},0).

For kortheds skyld er det andet argument i normalt udeladt, og superpositionsintegralet bliver foldningsintegralet: $h(t_1, t_2)$

y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1 - t_2) \, x(t_2) \, d t_2 = (h * x) (t_1).

Således viser foldningsintegralet, hvordan et lineært stationært system behandler ethvert indgangssignal. Den resulterende relation for diskrete systemer:

y[n_1] = \sum_{n_2=-\infty}^{\infty} h[n_1 - n_2] \, x[n_2] = (h * x) [n_1].

Impuls transient funktion

Hvis et indgangssignal i form af Dirac delta-funktionen påføres systemets indgang , vil det resulterende udgangssignal fra LSS være systemets impulstransientfunktion . Indspilning:

(h * \delta) (t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) \, \delta (\tau) \, d \tau = h(t),

For et diskret system:

x[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty x[m] \delta[nm].

(på grund af deltafunktionens shift-egenskab).

Læg mærke til det:

h(t) = h(t, 0) \ (\mbox{med } t = t_1 - t_2)

det vil sige systemets impulsovergangsfunktion $h(t)$

Impulstransientfunktionen bruges til at finde systemets udgangssignal som et svar på ethvert inputsignal. Derudover kan ethvert input repræsenteres som en superposition af deltafunktioner:

x(t) = \int\grænser_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

Ved at anvende systemets input får vi:

\mathcal{H} x(t) = \mathcal{H} \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty \mathcal{H} x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

(fordi det er lineært)

{\mathcal {H}}

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \mathcal{H} \delta(t-\tau) \,d\tau

(fordi den er konstant i t og lineær)

x(\tau)

{\mathcal {H}}

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) \,d\tau

(per definition af )

h(t)

Impulsovergangsfunktionen indeholder al information om LSS-dynamikken. $h(t)$

Egne funktioner

En egenfunktion er en funktion, hvor outputtet fra operatoren er den samme funktion, i det generelle tilfælde op til en konstant faktor. Indspilning:

\mathcal{H}f = \lambda f

hvor f er en egenfunktion, og er en egenværdi , en konstant. $\lambda$

Eksponenterne , hvor er egenfunktionerne for den lineære stationære operator. Simpelt bevis: $e^{st}$ $s \in \mathbb{C}$

Lad systemets indgangssignal være . Så er systemets output : $x(t) = e^{st}$ $h(t)$

\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) e^{s \tau} d \tau

som er ækvivalent med følgende udtryk på grund af kommutativiteten af foldning:

\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{s (t - \tau)} \, d \tau

\quad = e^{st} \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{-s \tau} \, d \tau

\quad = e^{st} H(s)

hvor

H(s) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-st} dt

afhænger kun af s .

Således er egenfunktionen af LSS. $e^{st}$

Laplace- og Fourier-transformationer

Laplace transformation

H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\} = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-st} dt

er en nøjagtig måde at få egenværdierne fra impulsresponsfunktionen. Af særlig interesse er rene sinusoider, det vil sige eksponenter af formen, hvor og er den imaginære enhed . De kaldes normalt komplekse eksponenter, selvom argumentet ikke har en reel del. Fourier-transformationen giver egenværdier for rent komplekse sinusoider. kaldes systemets overførselsfunktion , nogle gange i litteraturen anvendes dette udtryk også på . $\exp({j \omega t})$ $\omega \in \mathbb{R}$ $j$ $H(j \omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}$ $H(s)$ $H(j\omega)$

Laplace-transformationen bruges normalt til ensidede signaler, dvs. med nul begyndelsesbetingelser. Tidens indledende øjeblik tages som nul uden tab af generalitet, og transformationen tages fra nul til uendelig (transformationen, der opnås ved at integrere også til minus uendelig, kaldes den tosidede Laplace-transformation ).

Fourier-transformationen bruges til at analysere systemer, hvorigennem periodiske signaler passerer, og i mange andre tilfælde - for eksempel til at analysere et system for stabilitet .

På grund af konvolutionens egenskaber gælder følgende relationer for begge transformationer:

y(t) = (h*x)(t) = \int\grænser_{-\infty}^\infty h(t - \tau) x(\tau) d \tau

\quad = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)\}

For diskrete systemer:

y[n] = (h*x)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty h[nm] x[m]

\quad = \mathcal{Z}^{-1}\{H(s)X(s)\}

Nogle egenskaber

Nogle af de vigtige egenskaber ved ethvert system er kausalitet og stabilitet. For at systemet kan eksistere i den virkelige verden, skal kausalitetsprincippet være opfyldt. Ubæredygtige systemer kan bygges og nogle gange endda være nyttige.

Kausalitet

Et system kaldes kausalt, hvis dets output kun afhænger af den aktuelle eller tidligere anvendte handling. Nødvendig og tilstrækkelig betingelse for kausalitet:

h(t) = 0 \quad \foralt t < 0,

For diskrete systemer:

h[n] = 0 \ \foralt n < 0,

hvor er impulsovergangsfunktionen. I en eksplicit form er det umuligt at bestemme årsagssystemet eller ej ud fra dets Laplace-transformation i det generelle tilfælde, da den omvendte Laplace-transformation ikke er unik. Kausalitet kan bestemmes, når konvergensområdet er givet . $h(t)$

Bæredygtighed

Systemet er stabilt i bounded input, bounded output ( engelsk bounded input, bounded output stabil, BIBO stabil ), hvis udgangssignalet for hvert begrænset input er endeligt. Optagelse: Hvis

||x(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^p dt \right)^{ 1/p} < \infty

||y(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |y(t)|^p dt \right)^{ 1/p} < \infty

(det vil sige maksima for de absolutte værdier og er endelige), så er systemet stabilt. Nødvendig og tilstrækkelig betingelse for stabilitet: systemets impulsrespons, , skal tilfredsstille udtrykket $x(t)$ $y(t)$ $h(t)$

||h(t)||_1 = \int\limits_{-\infty}^\infty |h(t)| dt < \infty.

For diskrete systemer:

||h[n]||_1 = \sum_{n = -\infty}^\infty |h[n]| < \infty.

I frekvensdomænet skal konvergensområdet indeholde den imaginære akse . $s=j\omega$

Teori om lineære stationære systemer

Oversigt

Stationaritet og lineære transformationer

Impuls transient funktion

Egne funktioner

Laplace- og Fourier-transformationer

Nogle egenskaber

Kausalitet

Bæredygtighed

Se også

Links