Midtpunkt

Midtpunktet af et segment er et punkt på et givet segment , der er i lige stor afstand fra begge ender af det givne segment. Det er massecentrum for både hele segmentet og dets endepunkter.

Koordinater

Midtpunktet af segmentet i det dimensionelle rum, hvis ender er punkterne og , er givet ved formlen: $n$ $A=(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})$ $B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$

{\frac {A+B}{2}}

Således er den -. koordinat af midtpunktet ( ): $jeg$ $i=1,2,\dots ,n$

{\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}

Konstruktion

Hvis der er givet to punkter, kan man finde midten af det segment, der er dannet af dem, ved hjælp af et kompas og en straightedge . For at finde midtpunktet af et segment på en plan kan du først konstruere to buer med lige stor (og tilstrækkelig stor) radius med centre for enderne af segmentet og derefter tegne en ret linje gennem skæringspunkterne for disse buer. Det punkt, hvor den resulterende rette linje skærer segmentet, er dets midtpunkt.

Ved hjælp af Mohr-Mascheroni-sætningen er det også muligt at finde midten af et segment kun ved hjælp af et kompas: ved første trin konstrueres et punkt for segmentet , symmetrisk til punktet i forhold til punktet ; i det andet trin konstrueres inversionen af punktet i forhold til cirklen med radius centreret i punktet ; det resulterende punkt er midtpunktet af segmentet [1] [2] [3] . $(AB)$ $C$ $EN$ $B$ $C$ $|AB|$ $EN$ $(AB)$

Du kan også konstruere midtpunktet af et segment kun ved hjælp af en lineal, forudsat at der er en cirkel på planet med et markeret centrum [4] .

Geometriske egenskaber

Midtpunktet af enhver diameter af en cirkel er midten af cirklen. En vinkelret på enhver akkord , der passerer gennem dens midtpunkt, passerer gennem midten af cirklen. Sommerfuglesætningen siger, at hvis er midtpunktet af en akkord og to andre akkorder og passerer gennem midtpunktet , så skærer de akkorden på punkter og henholdsvis på en sådan måde, at det er midtpunktet af segmentet . $M$ $PQ$ $AB$ $CD$ $AD$ $f.Kr$ $PQ$ $x$ $Y$ $M$ $XY$

Ellipsens centrum er midtpunktet af det segment, der forbinder ellipsens to brændpunkter .

Midtpunktet af segmentet, der forbinder hyperbelens toppunkter, er hyperbelens centrum.

Vinkelrette på midtpunkterne af siderne i en trekant skærer hinanden i et punkt, og dette punkt er midten af den omskrevne cirkel . Centrum af trekantens ni punkter er midtpunktet af det segment, der forbinder midten af den omskrevne cirkel med orthocentret af den givne trekant. Hjørnerne af den mediale trekant i en given trekant ligger ved midtpunkterne af trekantens sider.

I en retvinklet trekant er midten af den omskrevne cirkel midten af hypotenusen . I en ligebenet trekant falder medianen, højden og halveringslinjen af vinklen i toppunktet sammen med Euler-linjen og symmetriaksen , og denne linje passerer gennem midten af basen.

De to bimedianer af en konveks firkant er linjestykkerne, der forbinder midtpunkterne på modsatte sider. To bimedianer og et segment, der forbinder diagonalernes midtpunkter, skærer hinanden i et punkt, som er midtpunktet af disse tre segmenter [5] . Brahmaguptas sætning siger, at hvis en firkant, der er indskrevet i en cirkel, er ortodiagonal (det vil sige har vinkelrette diagonaler ), så passerer perpendikulerne til siderne fra skæringspunktet mellem diagonalerne altid gennem midtpunktet på den modsatte side. Varignons teorem siger, at midtpunkterne på siderne af en vilkårlig firkant er hjørnerne af et parallelogram , og hvis firkanten også er selvadskillende, så er arealet af parallelogrammet lig med halvdelen af firkantens areal. Newtons linje er en linje, der forbinder midtpunkterne af to diagonaler af en konveks firkant, der ikke er et parallelogram. Linjestykkerne, der forbinder midtpunkterne på modsatte sider af en konveks firkant, skærer hinanden i et punkt, der ligger på Newtons linje.

En regulær polygon har en incirkel , der tangerer alle sider af polygonen i midten af dens sider. I en regulær polygon med et lige antal sider er midtpunkterne af diagonalerne , der forbinder modsatte centre, polygonens centrum. En medianpolygon er en polygon, hvis toppunkter er midtpunkterne på kanterne af den oprindelige polygon. Den strakte midtpunktspolygon af en indskrevet polygon P er en anden indskrevet polygon indskrevet i den samme cirkel, og dens spidser er midtpunkterne på buerne mellem spidserne af P [6] . Gentagelse af operationen med at skabe en polygon af strakte midtpunkter resulterer i en sekvens af polygoner, hvis form konvergerer til en regulær polygon [6] [7] .

Generaliseringer

Midtpunktet af et segment er en affin invariant , så koordinatformlerne kan anvendes på ethvert affint koordinatsystem .

Midtpunktet af et segment kan ikke defineres i projektiv geometri : ethvert indre punkt i et segment kan afbildes projektivt til et hvilket som helst andet punkt inde i (det samme eller et hvilket som helst andet) projektivt segment. Fastsættelse af et sådant punkt som et midtpunkt definerer en affin struktur på den projektive linje, der indeholder dette segment. Det fjerde punkt i den harmoniske quad for et sådant "midtpunkt" og to endepunkter er punktet ved uendelig [8] .

Begrebet midtpunktet af et segment kan introduceres på geodetik i en Riemann-manifold , men i modsætning til det affine tilfælde er midtpunktet af et segment muligvis ikke unikt.

Noter

↑ Kostovsky, 1984 , s. tyve.
↑ Courant, Robbins, 2001 , s. 172-179.
↑ Wolfram mathworld (utilgængeligt link) (29. september 2010). Hentet 20. juli 2015. Arkiveret fra originalen 25. november 2016. (ubestemt)
↑ Adler, 1940 , s. 67-72.
↑ Altshiller-Court, 2007 .
↑ 1 2 Ding, Jiu, Zhang, 2003 , s. 255-270.
↑ Gomez-Martin, Taslakian, Toussaint, 2008 .
↑ Coxeter, 1949 , s. 119.

Litteratur

A. N. Kostovsky. Geometriske konstruktioner med ét kompas. - M . : "Nauka" Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur, 1984. - (Populære forelæsninger om matematik).
August Adler. Teori om geometriske konstruktioner. - Leningrad: Statens pædagogiske og pædagogiske forlag for Folkets Uddannelseskommissariat for RSFSR, Leningrad-afdelingen, 1940.
R. Courant, G. Robbins. Hvad er matematik?. - 3. - MTSNMO, 2001. - ISBN 5-900916-45-6.
Jiu Ding, L. Richard Hitt, Xin-Min Zhang. Markov-kæder og dynamisk geometri af polygoner // Lineær algebra og dens anvendelser. - 2003. - T. 367 . - doi : 10.1016/S0024-3795(02)00634-1 .
Francisco Gomez-Martin, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint. 18. efterårsworkshop om beregningsgeometri . – 2008.
HSM Coxeter . Det rigtige projektive plan. - New York, Toronto, London: McGraw-Hill, 1949.
H. S. M. Coxeter. Rigtigt projektivt plan. - M . : Fizmatlit, 1959.
Nathan Altshiller-Court. College geometri. - Mineola, New York: Dover Publ., 2007. - ISBN 0-486-45805-9 .