Hilberts syvende problem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 18. april 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Hilberts syvende problem er et af de 23 problemer , som David Hilbert foreslog den 8. august 1900 ved II International Congress of Mathematicians . Problemet er relateret til beviset og undersøgelsen af nogle tals transcendens og irrationalitet .

Udtalelse af problemet

Nedenfor er et uddrag af Hilberts rapport [1] om det syvende problem.

Hermites aritmetiske eksponentielle funktionssætninger og deres udvikling af Lindemann vil uden tvivl forblive forbløffende for matematikere i alle generationer. Men nu opstår problemet - at gå videre ad den asfalterede vej, som Hurwitz allerede gjorde i sine to interessante undersøgelser "Om visse transcendentale funktioners aritmetiske egenskaber" [2] . Derfor vil jeg gerne pege på den klasse af problemer, der efter min mening bør betragtes som de nærmeste i denne retning. Når vi lærer, at visse specielle transcendentale funktioner , som spiller en væsentlig rolle i analyse , tager algebraiske værdier for visse algebraiske værdier af argumentet, så forekommer denne omstændighed os især overraskende og værdig til yderligere undersøgelse. Vi forventer altid, at transcendentale funktioner generelt tager transcendentale værdier for algebraiske værdier af argumenterne, og selvom vi godt er klar over, at der endda er sådanne hele transcendentale funktioner, der tager rationelle værdier for alle algebraiske værdier af argumentet, anser vi det stadig for meget sandsynligt, at en sådan funktion som f.eks. eksponentiel , der naturligvis for alle rationelle værdier af argumentet tager algebraiske værdier, på den anden side altid vil have transcendentale værdier for alle algebraiske irrationelle værdier . Denne erklæring kan også gives en geometrisk form som følger. Hvis forholdet mellem vinklen ved basen og vinklen ved spidsen i en ligebenet trekant er et algebraisk, men ikke rationelt tal, så er forholdet mellem basen og siden et transcendentalt tal . Trods enkelheden af denne påstand, såvel som dens lighed med problemerne løst af Hermite og Lindemann, forekommer dens bevis for mig ekstremt vanskeligt, såvel som beviset for, at graden af en algebraisk base og en algebraisk irrationel eksponent - som f.eks. tal eller - der er altid enten et transcendentalt tal eller i det mindste et irrationelt tal. Man kan være sikker på, at løsningen af dette og lignende problemer bør føre os til nye synspunkter på essensen af særlige irrationelle og transcendentale tal [3] . $e^{{i\pi z}}$ $z$ $z$ $\alpha ^{{\beta }}$ $\alfa$ $\beta$ $2^{{\sqrt {2}}}$ $e^{{\pi }}=i^{{-2i}}$

Løsning

Hilbert selv anså det syvende problem for meget vanskeligt. Karl Siegel citerer Hilbert [4] , hvori han tilskriver tiden til at løse det syvende problem meget længere end at bevise Riemann-hypotesen og Fermats sætning .

Ikke desto mindre opnåede A. O. Gelfond allerede i 1929 [5] en delvis løsning relateret til transcendensen af forholdet mellem basen og sidesiden af en ligebenet trekant , og transcendensen af tallet blev bevist af R. O. Kuzmin i 1930 [6 ] . I 1934 opnåede Gelfond den endelige løsning på problemet [7] : han beviste, at et tal af formen hvor er et algebraisk tal andet end og a er et irrationelt algebraisk tal altid er transcendentalt [8] (tallet modtog senere endda navn på Gelfonds konstant ). Lidt senere blev løsningen også opnået af Theodor Schneider [9] . $2^{{{\sqrt 2}}}$ $\alpha ^{\beta },$ $\alfa$ $0$ $en,$ $\beta$ $e^{\pi}$

Noter

↑ Hilbert, David . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (tysk) (utilgængeligt link) . — Tekst til rapporten læst af Hilbert den 8. august 1900 ved den II Internationale Mathematicians Congress i Paris. Hentet 27. august 2009. Arkiveret fra originalen 8. april 2012.
↑ Hurwitz, Adolf . Über aritmetische Eigenschaften gewisser transcendenten Functionen (tysk) // Mathematische Annalen . - Berlin: Springer, 1883. - Bd. 22 , nr. 2 . - S. 211-229 . (utilgængeligt link)
↑ Oversættelse af Hilberts rapport fra tysk - M. G. Shestopal og A. V. Dorofeev , udgivet i bogen Hilberts problemer / Ed. P.S. Alexandrova . - M . : Nauka, 1969. - S. 36-37. - 240 sek. — 10.700 eksemplarer. Arkiveret 17. oktober 2011 på Wayback Machine
↑ Siegel C.L. Transcendentale tal . - Princeton: Princeton University Press, 1949. - Vol. 16. - 102 s. - (Annaler om matematikstudier). — ISBN 0-691-09575-2 . Arkiveret 12. november 2012 på Wayback Machine - S. 84.
↑ Gelfond A. Sur les nombres transcendants (fransk) // Comptes Rendus de l'Académie des sciences. - Paris, 1929. - Bd. 189 . - S. 1224-1228 .
↑ Kuzmin R. O. Om en ny klasse af transcendentale tal // Bulletin of the Academy of Sciences of the USSR. VII serie. Institut for Fysiske og Matematiske Fag. - 1930. - Nr. 6 . - S. 585-597 .
↑ Gelfond A. O. Om det syvende problem af Hilbert // Reports of the Academy of Sciences of the USSR. - 1934. - T. 2 . - S. 1-6 .
↑ Rybnikov K. A. . Matematikkens historie. 2. udg. - M . : Forlag i Moskva. un-ta, 1974. - 455 s. - S. 304.
↑ Schneider T. Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen (tysk) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1934. - Bd. 172 . - S. 65-69 .

Litteratur

Gelfond A. O. . Om det syvende problem af Hilbert // Problems of Hilbert / red. P.S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 s. — 10.700 eksemplarer. Arkiveret17. oktober 2011 påWayback Machine - s. 121-127.
Feldman N. I. . Hilberts syvende problem. - M. : Forlag ved Moscow State University, 1982. - 312 s.
Bolibrukh A. A. . Hilberts syvende problem: Irrationelle tal // Hilbert-problemer (100 år senere) . - M .: MTSNMO , 1999. - 24 s. - ( Bibliotek "Matematisk Uddannelse" , hæfte nr. 2). - 3000 eksemplarer.
Tikhomirov V. M. , Uspensky V. V. 30'ernes sovjetiske matematik (II): A. O. Gelfond og L. G. Shnirelman, del "Alexander Osipovich Gelfond og Hilberts syvende problem" // Matematisk uddannelse , serie nr. 3. - 2000. - Issue. 4 . - S. 33-48 .

Hilbert problemer
en 2 3 fire 5 6 7 otte 9 ti elleve 12 13 fjorten femten 16 17 atten 19 tyve 21 22 23 ( 24 )