Gelfond-Schneider-sætning

Gelfond-Schneider- sætningen er en sætning i talteori , der etablerer transcendens af en stor klasse af tal og derved løser (bekræftende) Hilberts syvende problem . Det blev bevist uafhængigt i 1934 af den sovjetiske matematiker Alexander Gelfond [1] og den tyske matematiker Theodor Schneider [2] .

Ordlyd

Hvis - algebraiske tal , og ikke nul og ikke én, men irrationelle , så er enhver værdi et transcendentalt tal . $a,b$ $-en$ $b$ $a^{b}$

Ækvivalente formuleringer for logaritmer (grundlaget for logaritmen er valgt vilkårligt) [3] :

Hvis - algebraiske tal , ikke lig med nul eller en, så - enten rationelt eller transcendentalt tal . $a,b$ $\log(b)/\log(a)$

Hvis er lineært uafhængige over feltet af rationelle tal , så er de også lineært uafhængige over feltet af algebraiske tal . $\log(a),\log(b)$

For en generalisering af den sidste formulering, se artiklen Theory of transcendental numbers .

Værdier kan ikke kun være reelle , men også komplekse tal ; da den komplekse grad er flervurderet, fremhæves den især i formuleringen: enhver værdi . $a,b$
Hvis vi fjerner kravet, der var algebraiske tal , vil sætningen være forkert. Eksempel: $a,b$

{\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2} }\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.

Fra eksemplet, under hensyntagen til sætningen, er det også indlysende, at det er et transcendentalt tal.

{{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}

Sætningen indebærer transcendens af nogle vigtige matematiske konstanter .

Gelfond-Schneider-konstanten og kvadratroden af den allerede nævnt ovenfor : $2^{{{\sqrt {2))))$ ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.$
Gelfonds konstant , og $e^{\pi }=\left(e^{i\pi}\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots$ $i^{i}=\left(e^{i\pi /2}\right)^{i}=e^{-\pi /2}=0.207879576\ldots .$

↑ Gelfond A. O. Sur le septième problème de Hilbert // Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR. VII serie. Institut for Matematisk og Naturvidenskab. - M. , 1934. - Udgave. 4 . - S. 623-634 . Arkiveret fra originalen den 9. august 2018.
↑ Schneider, Theodor . Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen, Teil 1,2, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, bind 172, 1934, pp. 65-69, 70-74.
↑ Feldman .

Gelfond A. O. Transcendentale og algebraiske tal. - M. : GITTL, 1952. - 224 s.
Transcendentalt nummer // Matematisk leksikon (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5.
Feldman N.I. Hilberts syvende problem. - M. : Publishing House of Moscow State University, 1982. - 312 s.
Bager, Alan. Transcendental talteori. - Cambridge University Press , 1975. - ISBN 0-521-20461-5 .
Lang, Serge. Introduktion til transcendentale tal. - Addison-Wesley, 1966. - ISBN 0-521-20461-5 .