Mercator serien

Mercator-serien (nogle gange kaldet Newton-Mercator-serien ) i matematisk analyse er Taylor-serien for den naturlige logaritmefunktion , først udgivet af den tyske matematiker Nicholas Mercator (Kaufmann) i afhandlingen Logarithmotechnia (1668):

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{ 4}}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}

Leibniz kaldte Mercator "den første opfinder af uendelige serier" for denne opdagelse; før Mercator betragtede europæiske matematikere næsten udelukkende numeriske serier , der ikke indeholdt nogen variable. Uanset Mercator, blev denne serie opdaget af Isaac Newton . I " The Method of Fluxions and Infinite Series with its Application to the Geometry of Curves " (1671, udgivet posthumt i 1736), udtrykte Newton overraskelse over, at før Mercator ingen " rettede sin opmærksomhed mod anvendelsen på bogstaver [variable] af principperne af den nyligt opdagede doktrin om decimalbrøker, især fordi den åbner vejen for sværere og vigtigere opdagelser ” [1] .

Mercator-serien bidrog til stigningen i masseinteressen for brugen af uendelige serier og dannelsen af en generel teori om serier og funktioner. Ved slutningen af det 17. århundrede udvidede dette emne sig betydeligt og blev til matematisk analyse [2] .

Mercator-serien konvergerer ved , selvom konvergensen er ret langsom. For serien konvergerer absolut . $-1<x\leqslant 1,$ $|x|<1$

Historie

I 1647 opdagede Grégoire de Saint-Vincent sammenhængen mellem logaritmen og området under hyperbelen (se figur). I 1650, baseret på geometriske overvejelser, offentliggjorde den italienske matematiker Pietro Mengoli i afhandlingen " Nye aritmetiske kvadraturer " udvidelse til en uendelig række [3] : $\ln 2$

\ln 2={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}\dots

I 1657 blev denne formel uafhængigt udgivet af den engelske matematiker William Braunker i hans papir " Squaring a hyperbela by hjälp af en uendelig række af rationelle tal " [3] .

I 1668 overvejede den tyske matematiker Nicholas Mercator (Kaufmann), der dengang boede i London, i afhandlingen " Logarithmotechnia " for første gang udvidelsen til en række af ikke tal, men funktioner [4] :

{\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+\dots

Derefter fandt han områderne under venstre og højre del af denne nedbrydning ( integrerede dem i moderne termer) og opnåede "Mercator-serien", som han skrev ud for værdierne og . Mercator undersøgte ikke seriens konvergens, men umiddelbart efter udgivelsen af Mercators værk påpegede John Wallis , at serien er egnet til (negative tal blev så negligeret). $x=0{,}1$ $x=0{,}21$ $0\leqslant x<1$

Som videnskabshistorikere har opdaget, udledte Newton den samme serie i 1665, men gad som sædvanlig ikke udgive [5] . Newtons dybe undersøgelser inden for området for uendelige serier blev først offentliggjort i 1711, i afhandlingen " Analyse ved hjælp af ligninger med et uendeligt antal led " [1] .

Variationer og generaliseringer

Mercator-serien er uegnet til rigtige beregninger, da den konvergerer meget langsomt og i et begrænset interval. Men allerede i året for Mercators udgivelse (1668) foreslog James Gregory en modificeret version af den:

\ln \venstre({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\venstre(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)

Denne serie konvergerer meget hurtigere, og det logaritmiske udtryk kan allerede repræsentere ethvert positivt tal , for så er den absolutte værdi mindre end én [5] . Eksempelvis er summen af de første 10 led i Mercator-rækken for lig her, kun den første decimal er korrekt, mens Gregory-rækken giver en værdi , hvor 10 ud af 13 cifre er korrekte [6] . $z={\frac {1+x}{1-x}}$ $x={\frac {z-1}{z+1))$ $\ln 2$ $0{,}646,$ $0{,}6931471805498,$

På det komplekse plan antager Mercator-serien en generaliseret form:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots

Dette er Taylor-serien for en kompleks funktion, hvor symbolet ln angiver hovedgrenen (hovedværdien) af den komplekse naturlige logaritme . Denne serie konvergerer i en cirkel . $f(z)=-\ln(1-z),$ $|z|\leqslant 1,z\neq 1$

Noter

↑ 1 2 Newton I. Matematiske værker . - M. - L. : ONTI, 1937. - S. 3 -24, 25. - 452 s.
↑ Læser om matematikkens historie. Matematisk analyse. Sandsynlighedsteori / Udg. A. P. Yushkevich . - M . : Uddannelse, 1977. - S. 121. - 224 s.
↑ 1 2 Matematikkens historie, bind II, 1970 , s. 158.
↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 158-161.
↑ 1 2 Matematikkens historie, bind II, 1970 , s. 162.
↑ Hairer E., Wanner G. Calculus i lyset af dens historie . - M . : Scientific world, 2008. - S. 27 . — 396 s. - ISBN 978-5-89176-485-9 .

Litteratur

Matematik i det 17. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1970. - T. II.

Links

Abelson I. B. Mercator finder nøglen // Logaritmers fødsel. - M. - L .: Gostekhizdat, 1948. - 231 s.
Weisstein, Eric W. Mercator Series (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .

Sekvenser og rækker
Sekvenser	Numerisk rækkefølge Grundlæggende rækkefølge Lineær tilbagevendende sekvens Fibonacci-tal krøllede tal Faktoriel Barker-sekvens de bruijn rækkefølge
Rækker, grundlæggende	Rækkesum Resten af rækken Betinget konvergens Skiftende serie Række multisektion
Talserier ( operationer med talserier )	harmoniske serier Leibniz-serien En række omvendte firkanter En række gensidige primtal Dirichlet række Mercator serien Række Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionelle rækker	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serien Trigonometrisk Fourier-serie trigonometriske serier Wiener-serien
Andre rækketyper	Neumann-serien Puiseux række