Eksponentiel funktion

En eksponentiel funktion er en matematisk funktion , hvor den kaldes gradens basis , og er eksponenten . ${\displaystyle f(x)=a^{x))$ $-en$ $x$

I det reelle tilfælde er gradens basis et ikke-negativt reelt tal (for negative tal er hævning til en reel ikke-heltals potens ikke defineret), og funktionsargumentet er en reel eksponent. $-en$
I teorien om komplekse funktioner betragtes et mere generelt tilfælde, når et vilkårligt komplekst tal kan være et argument og en eksponent .
I sin mest generelle form blev den introduceret af Leibniz i 1695. $u^{v}$

Det tilfælde, hvor tallet e fungerer som basis for graden, er særligt fremhævet . En sådan funktion kaldes en eksponent (reel eller kompleks). På samme tid, på grund af det faktum, at enhver positiv base kan repræsenteres som en potens af tallet e, bruges begrebet "eksponent" ofte i stedet for begrebet "eksponentiel funktion". $-en$

Virkelig funktion

Definition af en eksponentiel funktion

Lade være et ikke-negativt reelt tal, være et rationelt tal : . Derefter bestemmes det ud fra egenskaberne af en grad med en rationel eksponent i henhold til følgende regler. $-en$ $x$ $x={\frac {m}{n}}$ $a^{x}$

Hvis , så . $x>0$ $a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m))}$
Hvis og , så . $x=0$ $a\neq 0$ $a^{x}=1$
- Betydningen er udefineret (se Nul i potensen af nul ). $0^{0}$
Hvis og , så . $x<0$ $a>0$ $a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{|m|}}} }$
- Værdien for er ikke defineret. $a^{x}$ $x<0,a=0$

For en vilkårlig reel indikator kan værdien defineres som grænsen for sekvensen $x$ $a^{x}$

a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{r_{n))

hvor er en sekvens af rationelle tal konvergerende til . Det er $\{r_{n}\}$ $x$

\lim _{n\to \infty }r_{n}=x

Egenskaber

Eksponentieringsegenskaber:

$a^{0}=1$
$a^{x+y}=a^{x}\,a^{y}$
${\displaystyle (a^{x})^{y}=a^{xy))$
$(ab)^{x}=a^{x}\,b^{x}$
$a^{x}$ / = ${\displaystyle b^{x))$ ${\displaystyle (a/b)^{x))$

Monotoniske intervaller:

For , den eksponentielle funktion øges overalt, og: $a>1$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (for alle ) $n$
$\lim _{x\to -\infty}a^{x}=0$

For falder funktionen henholdsvis og: $0<a<1$

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (for alle ) $n$
$\lim _{x\to \infty }a^{x}=0$

Det vil sige, at den eksponentielle funktion vokser uendeligt hurtigere end noget polynomium . Den store vækstrate kan fx illustreres ved papirfoldningsproblemet .

Omvendt funktion:

I analogi med indførelsen af rodfunktionen for potensfunktionen introducerer vi den logaritmiske funktion , det omvendte af eksponentialet:

f(x)=a^{x},\quad f^{-1}(x)=\log _{a}x

( grundlagslogaritme )

x

-en

Nummer e:

Vi bemærker den unikke egenskab for eksponentialfunktionen, vi finder (sådan et tal , hvis afledede af eksponentialfunktionen er lig med selve funktionen): $a_{0}:(a_{0}^{x})'_{x}=a_{0}^{x}$ $-en$

{\frac {d}{dx}}a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\;\Leftrightarrow \;a_{0}^{x+dx}-a_{0 }^{x}=a_{0}^{x}\,dx

Evnen til at definere er let at se efter forkortelsen for : $a_{0}$ ${\displaystyle a_{0}^{x))$

{\displaystyle a_{0}^{dx}=1+dx\;\Leftrightarrow \;a_{0}=\left(1+dx\right)^{1/dx))

Ved at vælge får vi endelig Euler-nummeret : $dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n))$

a_{0}\equiv e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

Bemærk, at funktionen kan repræsenteres på en anden måde som en serie: (det er let at fastslå gyldighed ved term-for-term differentiering): $e^{x}$

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{ 3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots

Hvorfra har vi en mere nøjagtig tilnærmelse:

e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}

Det unikke ved et tal er let at vise ved at variere . Faktisk, hvis det passerer et sted højere end , så er der på samme interval et område, hvor . $e$ $e^{x}$ ${\displaystyle e_{1}^{x))$ $e^{x}$ $(e_{1}^{x})'<e^{x}$

Differentiering:

Ved hjælp af den naturlige logaritmefunktion kan man udtrykke en eksponentiel funktion med en vilkårlig positiv base i form af eksponenten. Ved gradens egenskab: , hvorfra ved eksponentens egenskab og ved reglen om differentiering af en kompleks funktion: $\ln \,x:e^{\ln x}=x$ ${\displaystyle a^{x}=e^{\ln(a)\,x))$

{\displaystyle (a^{x})'=\ln(a)a^{x))

Ubestemt integral:

\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C

Potentiering og antilogaritmen

Potentiation (fra tysk potenzieren [K 1] ) - at finde et tal ved den kendte værdi af dets logaritme [1] , det vil sige at løse ligningen . Af definitionen af logaritmen følger det , at hæve til en potens med andre ord kan kaldes "potentiering ved base ", eller beregningen af en eksponentiel funktion af . $\log _{a}x=b$ $x=a^{b}$ $-en$ $b$ $b$ $-en$ $b$

Antilogaritmen [2] af tallet x er resultatet af potensering, det vil sige det tal, hvis logaritme (for en given grundtal ) er lig med tallet [2] [3] : $-en$ $x$

\operatorname {ant} \log _{a}{x}=a^{x}.

Udtrykket "antilogaritme" blev introduceret af Wallis i 1693 [4] . Som et selvstændigt begreb bruges antilogaritmen i logaritmiske tabeller [5] , slideregler , mikroberegnere . For for eksempel at udtrække terningroden af et tal ved hjælp af logaritmiske tabeller, skal du finde logaritmen af tallet divideret med 3 og derefter (ved hjælp af tabellen over antilogaritmer) finde antilogaritmen af resultatet. $-en$ $en,$

På samme måde som logaritmer kaldes antilogaritmen til base eller 10 for henholdsvis naturlig [6] eller decimal. $e$

Antilogaritmen kaldes også den omvendte logaritme [3] .

I tekniske regnemaskiner er potentiering standard repræsenteret som to funktioner: og . $e^{x}$ $10^{x}$

Kompleks funktion

For at udvide eksponenten til det komplekse plan, definerer vi det ved hjælp af den samme serie, og erstatter det reelle argument med et komplekst:

e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{ 3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+\cdots

Denne funktion har de samme grundlæggende algebraiske og analytiske egenskaber som den virkelige. Ved at adskille den virkelige del fra den imaginære del i serien for får vi den berømte Euler-formel : $e^{{ix}}$

e^{ix}=\cos x+i\sin x

Dette indebærer, at den komplekse eksponent er periodisk langs den imaginære akse:

e^{z+2\pi i}=e^{z}

En eksponentiel funktion med en vilkårlig kompleks base og en eksponent beregnes let ved hjælp af den komplekse eksponent og den komplekse logaritme .

Eksempel: ; siden (hovedværdien af logaritmen), får vi endelig :. $i^{i}=e^{i\cdot \ln(i)}$ $\ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}$ $i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}$

Se også

Noter

↑ Potentiation / Mathematical Encyclopedic Dictionary, M . : Soviet Encyclopedia, 1988, s. 479.
↑ 1 2 Antilogarithm / Mathematical Encyclopedic Dictionary , M .: Soviet Encyclopedia, 1988, s. 73.
↑ 1 2 Antilogaritme / Vinogradov, Mathematical Encyclopedia, bind 1.
↑ Matematik i det 17. århundrede // Matematikkens historie, i tre bind / Redigeret af A.P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970. - T. II. - S. 56.
↑ Logaritmiske tabeller / Mathematical Encyclopedic Dictionary, M . : Soviet Encyclopedia, 1988, s. 330.
↑ Finansielle instrumenter - Forfatterteam - Google Bøger . Hentet 8. juli 2021. Arkiveret fra originalen 9. juli 2021. (ubestemt)

Kommentarer

↑ Udtrykket blev først fundet af den schweiziske matematiker Johann Rahn (1659).

Litteratur

Fikhtengolts G. M. Forløb af differential- og integralregning, bind I, II. - M .: Fizmatlit , 2001. - ISBN 5-9221-0156-0 ,. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Antilogaritme // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Britannica (online) Treccani