Nul til nul potens

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. september 2021; checks kræver 17 redigeringer .

Udtrykket 0⁰ ( nul til nul potens ) anses af mange lærebøger for at være vagt og meningsløst [1] [2] . Dette skyldes det faktum, at en funktion af to variable i et punkt har en irreducerbar diskontinuitet . Faktisk langs den positive retning af aksen, hvor den er lig med en, og langs den positive retning af aksen, hvor den er lig med nul. Derfor kan ingen konvention om værdien af 0⁰ give en funktion, der er kontinuert ved nul. ${\displaystyle f(x,y)=x^{y))$ $(0, 0)$ $x,$ $y=0,$ $Y,$ $x=0,$

Enighed 0 0 = 1: Fortalernes argumentation

Nogle forfattere foreslår at acceptere aftalen om, at den er lig med 1. Der er flere argumenter for denne mulighed. For eksempel udvidelsen til en række af eksponenten: $0^{0}$

e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!)}}

kan skrives kortere, hvis vi accepterer : $0^{0}=1$

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!)}}

(den betragtede konvention bruges når ). $x=0,\ n=0$

Hvis 0 refererer til naturlige tal , så kan hævning til en naturlig potens defineres som følger:

a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n},

og derefter hæve et hvilket som helst tal (inklusive nul) til nul potens vil give 1.

En anden begrundelse for aftalen er baseret på Bourbakis "Sætteori" [3] : antallet af forskellige afbildninger af et n - elementsæt til et m - element et er lig, når vi får en afbildning fra et tomt sæt til et tom en, og den er unik. Dette kan naturligvis ikke betragtes som et bevis (konventionerne skal ikke bevises), især da selve konventionen ikke bruges i mængdelære. $0^{0}=1$ $m^{n},$ $m=n=0$ $0^{0}=1$

Under alle omstændigheder er konventionen rent symbolsk, og den kan ikke bruges i hverken algebraiske eller analytiske transformationer på grund af funktionens diskontinuitet på dette tidspunkt. I lyset af moderne matematisk analyse er det slet ikke passende at tale om en aftale i dette tilfælde, dette udtryk kan og bør kun forstås i betydningen den begrænsende overgang i afsløringen af usikkerhed. Et eksempel på analytiske beregninger: udtrykket hvor er et vilkårligt positivt reelt tal. Når vi får typeusikkerhed , og hvis vi ikke skelner mellem den begrænsende form (hvor hver af nullerne angiver tendensen til nul) og værdien (hvor hver af nullerne er nul), kan vi fejlagtigt antage, at grænsen er 1 Faktisk er dette udtryk identisk lig med Dette betyder, at en infinitesimal til en infinitesimal potens i grænsen kan give en hvilken som helst værdi, ikke nødvendigvis én. Lignende fejl kan begås, hvis konventionen bruges i algebraiske transformationer. $0^{0}=1$ $(a^{-1/t})^{t},$ $-en$ $t\to 0$ $0^{0},$ $0^{0}$ $0^{0}$ $a^{-1}.$

Historien om forskellige synspunkter

Debatten om definitionen har stået på i hvert fald siden begyndelsen af det 19. århundrede. Mange matematikere accepterede derefter konventionen , men i 1821 regnes Cauchy [4] blandt usikkerheder som I 1830'erne offentliggjorde Libri [5] [6] et ikke overbevisende argument for (se Heaviside funktion § Historie ), og Möbius [7 ] sluttede sig til ham og erklærede fejlagtigt, at når som helst . Anmelderen, der skrev sit navn blot som "S", gav et modeksempel , som beroligede debatten en smule. Flere historiske detaljer kan findes i Knuth (1992) [8] . $0^{0}$ $0^{0}=1$ $0^{0}$ ${\frac {0}{0)).$ $0^{0}=1$ $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1$ $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0$ ${\displaystyle (e^{-1/t})^{t))$

Senere forfattere fortolker situationen ovenfor på forskellige måder. Nogle hævder, at den bedste værdi for afhænger af konteksten, og derfor er det problematisk at definere det én gang for alle [9] . Ifølge Benson (1999), "Valget af, om det skal bestemmes, er baseret på bekvemmelighed snarere end korrekthed. Hvis vi afstår fra at definere , så bliver nogle udsagn unødvendigt akavede. <...> Konsensus er at bruge definitionen , selvom der er lærebøger, der afstår fra at definere " [10] . $0^{0}$ $0^{0},$ $0^{0}$ $0^{0}=1$ $0^{0}$

Nogle matematikere mener, at det bør defineres som 1. For eksempel siger Knuth (1992) selvsikkert, at " der burde være 1", idet man skelner mellem værdien af , som skal være 1, som foreslået af Libri, og grænseformen ( en forkortelse for limit where ), hvilket nødvendigvis er en tvetydighed, som påpeget af Cauchy: "Både Cauchy og Libri havde ret, men Libri og hans forsvarere forstod ikke, hvorfor sandheden var på deres side" [8] . $0^{0}$ $0^{0}$ $0^{0}$ $0^{0}$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)))$ $f(x),g(x)\til 0$

Det autoritative site MathWorld , der citerer Knuths mening, anfører ikke desto mindre, at værdien normalt betragtes som udefineret, på trods af at konventionen tillader i nogle tilfælde at forenkle skrivningen af formler [11] . I Rusland karakteriserer The Great Russian Encyclopedia , The Great Soviet Encyclopedia , Mathematical Encyclopedic Dictionary, Vygodskys Handbook of Elementary Mathematics, skolelærebøger og andre kilder det utvetydigt som et udtryk, der ikke giver mening (usikkerhed). $0^{0}$ $0^{0}=1$ $0^{0}$

Afsløring af usikkerhed 0 0

Givet to funktioner og tendens til nul, så kan grænsen i det generelle tilfælde, som vist ovenfor, være hvad som helst. Så fra dette synspunkt er en usikkerhed. For at finde grænsen i dette tilfælde bruger de metoderne til afsløring af usikkerhed , som regel ved først at tage logaritmen af det givne udtryk: , og derefter bruge L'Hopital-reglen . $f(x)$ $g(x)$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)))$ $0^{0}$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)))$ ${\displaystyle \ln \left(f(x)^{g(x)}\right)={\frac {g(x)}{\frac {1}{\ln f(x)))))$

Denne grænse vil dog under visse betingelser altid være lig med én. Nemlig, hvis funktionerne og er analytiske i et punkt (dvs. i nogle kvarterer falder punkterne sammen med deres Taylor-serie ), og , og i et kvarter , så er grænsen, da den højre har en tendens til nul , lig med 1 [12] [13] [14] . $f$ $g$ $0$ $0$ $f(0)=g(0)=0$ $f(x)>0$ $(0,\delta )$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)))$ $x$

For eksempel kan du på denne måde med det samme bekræfte det

\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1,

\lim _{x\to 0^{+}}(\sin x)^{\operatørnavn {tg} x}=1,

\lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{x+1}-e\right)^{x}=1.

Samtidig skal man ikke glemme, at hvis mindst en af funktionerne ikke udvider sig til en Taylor-serie ved punktet 0 eller er identisk lig med 0, så kan grænsen være hvad som helst, eller den eksisterer måske ikke. For eksempel, $f(x)$

\lim _{x\to 0^{+}}x^{a/\ln x}=e^{a},

\lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{-1/x}\right)^{x}=e^{-1},

\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0.

Kompleks sag

For komplekse tal er udtrykket for formen ]somdefinereterogflerværdifor . $u,v$ $u^{v}$ $u\neq 0$ $e^{v\operatørnavn {Ln} u}$ $\operatørnavn {Ln} 0$ $0^{0},$ $0^{z},$ $z\neq 0$ $0^{z}=0$

I computere

IEEE 754-2008-standarden , som beskriver formatet til at repræsentere flydende kommatal , definerer tre eksponentieringsfunktioner [18] :

Funktion til at hæve til en heltalspotens: . I henhold til standarden for enhver , også når den er nul eller uendelig. $\operatørnavn {pown} (x,y)$ $\operatørnavn {pown} (x,0)=1$ $x$ $x$ NaN
Funktion til at hæve til en vilkårlig magt: - i det væsentlige lig med . Returnerer " ikke et tal " i henhold til standarden . $\operatørnavn {power} (x,y)$ ${\displaystyle \exp {\big (}y\ln(x){\big )))$ $\operatørnavn {powr} (\pm 0,\pm 0)$ NaN
En funktion til at hæve til en vilkårlig potens, som er specifikt defineret for heltal: . Ifølge standarden for alle (samme som ). Denne konvention som helhed har en rimelig begrundelse (se nedenfor), men problemet kan opstå, når . $\operatørnavn {pow} (x,y)$ $\operatørnavn {pow} (x,\pm 0)=1$ $x$ $\operatørnavn {pown} (x,0)$ x=NaN

I mange programmeringssprog er nul til nul potens lig med 1. For eksempel i C++ : pow(0, 0) == 1i Haskell gælder dette for alle tre standardeksponentieringsoperationer: 0^0 == 1, 0^^0 == 1, 0**0 == 1. Det samme gælder for standard MS Windows-beregneren.

Selvom det er velkendt, at dette er en tvetydighed, er adfærden af nogle funktioner, der returnerer i dette tilfælde , ikke resultatet af en aftale eller en fejl, men har et rationale. Faktum er, at i computeraritmetik er numeriske data opdelt i heltal og reelle. Dette kan implicit bruges i nogle funktioner, der implementerer eksponentieringsoperationen. Dette gøres for eksempel i Windows-beregneren og fungerer i C++. Forskellige algoritmer bruges til heltals- og reelle eksponenter, og eksponentieringsfunktionen analyserer eksponenten: hvis det er et heltal, så beregnes eksponenten efter en anden algoritme, hvor negative og nulbaser af eksponenten er tilladt. Hvis eksponenten tilhører sættet af heltal og er lig med 0, og grundtallet er et reelt tal, skal operationen kun defineres som . Da 0 i eksponenten er nøjagtig, vedrører overgangen til grænsen kun basen og (i modsætning til tilfældet, hvor eksponenten også er reel) er entydigt defineret og lig med . Ovenstående gælder fuldt ud i tilfælde af beregning af udtrykket . $0^{0}$ $en$ pow $0^{0}$ $\lim _{x\to 0}x^{0}$ $en$ $(\pm \infty )^{0}$

Litteratur

Magtfunktion // Stor sovjetisk encyklopædi . - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
Power funktion // Great Russian Encyclopedia : [i 35 bind] / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.

Noter

↑ BRE .
↑ TSB, 1969-1978 : “For magtfunktionen ... er ikke defineret for ; giver ingen mening." $x=0$ $x^{a}$ $a<0$ $0^{0}$
↑ N. Bourbaki . Mængdelære // Elements of Mathematics, Springer-Verlag, 2004, III, § 3.5.
↑ Augustin-Louis Cauchy . Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). I hans Oeuvres Complètes , serie 2, bind 3.
↑ Guillaume Libri . Note sur les valeurs de la fontction 0 0 x , Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
↑ Guillaume Libri . Mémoire sur les fonctions ophører, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303-316.
↑ A. F. Mobius. Beweis der Gleichung 0 0 = 1, nach JF Pfaff (tysk) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. - 1834. - Bd. 12 . - S. 134-136 .
↑ 1 2 Donald E. Knuth, To noter om notation, Amer. Matematik. Månedlig 99 nr. 5 (maj 1992), 403-422 (arXiv: math/9205211 Arkiveret 20. november 2018 på Wayback Machine [math.HO]).
↑ For eksempel: Edwards og Penny (1994). Calculus , 4. udgave, Prentice-Hall, s. 466; Keedy, Bittinger og Smith (1982). Algebra to . Addison-Wesley, s. 32.
↑ Donald C. Benson, The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies . New York Oxford University Press (UK), 1999. ISBN 978-0-19-511721-9 .
↑ Weisstein, Eric W. Power . wolfram mathworld . Hentet 5. oktober 2018. Arkiveret fra originalen 12. september 2018. (ubestemt)
↑ Louis M. Rotando; Henrik Korn. Den ubestemte form 0 0 // Matematikblad : magasin . - 1977. - Januar ( bind 50 , nr. 1 ). - S. 41-42 . - doi : 10.2307/2689754 .
↑ sci.math FAQ: Hvad er 0^0? . www.faqs.org. Hentet 30. august 2019. Arkiveret fra originalen 2. december 2010. (ubestemt)
↑ Leonard J. Lipkin. Paa den ubestemte Form 0 0 // Højskolens Matematik Tidsskrift. - 2003. - T. 34 , no. 1 . - S. 55-56 . — ISSN 0746-8342 . - doi : 10.2307/3595845 . Arkiveret fra originalen den 13. oktober 2019.
↑ "Da log(0) ikke eksisterer, er 0 z udefineret. For Re( z ) > 0 definerer vi det vilkårligt som 0". ( George F. Carrier, Max Krook og Carl E. Pearson , Functions of a Complex Variable: Theory and Technique, 2005, s. 15).
↑ "For z = 0 , w ≠ 0 , definerer vi 0 w = 0 , mens 0 0 ikke er defineret". Mario Gonzalez , Classical Complex Analysis, Chapman & Hall, 1991, s. 56.
↑ "Lad os starte ved x = 0 . Her er x x udefineret". Mark D. Meyerson , The x x Spindle, Mathematics Magazine 69 , no. 3 (juni 1996), 198-206.
↑ IEEE Computer Society. IEEE Standard for Floating-Point Aritmetik § 9.2.1 : journal . — IEEE, 2008. — 29. august. - ISBN 978-0-7381-5753-5 . - doi : 10.1109/IEEEESTD.2008.4610935 .