Ehrenfests paradoks

Ehrenfests paradoks er et tankeeksperiment, der overvejer en disk , der roterer med næsten lysets hastighed.

I moderne forstand viser det, at nogle begreber i klassisk mekanik er uforenelige med den særlige relativitetsteori, samt muligheden for forskellige definitioner af begreberne tid og afstand i roterende referencerammer.

Dette paradoks blev fremsat af Ehrenfest i 1909 efter Einstein udviklede den særlige relativitetsteori .

Essensen af paradokset

Overvej en cirkel (eller hul cylinder ), der roterer omkring sin akse. Da hastigheden af hvert element i cirklen er rettet tangentielt, så skal den (cirklen) opleve Lorentz-sammentrækning , det vil sige, at dens størrelse for en ekstern observatør skal virke mindre end dens egen længde .

Hvis en cirkel har en radius , så er dens længde for en ekstern observatør . $R$ $2\pi R$

Men givet Lorentz-sammentrækningen vil den korrekte omkreds være større:

l={\frac {2\pi R}{{\sqrt {1-(v/c)^{2))))}={\frac {2\pi R}{{\sqrt {1-\venstre (\displaystyle {\frac {\omega R}{c}}\right)^{2}}}}},

hvor er den cirkulære frekvens , er lysets hastighed . $\omega$ $c$

En oprindeligt ubevægelig stiv cirkel må således, efter at den er blevet snoet, paradoksalt nok reducere sin radius for at bevare sin længde.

Ifølge Ehrenfests ræsonnement kan et absolut stift legeme ikke bringes i rotationsbevægelse [1] , da der ikke bør være Lorentz-kompression i radial retning. Følgelig skal skiven, som var flad i hvile , på en eller anden måde ændre sin form, når den ikke er snoet.

Teoretisk analyse

Rotation i relativitetsteori

Overvej to referencesystemer med en fælles akse . Let er inerti , og roterer med en konstant vinkelhastighed i forhold til aksen . Betragt i referencesystemet en cirkel centreret ved udgangspunktet i planet . I referencesystemet kan det betragtes som en cirkel centreret ved udgangspunktet i planet . Målinger af omkredsen og dens diameter i systemet i overensstemmelse med den euklidiske geometri i den inertielle referenceramme vil give deres forhold lig med . Målinger af omkredsen og dens diameter i systemet , set fra en observatør fra systemets synspunkt , på grund af Lorentz-sammentrækningen af skalaen påført langs cirklen og invariansen af den radialt påførte skala, vil give deres forhold mindre end . Det vil sige, set fra en observatør fra systemet , vil forholdet mellem omkreds og diameter være større . Også set fra en observatør fra systemet vil forløbet af et ur placeret på en cirkel i systemet blive bremset på grund af deres bevægelse i forhold til systemet . Dette betyder, at i en ikke-inertiel referenceramme er rum-tid-metrikken ikke-euklidisk [2] [3] [4] . Fra observatørens synspunkt i referencerammen forklares krumningen af rum-tid af gravitationsfeltet, der virker i denne referenceramme, fra referencerammens synspunkt - ved den accelererede bevægelse af punkterne af cirklen ( princippet om ækvivalens af gravitations- og inertikræfter ). [2] [4] En af konsekvenserne af konklusionerne fra dette mentale eksperiment er umuligheden i den generelle relativitetsteori af den gensidige immobilitet af et system af kroppe, herunder umuligheden af eksistensen af absolut stive kroppe (Ehrenfests paradoks) . [3] $K,K'$ $z$ $K$ $K'$ $K$ $z$ $K$ $xy$ $K'$ $x'y'$ $K$ $\pi$ $K'$ $K$ $\pi$ $K'$ $\pi$ $K$ $K'$ $K$ $K'$ $K'$ $K$

Ehrenfests ræsonnement viser umuligheden af at bringe en absolut stiv krop (i første omgang i hvile) i rotation.

Det modbeviser imidlertid ikke eksistensen af stive ensartet roterende skiver. Imidlertid skal deres rumlige geometri være forskellig fra euklidisk .

Rum-tidsbeskrivelsen af en sådan disk er mulig ved at bruge Born-koordinaterne , men tidsstrømmen på den vil adskille sig fra den galilæiske.

Tidens hastighed vil afhænge af afstanden til centrum, og lysets frem- og tilbagehastighed i rotationsretningen i Born-koordinater vil være forskellige (se også Sagnac-effekten ). Det viser sig at være umuligt at bygge et ortogonalt rum-tid-koordinatsystem fastgjort til en roterende skive.

Ikke desto mindre viser det sig at være muligt korrekt at definere afstanden på en roterende skive i betydningen en Riemannsk metrisk .

Geometri af en roterende skive

Ved at bruge Born-koordinaterne kan vi bestemme vores egen afstand mellem meget tætte [5] punkter på disken. De kan for eksempel repræsenteres af nabomolekyler eller atomer i det metal, som skiven er lavet af.

Lokalt viser afstanden sig at være arrangeret præcis, som Ehrenfest troede: langs cirklerne overstiger den korrekte afstand den tilsyneladende afstand nøjagtigt i henhold til Lorentz-sammentrækningens lov, og i retning af radierne viser den sig at være uændret, dvs. , lig med forskellen af radierne.

Beregninger viser, at en roterende skive, selvom den antages at ligge i et plan, må (i form af sin egen geometri) være en overflade med negativ krumning .

Hvis vi anser det betragtede roterende legeme for at have en tykkelse, så langs det (det vil sige i retningen langs rotationsaksen ), såvel som i radiale retninger, er der ingen forskel mellem naturlige og tilsyneladende afstande. I koordinater vil metrikken for alle tre dimensioner af rummet derfor se ud: $(\varphi ,\;r,\;z)$

{\frac {c^{2}\,r^{2}}{c^{2}-\omega ^{2}\,r^{2}}}\,d\varphi ^{2}+dr ^{2}+dz^{2}.

Ehrenfests paradoks og generelle relativitetsteori

Opløsningen af "paradokset" i dets moderne form involverer sådanne matematiske apparater som krumlinjede koordinater og geodetik , karakteristisk for den generelle relativitetsteori . Ikke desto mindre, selvom begreberne om generel relativitet er ret anvendelige i dette tilfælde, skal det huskes, at Ehrenfest-paradokset betragtes i et fladt, ikke -buet Minkowski-rum . Rotationen af en skive i et gravitationsfelt vil give et andet problem.

Fysisk fortolkning

Den nær-lys rotation af et fast legeme kan næppe observeres i praksis, da centrifugalkraften bør føre (for en skive, der ikke holdes af andre kræfter end dens egen styrke) til spændinger af størrelsesordenen af materialets tæthed ganget med , som intet stof eller materiale kan modstå. $c^{2}$

Hvis centrifugalkraften imidlertid kompenseres af gravitationsfeltet (som det f.eks. sker i pulsarer ), så vil vi gå ud over anvendeligheden af SRT, og kroppens geometri vil tilsyneladende ændre sig på en anden måde end beskrevet ovenfor.

Når den roterende skive når en moderat rotationshastighed, ændres dens form meget kraftigere fra elastiske deformationer end på grund af virkningerne af SRT. Den relativistiske Ehrenfest-effekt skulle kun en smule øge den langsgående (langs rotationsretningen) strækning af skivematerialet.

Se også

Noter

↑ Fysik, del 2. Encyklopædi for børn. Bind 16. S. 123. ISBN 5-8483-0030-5 .
↑ 1 2 A. Einstein , L. Infeld Fysikkens udvikling. - M.-L., Tekhteorizdat, 1948. - s. 208-216
↑ 1 2 L. D. Landau , E. M. Lifshits Field Theory. - M., Nauka, 1967. - s. 294-295
↑ 1 2 Clement Durell Relativitetsteoriens ABC. - M. , Mir , 1964. - s. 135-138
↑ Strengt taget skal den relative hastighed af disse to punkter være meget mindre end lysets hastighed, inden for grænserne for anvendeligheden af klassisk mekanik.