Ortogonale polynomier

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. november 2021; verifikation kræver 1 redigering .

I matematik er en sekvens af ortogonale polynomier en uendelig sekvens af rigtige polynomier

p_{0}(x),\ p_{1}(x),\ p_{2}(x),\ \ldots

hvor hvert polynomium har grad , og også to forskellige polynomier i denne sekvens er ortogonale i forhold til hinanden i betydningen af et eller andet skalarprodukt givet i rummet . $p_n(x)$ $n$ $L^{2}$

Begrebet ortogonale polynomier blev introduceret i slutningen af det 19. århundrede. i værker af P. L. Chebyshev om fortsatte brøker og senere udviklet af A. A. Markov og T. I. Stiltjes og fundet forskellige anvendelser inden for mange områder af matematik og fysik .

Definition

Ortogonalitet med vægt

Lad være et interval på den reelle akse (endelig eller uendelig). Dette mellemrum kaldes ortogonalitetsintervallet . Lade $(a,b)$

w : ~(a,b) \to \mathbb{R}

en given kontinuerlig strengt positiv funktion inde i intervallet. En sådan funktion kaldes vægt eller blot vægt . Funktionen er relateret til det rum af funktioner , som integralet konvergerer for $(a,b)$ $w(x)$ $L_{{2}}$

\int_{a}^{b} \venstre[f(x)\højre]^2 w(x) \; dx < \infty

I det resulterende rum kan du indtaste det skalære produkt ved hjælp af formlen

\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) g(x) w(x) \; dx

til rigtige funktioner,

\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} w(x) \; dx

til komplekst værdifulde funktioner.

Hvis skalarproduktet af to funktioner er lig med nul , så kaldes sådanne funktioner ortogonale med vægt . Som regel betragtes kun reelle funktioner blandt ortogonale polynomier. $\langle f,g\rangle =0$ $w(x)$

Klassisk formulering

Polynomisk system

p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{n}(x),\cdots

kaldes ortogonal if

$p_n(x)$ er et gradspolynomium , $n$
$\langle p_m,p_n \rangle = \delta_{mn} h_{n}$ , hvor er Kronecker-symbolet , er normaliseringsfaktoren. $\delta _{{mn}}$ $h_{{n}}$

Et ortogonalt grundlag siges at være ortonormalt , hvis alle dets elementer har enhedsnorm . Nogle af de klassiske polynomier præsenteret nedenfor kan normaliseres i henhold til en anden regel. For sådanne polynomier adskiller værdierne sig fra enhed og er anført i tabellen nedenfor. $||p_n||=h_n=1$ $h_{n}$

Generelle egenskaber for sekvenser af ortogonale polynomier

Tilbagevendende relationer

Alle ortogonale polynomier opfylder følgende tilbagevendende formel , der relaterer tre på hinanden følgende polynomier fra systemet:

{p_{n+1}(x)\ =\ (A_nx+B_n)\ p_n(x)\ -\ C_n\ p_{n-1}(x)},

hvor

A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},\quad B_n=A_n \venstre(r_{n+1}-r_n \right), \quad C_n= \frac {A_n h_n} {A_{n -1}h_{n-1}},

r_n=\frac{k'_n}{k_n}, \quad h_n= \langle p_n(x),p_n(x) \rangle

k_n

og er koefficienterne ved led og i polynomiet

{\displaystyle k'_{n))

x^n

x^{{n-1}}

p_{n}(x).

Denne formel forbliver gyldig for , hvis vi sætter . $n=0$ $p_{-1}(x)=0$

Bevis

Lad os bevise, at der for enhver n er sådanne koefficienter a , b og c , som den sidste gentagelsesrelation gælder.

Vi vælger a , så koefficienten for at i polynomiet forsvinder $x^{n+1}$ $p_{n+1}(x)$

a\ x\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)

er et polynomium af n . grad.

Vi vælger b , så koefficienten for at i polynomiet forsvinder $x^n$ $p_{n+1}(x)$

(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)

- polynomium (n-1) -te grad.

Vi udvider polynomiet til en serie (dette er muligt, da systemet af ortogonale polynomier er komplet)

(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i p_i(x)

Det resulterende udtryk multipliceres skalært med potenserne $p_j(x)$ $j\le n-1$

a\ \langle x\ p_n, p_j \rangle - b\ \langle p_n, p_j\rangle\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i \langle p_i, p_j \rangle

Reducer udtrykket ved at bruge ortogonaliteten af polynomier og permutationsegenskaben for skalarproduktet

a\ \langle p_n,\ xp_j \rangle\ =\ {\lambda}_j \langle p_j,\ p_j \rangle

Hvis , så polynomiet stadig har grad mindre end n og er ortogonal til . Derfor, for . $j < n-1$ $xp_j(x)$ $p_n(x)$ $\lambda_j = 0$ $j < n-1$

Således er ikke-nul-koefficienten kun for , og ved at indstille , opnår vi den ønskede relation

j=n-1

c = \lambda_{n-1}

p_{n+1}(x)\ =\ (ax+b)\ p_n(x)\ -\ c\ p_{n-1}(x)

Christoffel - Darboux formel

$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\frac{p_{n+1} (x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)}{xy}$ ,

eller hvornår $y\til x$

$\sum_{k=0}^{n}h_k^{-1}\left[p_k(x)\right]^2=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\left[p'_ {n+1}(x)p_n(x)-p_{n+1}(x)p'_n(x)\højre]$

Rødder af polynomier

Alle rødder af polynomiet er simple, reelle, og alle ligger inden for ortogonalitetsintervallet . $p_n(x)$ $\left[a;b\right]$

Bevis

Lad os antage, at inden for ortogonalitetsintervallet skifter det kun fortegn ved punkter. Så er der et polynomium af grad sådan, at . På den anden side kan et polynomium repræsenteres som en lineær kombination af polynomier , hvilket betyder, at det er ortogonalt , dvs. Den resulterende modsigelse beviser vores påstand. $p_n(x)$ $m<n$ $s_{m}(x)$ $m$ $p_{n}(x)s_{m}(x)\geq 0$ $s_{m}(x)$ $p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{m}(x)$ $s_{m}(x)$ $p_n(x)$ $\langle p_{n}(x),s_{m}(x)\rangle =0$

Mellem to på hinanden følgende rødder af polynomiet er der præcis én rod af polynomiet og mindst én rod af polynomiet , for . $p_n(x)$ $p_{n+1}(x)$ $p_{m}(x)$ $m>n$

Minimalitet af normen

Hvert polynomium i en ortogonal sekvens har minimumsnormen blandt alle polynomier af samme grad og med samme første koefficient. $p_n(x)$ $P_n(x)$

Bevis

Givet n kan ethvert polynomium p(x) af grad n med samme første koefficient repræsenteres som

p(x) = p_n(x) + \sum_{i=0}^{n-1} {\alpha}_i\ p_i(x).

Ved at bruge ortogonalitet opfylder kvadratnormen p(x).

||p(x)||^2 = \langle p(x),p(x)\rangle = ||p_n(x)||^2 + \sum_{i=0}^{n-1} { \alpha}_i^2||p_i(x)||^2 \ge ||p_n(x)||^2.

Da normerne er positive, skal du tage kvadratrødderne af begge sider, og du får resultatet.

Systemets fuldstændighed

Systemet af ortogonale polynomier er komplet. Det betyder, at ethvert polynomium af grad n kan repræsenteres som en række $p_i(x)$ $S(x)$

S(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha}_i\ p_i(x)

hvor er ekspansionskoefficienterne. $\alfa$

Bevis

Bevist ved hjælp af matematisk induktion. Vi vælger så det er et polynomium af grad mindre end . Yderligere om induktion. $\ {\alpha}_n$ $\ S(x)-{\alpha}_n P_n(x)$ $n$

Differentialligninger, der fører til ortogonale polynomier

En meget vigtig klasse af ortogonale polynomier opstår, når man løser en differentialligning af følgende form:

${Q(x)}\,f''+{L(x)}\,f'+{\lambda }f=0,$

hvor og er givet polynomier af henholdsvis anden og første orden og er ukendte funktioner og koefficienter. Denne ligning kaldes Sturm-Liouville-problemet og kan omskrives i sin mere standardform $Q(x)$ $L(x)$ $f(x)$ $\lambda$

$(R(x)y')'+W(x)\,\lambda \,y=0,$

hvor løsningen af denne ligning fører til et sæt egenværdier og et sæt egenfunktioner med følgende egenskaber: $R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)))\,dx},\,W(x)={\frac {R(x)} {Q(x)}}.$ ${\lambda}_0, {\lambda}_1, {\lambda}_2, \dots$ $P_{0},P_{1},P_{2},\dots$

$P_n(x)$ er et polynomium af grad n afhængig af ${\lambda}_n$

rækkefølgen er ortogonal med vægtfunktionen $P_{0},P_{1},P_{2},\dots$ $B(x)$

Ortogonalitetsintervallet afhænger af rødderne af polynomiet Q , og roden L er inden for ortogonalitetsintervallet

Tal og polynomier kan fås fra formler $\lambda_n$ $P_n(x)$

{\lambda}_n = - n \left( \frac{n-1}{2} Q'' + L' \right)

P_{n}(x)={\frac {1}{e_{n}\,W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\ venstre(W(x)[Q(x)]^{n}\højre)

Rodrigues formel .

En differentialligning har kun ikke-trivielle løsninger, hvis en af følgende betingelser er opfyldt. I alle disse tilfælde, når man ændrer skalaen og/eller skifter definitionsdomænet og vælger normaliseringsmetoden, reduceres løsningspolynomierne til et begrænset sæt klasser, som kaldes klassiske ortogonale polynomier

1. Jacobilignende polynomier Q er et polynomium af anden orden, L er af første orden. Rødderne af Q er adskilte og virkelige, roden af L ligger strengt mellem rødderne af Q. De første koefficienter Q og L har samme fortegn. Ved at bruge en lineær transformation reduceres ligningen til med et ortogonalitetsinterval . Løsningerne er Jacobi polynomier eller deres specielle tilfælde , Gegenbauer , Legendre eller Chebyshev polynomier af begge typer .

Q(x)=1-x^2

[-1,1]

P_n^{(\alpha, \beta)}(x)

C_n^{(\alpha)}(x)

P_n(x)

T_{n}(x)

U_{n}(x)

2. Laguerre-lignende polynomier Q og L er førsteordens polynomier. Rødderne af Q og L er forskellige. De første koefficienter Q og L har samme fortegn, hvis roden af L er mindre end roden af Q og omvendt. Reducerer til og intervallet for ortogonalitet . Løsningerne er generaliserede Laguerre-polynomier eller deres særlige tilfælde, Laguerre-polynomier .

Q(x)=x

[0,\infty)

L_n^{(\alpha)}(x)

L_n(x)

3. Hermitiske polynomier Q er en ikke-nul konstant, L er et førsteordens polynomium. De første koefficienter Q og L har det modsatte fortegn. Reducerer til og intervallet for ortogonalitet . Løsningerne er hermitiske polynomier .

Q(x)=1

(-\infty,\infty)

H_n(x)

Afledte af ortogonale polynomier

Betegn som den m -te afledede af polynomiet . Den afledte er et gradpolynomium og har følgende egenskaber: $P_n^{m}(x)$ $P_n(x)$ $P_n^{m}(x)$ $nm$

ortogonalitet

For en given m er sekvensen af polynomier ortogonal med vægtfunktionen

P_m^{m}, P_{m+1}^{m}, P_{m+2}^{m}, \dots

W(x)[Q(x)]^m

Rodrigues formel

P_n^{m} = \frac{1}{e_nW(x)[Q(x)]^m} \ \frac{d^{nm}}{dx^{nm}}\venstre(W(x)[ Q(x)]^m\højre)

differentialligning

{Q(x)}\,y'' + (m\,Q'(x)+L(x))\,y' + [{\lambda}_n-{\lambda}_m]\ y = 0

, hvor

y(x)=P_n^{m}(x)

differentialligning af den anden slags

(R(x)[Q(x)]^m\ y')' + [\lambda_n-\lambda_m]W(x)[Q(x)]^{m}\ y = 0

, hvor

y(x)=P_n^{m}(x)

gentagelsesrelationer (for nemheds skyld, koefficienterne a , b og com om indekserne n og m )

P_{n}^{m}(x)=aP_{n+1}^{m+1}(x)+bP_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1 }^{m+1}(x),

P_{n}^{m}(x)=(ax+b)P_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1}^{m+1}(x),

Q(x)P_{n}^{m+1}(x)=(ax+b)P_{n}^{m}(x)+cP_{n-1}^{m}(x ).

Klassiske ortogonale polynomier

De klassiske ortogonale polynomier, som stammer fra differentialligningen beskrevet ovenfor, har mange vigtige anvendelser inden for områder som matematisk fysik, numeriske metoder og mange andre. Deres definitioner og hovedegenskaber er givet nedenfor.

Jacobi polynomier

Jacobi-polynomier er betegnet , hvor parametrene og reelle tal er større end -1. Hvis og ikke er ens, er polynomierne ikke længere symmetriske i forhold til punktet . $P_n^{(\alpha, \beta)}(x)$ $\alfa$ $\beta$ $\alfa$ $\beta$ $x=0$

Vægtfunktion på ortogonalitetsintervallet $W(x)=(1-x)^\alfa(1+x)^\beta$ $[-1,1]$

Differentialligninger

(1-x^2)\,y'' + (\beta-\alpha-[\alpha+\beta+2]\,x)\,y' + {\lambda}\,y = 0

Egenværdier

\lambda_n = n(n+1+\alfa+\beta)

Tilbagevendende formel

P_{n+1}(x)=(A_{n}\,x+B_{n})\,P_{n}(x)-C_{n}\,P_{n-1}( x),

hvor

A_{n}={\frac {(2n+1+\alpha +\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{2(n+1)(n+1+\alpha + \beta )}},

B_{n}={\frac {({\alpha }^{2}-{\beta }^{2})(2n+1+\alpha +\beta )}{2(n+1) (2n+\alpha +\beta )(n+1+\alpha +\beta )}},

C_{n}={\frac {(n+\alpha )(n+\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{(n+1)(n+1+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta )}}

Normalisering

P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}, \qquad h_n=\frac {2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1 )} {n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\ !1)}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}, \ qquad e_n=(-2)^n\,n!

Gegenbauer polynomier

Gegenbauer polynomier er angivet med , hvor parameteren er et reelt tal større end −1/2. Det er afledt fra Jacobi polynomier for lige parametre og $C_n^{(\alpha)}(x)$ $\alfa$ $\alfa$ $\beta$

$C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(2\alpha\!+\!n)\,\Gamma(\alpha\!+\!1/2)} {\Gamma(2) \alpha)\,\Gamma(\alpha\!+\!n\!+\!1/2)}\! \P_n^{(\alpha-1/2, \alpha-1/2)}.$

De resterende Jacobi-lignende polynomier er et specialtilfælde af Gegenbauer polynomier med en valgt parameter og den tilsvarende normalisering. $\alfa$

Vægtfunktion på ortogonalitetsintervallet $W(x)=(1-x^2)^{\alpha-1/2}$ $[-1,1]$

Differentialligninger

(1-x^2)\,y'' - (2\alpha+1)\,x\,\,y' + {\lambda}\,y = 0

Egenværdier

\lambda_n = n(n+2\alfa)

Tilbagevendende formel

(n+1)\,C_{n+1}^{(\alpha )}(x)=2(n+\alpha )x\,C_{n}^{(\alpha )}(x) -(n+2\alpha -1)\,C_{n-1}^{(\alpha )}(x)

Normalisering

C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (n+2\alpha )}{n!\,\Gamma (2\alpha )))

hvis

\alpha\ne0,\qquad

h_n=\frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(\frac{1}{2}+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma( n+\frac{1}{2}+\alpha)}, \qquad e_n = \frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n+\frac{ 1}{2}+\alpha)} {\Gamma(n+2\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})}

Andre ejendomme

C_n^{(\alpha+1)}(x) = \frac{1}{2\alpha}\! \ \frac{d}{dx}C_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Legendre polynomier

Legendre polynomier er betegnet og er et specialtilfælde af Gegenbauer polynomier med parameter $P_n(x)$ $\alpha=1/2$

$P_{n}(x)=C_{n}^{(1/2)}(x).$

Vægtfunktion på ortogonalitetsintervallet $W(x)=1$ $[-1,1]$

Differentialligninger

(1-x^2)\,y'' - 2x\,y' + {\lambda}\,y = 0, \qquad ([1-x^2]\,y')' + \lambda\, y=0

Egenværdier

\lambda_n = n(n+1)

Tilbagevendende formel

(n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x)

Normalisering

P_n(1)=1, \qquad h_n=\frac{2}{2n+1}, \qquad k_n=\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}, \qquad e_n=(-2)^n\,n!

De første par polynomier

P_{0}(x)=1;

P_{1}(x)=x;

P_2(x)=(3x^2-1) / 2;

P_3(x)=(5x^3-3x) / 2;

P_4(x)=(35x^4-30x^2+3) / 8;

Chebyshev polynomier

Chebyshev polynomiet bruges ofte til at tilnærme funktioner som et polynomium af grad , der afviger mindst fra nul over intervallet $T_{n}(x)$ $n$ $[-1,1]$

$T_{n}(x)=\cos(n\,arccos(x)).$

Er et specialtilfælde af det normaliserede Gegenbauer-polynomium for parameteren $\alfa \til 0$

$T_{n}(x)=\lim _{\alpha \to 0}n\,\Gamma (\alpha )\,C_{n}^{(\alpha )}.$

Vægtfunktion på ortogonalitetsintervallet $W(x)=(1-x^2)^{-1/2}$ $[-1,1]$

Differentialligning

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + {\lambda}\,y = 0

Egenværdier

\lambda_n = n^2

Tilbagevendende formel

T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)

Normalisering

T_n(1)=1, \qquad h_n=\venstre\{ \begin{matrix} \pi &:~n=0 \\ \pi/2 &:~n\ne 0 \end{matrix}\right. ,\qquad k_n = 2^{n-1}, \qquad e_n=(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi))

Chebyshev-polynomiet af anden art er karakteriseret som et polynomium, hvis integral af den absolutte værdi afviger mindst af alle fra nul i intervallet $U_{n}(x)$ $[-1, +1]$

$U_{n}={\frac {1}{n+1}}\,T_{n+1}'$

Vægtfunktion på ortogonalitetsintervallet $W(x)=(1-x^2)^{1/2}$ $[-1,1]$
Differentialligning

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + {\lambda}\,y = 0

Normalisering

U_n(1)=n+1, \qquad h_n=\pi / 2, \qquad k_n = 2^n, \qquad e_n=2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2 )}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}

Laguerre polynomier

Associerede eller generaliserede Laguerre-polynomier er angivet , hvor parameteren er et reelt tal større end -1. For generaliserede polynomier reduceres til almindelige Laguerre-polynomier $L_n^{(\alpha)}(x)$ $\alfa$ $\alfa = 0$

$L_{n}(x)=L_{n}^{(0)}(x).$

Vægtfunktion på ortogonalitetsintervallet $W(x)=x^{\alpha}e^{-x}$ $[0,\infty)$

Differentialligninger

x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (x^{\alpha +1}\,e^{ -x}\,y')'+{\lambda }\,x^{\alpha }\,e^{-x}\,y=0

Egenværdier

\lambda_n = n

Tilbagevendende formel

(n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=(2n+1+\alpha -x)\,L_{n}^{(\alpha )} (x)-(n+\alpha )\,L_{n-1}^{(\alpha )}(x)

Normalisering

k_n=\frac{(-1)^n}{n!}, \qquad h_n=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}, \qquad e_n=n!

Andre ejendomme

L_n^{(\alpha+1)}(x) = - \frac{d}{dx}L_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Hermite polynomier

Vægtfunktion på ortogonalitetsintervallet $W(x)=e^{-x^2}$ $[-\infty,\infty]$

Differentialligninger

y''-2xy'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (e^{-x^{2}}\,y')'+e^{-x^{2} }\,\lambda \,y=0

Egenværdier

\lambda_n = 2n

Tilbagevendende formel

H_{n+1}(x)=2x\,H_{n}(x)-2n\,H_{n-1}(x)

Normalisering

k_n = 2^n, \qquad h_n=2^n\,n!\,\sqrt{\pi}, \qquad e_n=(-1)^n

De første par polynomier

H_{0}(x)=1

H_{1}(x)=2x

H_{2}(x)=4x^{2}-2

H_{3}(x)=8x^{3}-12x

H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12

Konstruktion af ortogonale polynomier

Gram-Schmidt ortogonaliseringsproces

Et system af ortogonale polynomier kan konstrueres ved at anvende Gram-Schmidt-processen på et system af polynomier som følger. Lad os definere en projektor som $f_1, f_2, \ldots, f_k$ $g_k(x)=x^k$

\mathrm{proj}_{f}\,(g) = {\langle f, g\rangle\over\langle f, f\rangle}f = { \int_{x_1}^{x_2} f(x) g (x) W(x) \; dx \over \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2 W(x) \; dx} f(x)

derefter beregnes de ortogonale polynomier successivt efter skemaet

\begin{align} f_1 & = g_1, \\ f_2 & = g_2-\mathrm{proj}_{f_1}\,(g_2), \\ f_3 & = g_3-\mathrm{proj}_{f_1}\, (g_3)-\mathrm{proj}_{f_2}\,(g_3), \\ & {}\ \ \vdots \\ f_k & = g_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm {proj}_{f_j}\,(g_k). \end{align}

Denne algoritme tilhører numerisk ustabile algoritmer. Ved beregning af ekspansionskoefficienterne akkumuleres afrundingsfejl og numeriske integrationsfejl med stigende polynomietal.

Ved momenter af vægtfunktionen

Vægtfunktionen defineret på intervallet bestemmer entydigt systemet af ortogonale polynomier op til en konstant faktor. Angiv med tal $w(x)$ $\left[a;b\right]$ $\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$

\mu_n=\int_a^b{w(x)x^ndx}

momenter af vægtfunktionen, så kan polynomiet repræsenteres som: $p_n(x)$

p_n(x) = \det\venstre[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_ {n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{matrix} \right]

Kompleksiteten af at beregne ortogonale polynomier bestemmes af kompleksiteten af at beregne matrixdeterminanten . Eksisterende algoritmiske implementeringer af beregningen kræver et minimum af operationer. $O(n^{3})$

Bevis

Lad os bevise, at polynomiet defineret på denne måde er ortogonalt i forhold til alle polynomier af grad mindre end n . Overvej det skalære produkt på for . $p_n(x)$ $p_n(x)$ $x^{k}$ $k<n$

\begin{align} \int_\mathbb{R} x^k p_n(x)\,d\mu & {} = \int_\mathbb{R} x^k \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{ n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \ \ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{matrix} \right] \,d\mu \\ \\ & {} = \int_\mathbb{R} \det\left[ \begin {matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \ cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{ 2n-1} \\ x^k & x^{k+1} & x^{k+2} & \cdots & x^{k+n} \end{matrix} \right] \,d\mu \ \ \\ & {} = \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+ 1 } \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \ mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ \displaystyle \int_\mathbb{R} x^k \, d\mu & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+1} \, d\mu & \displaystyle \int_\mathbb{R } x^{k+2} \, d\mu & \cdots & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+n} \, d\mu \end{matrix} \right] \\ \\ & {} = \det \left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \ \ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{ n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ \mu_k & \mu_{k+1} & \mu_{k+2} & \cdots & \mu_{k+n} \end{matrix } \right] \\ \\ & {} = 0. \end{align}

Fordi matricen har to matchende rækker for . $k<n$

Ved tilbagevendende formler

Hvis vi vælger normaliseringen af polynomiet på en sådan måde, at koefficienten for hovedleddet er lig med én, kan gentagelsesrelationen omskrives i følgende form: $p_n(x)$ $k_n$

{p_{n+1}(x)\ =\ (x-\alpha_n)\ p_n(x)\ -\ \gamma_n\ p_{n-1}(x)},

hvor

\alpha_n = \frac{\langle x p_n, p_n\rangle}{\langle p_n, p_n\rangle}, \qquad \gamma_n = \frac{\langle x p_n, p_{n-1}\rangle}{\langle p_{n-1}, p_{n-1}\rangle}

Anvendelser af ortogonale polynomier

Ortogonale polynomier bruges til at konstruere nøjagtige kvadraturformler

$\int\limits_{\Omega} f(x) w(x) dx \approx \sum\limits_{i=1}^{n} w_i f(x_i),$

hvor og er knudepunkter og vægte af kvadraturformlen. Kvadraturformlen er nøjagtig for alle polynomier til og med graden . I dette tilfælde er knuderne rødderne af det n'te polynomium fra sekvensen af polynomier ortogonalt med vægtfunktionen . Vægtene er beregnet ud fra Christoffel-Darboux formlen. $x_{i}$ $w_{i}$ $f(x)$ $2n-1$ $x_{i}$ $p_0(x),p_1(x), ...$ $w(x)$ $w_{i}$

Også Chebyshev polynomier af den første og anden type bruges ofte til at tilnærme funktioner. $T_{n}(x)$ $U_{n}(x)$

Noter

For yderligere læsning

Ismail, Mourad EH Klassiske og kvante ortogonale polynomier i én variabel . - Cambridge: Cambridge University Press , 2005. - ISBN 0-521-78201-5 .
Vilmos Totik Ortogonale polynomier (ubestemt) // Surveys in Approximation Theory. - 2005. - T. 1 . - S. 70-125 .
Bateman G., Erdeyi A. . Bessel-funktioner, parabolske cylinderfunktioner, ortogonale polynomier // Højere transcendentale funktioner. T. 2. / Pr. fra engelsk. N. Ya. Vilenkina. — M .: Nauka , 1966. — 296 s.

Ortogonale polynomier
Bessel polynomier Gegenbauer polynomier Kravchuk polynomier Laguerre polynomier Legendre polynomier Polachek polynomier Rogers polynomier Zernike polynomier Chebyshev polynomier Charlier polynomier Hermite polynomier Jacobi polynomier

Ortogonale polynomier

Definition

Ortogonalitet med vægt

Klassisk formulering

Generelle egenskaber for sekvenser af ortogonale polynomier

Tilbagevendende relationer

Christoffel - Darboux formel

Rødder af polynomier

Minimalitet af normen

Systemets fuldstændighed

Differentialligninger, der fører til ortogonale polynomier

Afledte af ortogonale polynomier

Klassiske ortogonale polynomier

Jacobi polynomier

Gegenbauer polynomier

Legendre polynomier

Chebyshev polynomier

Laguerre polynomier

Hermite polynomier

Konstruktion af ortogonale polynomier

Gram-Schmidt ortogonaliseringsproces

Ved momenter af vægtfunktionen

Ved tilbagevendende formler

Anvendelser af ortogonale polynomier

Noter

Links

For yderligere læsning