Vægt funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. oktober 2021; verifikation kræver 1 redigering .

En vægtfunktion er en matematisk konstruktion, der bruges ved summering, integration eller gennemsnit for at give visse elementer mere vægt i den resulterende værdi end andre elementer. Problemet opstår ofte i statistikker og beregninger , tæt forbundet med måleteori . Vægtfunktioner kan bruges til både diskrete og kontinuerlige værdier.

Diskrete vægtfunktioner

Generelle definitioner

En diskret vægtfunktion er en positiv funktion defineret på et diskret sæt værdier , som normalt er endeligt eller tælleligt . Vægtfunktionen svarer til den uvægtede situation, når alle elementer i sættet har samme vægt. Hvis en funktion er defineret på domænet af reelle tal , så er den uvægtede sum på defineret som ${\displaystyle w:A\to {\mathbb {R} }^{+))$ $EN$ $w(a):=1$ $f:A\to {\mathbb {R} }$ $f$ $EN$

\sum _{a\in A}f(a)

;

i modsætning til den vægtede sum , defineret som ${\displaystyle w:A\to {\mathbb {R} }^{+))$

\sum _{a\in A}f(a)w(a)

Nogle af de mest almindelige anvendelser af vægtede summer er numerisk integration og digital filtrering .

Hvis B er en endelig delmængde af mængden A , så er den klassiske kardinalitet af mængden |B| kan erstattes af vægtet effekt

\sum _{a\in B}w(a).

Hvis A er en endelig ikke- tom mængde , kan vi introducere en analog af det aritmetiske middelværdi

{\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)

i form af et vægtet aritmetisk gennemsnit

{\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a))).

I optimeringsproblemer med flere kriterier bruges vægtet summering også til at flytte fra et sæt af bestemte værdier af kvalitetskriterier til et enkelt integreret kriterium (for eksempel omkostninger). Nogle gange [1] , hvis værdiområderne for partielle kvalitetsindikatorer adskiller sig væsentligt (med flere størrelsesordener), før man finder den numeriske værdi af integralkriteriet, normaliseres de partielle kvalitetsindikatorer (ændringsområdet for hver af dem reduceres til intervallet ): , og integralkriteriet beregnes som , hvilket opnår den samme indflydelse fra bestemte kriterier på resultatet med sammenlignelige værdier af vægtkoefficienterne . $J$ $x_{i}$ $[\min {x_{i}},\max {x_{i}}]$ $[0, 1]$ $x_{i}'={\frac {x_{i}-\min {x_{i}}}{\max {x_{i}}-\min {x_{i}}}}$ $J=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}'w_{i}}$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$

Statistik

Det vægtede gennemsnit bruges ofte i statistik for at kompensere for bias ( eng. Bias ). For den sande værdi målt flere gange uafhængigt med varianser , opnås den bedste tilnærmelse ved at tage et gennemsnit af alle målinger med vægte : den resulterende varians er mindre end hver uafhængig måling . I den maksimale lighedsmetode vægtes forskellene med tilsvarende værdier . $f$ $f_{i}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2))$ ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2))))$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=1/\sum w_{i))$ $w_{i}$

Mekanik

Udtrykket vægtet funktion stammer fra mekanikken : hvis der er genstande med vægte (begrebet vægt har i dette tilfælde en fysisk betydning) placeret på punkter på håndtaget , vil håndtaget være i ligevægt, hvis omdrejningspunktet er placeret i massecentrum $n$ $w_{1},\ldots ,w_{n}$ ${\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$

{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{ jeg}}}

hvilket kan tolkes som et vægtet gennemsnit af koordinaterne . ${\boldsymbol {x}}_{i}$

Kontinuerlige vægtfunktioner

I tilfælde af kontinuerlige værdier er vægten et positivt mål i et eller andet domæne , som normalt er en delmængde af det euklidiske rum på intervallet . Her er Lebesgue-målet , og er en ikke-negativ funktion. I denne sammenhæng bruges vægtfunktionen ofte i begrebet tæthed . $w(x)dx$ $\Omega$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$ $[a,b]$ $dx$ ${\displaystyle w:\Omega \to \mathbb {R} ^{+))$ $w(x)$