Normal matrix

I matematik siges en kompleks kvadratisk matrix A at være normal if

hvor A ∗ er den konjugat-transponerede matrix af A . En matrix er således normal, hvis og kun hvis den pendler med sin konjugerede transponering.

En reel matrix A opfylder A ∗ = A T , og derfor er det normalt, hvis A T A = AA T .

Normalitet er en bekvem test for reducerbarhed til en diagonal form - en matrix er normal, hvis og kun hvis den er ensartet lig en diagonal matrix , og derfor kan enhver matrix A , der opfylder ligningen A ∗ A = AA ∗ reduceres til en diagonal form. (To matricer A og B siges at være ensartet, hvis der eksisterer en enhedsmatrix S , således at A = S -1 BS .)

Begrebet en normal matrix kan udvides til normale operatorer i uendelig -dimensionelle Hilbert-rum og normale elementer i C*-algebraer .

Særlige lejligheder

Blandt komplekse matricer er alle unitære , hermitiske og skæv-hermitiske matricer normale. Blandt rigtige matricer er alle ortogonale , symmetriske og skævsymmetriske matricer normale. Det er dog ikke sandt, at alle normale matricer enten er enheds- eller hermitiske eller skæve-hermitiske. For eksempel,

er hverken enheds-, eremitisk eller skæv-ermitisk, selvom det er normalt, da

Konsekvenser

Dømme. En normal trekantet matrix er diagonal .

Lad A være en normal øvre trekantet matrix. Da ( A ∗ A ) ii = ( AA ∗ ) ii , skal den første række have samme norm som den første kolonne:

De første elementer i den første række og den første kolonne er de samme, og resten af ​​den første kolonne består af nuller. Det følger heraf, at i strengen skal alle elementer fra 2 til n være nul. Hvis vi fortsætter denne begrundelse for række/søjle-par med tal fra 2 til n , får vi, at A er diagonal.

Normalitetsbegrebet er vigtigt, fordi normale matricer er præcis dem, som spektralsætningen handler om :

Dømme. En matrix A er normal, hvis og kun hvis der findes en diagonal matrix Λ og en enhedsmatrix U sådan, at A = U Λ U ∗ .  

De diagonale elementer i matricen Λ er egenværdier , og søjlerne i U er egenvektorer for matricen A . (egenværdierne i Λ er i samme rækkefølge som deres tilsvarende egenvektorer i U ).

En anden måde at angive spektralsætningen på er at sige, at normale matricer er præcis de matricer, der kan repræsenteres som en diagonal matrix ved at vælge en passende ortonormal basis for rummet C n . Det kan også argumenteres for, at en matrix er normal, hvis og kun hvis dens egenrum falder sammen med C n og egenvektorerne er ortogonale i forhold til standard indre produkt i C n .

Spektralsætningen for normale matricer er et specialtilfælde af den mere generelle Schur-nedbrydning , som gælder for alle kvadratiske matricer. Lad A være en kvadratisk matrix. Så, ifølge Schur-nedbrydningen, ligner den ensartet en øvre trekantet matrix, f.eks . B. Hvis A er normal, så er B også normal. Men så skal B være diagonal af ovennævnte grund.

Spektralsætningen giver mulighed for at klassificere normale matricer i form af spektret, for eksempel:

Dømme. En normal matrix er ensartet, hvis og kun hvis dens spektrum ligger på enhedscirklen i det komplekse plan. Dømme. En normal matrix er selvadjoint, hvis og kun hvis dens spektrum er indeholdt i R .

Generelt er summen eller produktet af to normale matricer ikke nødvendigvis en normal matrix. Dog gøres følgende:

Dømme. Hvis A og B er normale, og AB = BA holder , så er både AB og A + B også normale. Desuden er der en enhedsmatrix U sådan, at UAU ∗ og UBU ∗ er diagonale. Med andre ord kan A og B i fællesskab reduceres til diagonalformen .  

I dette særlige tilfælde er søjlerne i matrixen U ∗ egenvektorer for både A og B og danner en ortonormal basis i C n . Påstanden følger af sætningerne, at pendlingsmatricer over et algebraisk lukket felt i fællesskab kan reduceres til trekantet form og at en normal matrix kan reduceres til en diagonal, i sidstnævnte tilfælde med den tilføjelse, at dette kan gøres samtidigt .  

Tilsvarende definitioner

Man kan give en ret lang liste af ækvivalente definitioner af en normal matrix. Lad A være en n × n kompleks matrix. Følgende udsagn er ækvivalente:

  1. A er normalt.
  2. A kan reduceres til diagonalformen ved hjælp af en enhedsmatrix.
  3. Alle punkter i rummet kan opnås som lineære kombinationer af et sæt ortonormale egenvektorer af matricen A .
  4. || Økse || = || A ∗ x || for enhver x .
  5. Frobenius-normen for en matrix A kan beregnes ud fra egenværdierne af matrix A :
  6. Den hermitiske del og den skæve-ermitiske del af matrixen A pendler.
  7. A ∗ er et polynomium (af grad ≤ n − 1 ) i A [1] .
  8. A ∗ = AU for en eller anden enhedsmatrix U [2] .
  9. U og P pendler, hvor U og P repræsenterer en polær dekomponering af A = UP til en enhedsmatrix U og en positiv-definit matrix P .
  10. A pendler med en normal matrix N , der har forskellige egenværdier.
  11. i = | λ i | for alle 1 ≤ i ≤ n , hvor A har singulære egenværdier σ 1 ≥ ... ≥ σ n og egenvektorer | λ 1 | ≥ ... ≥ | λ n |. [3]
  12. Operatornormen for en normal matrix A er lig med den numeriske og den spektrale radius matrixen A . Det betyder:

Nogle, men ikke alle, af definitionerne anført ovenfor kan generaliseres til normale operatorer på uendelig-dimensionelle Hilbert-rum. For eksempel er en afgrænset operator, der opfylder (9), kun kvasinormal .

Analogier

Det er nogle gange nyttigt (og nogle gange vildledende) at betragte relationerne mellem forskellige slags normale matricer som en analogi til forskellige slags komplekse tal:

Man kan indlejre komplekse tal i normale 2 × 2 reelle matricer ved at kortlægge

og denne indlejring bevarer addition og multiplikation. Det er let at kontrollere, at i dette tilfælde er alle ovenstående analogier bevaret.

Noter

  1. ↑ Bevis: Hvis A er normal, skal du bruge Lagrange-interpolationsformlen til at konstruere et polynomium P således, at λ j = P ( λ j ) , hvor λ j er egenværdierne af matricen A .
  2. ↑ Horn, s. 109
  3. ↑ Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Emner i matrixanalyse . - Cambridge University Press, 1991. - S.  157 . — ISBN 978-0-521-30587-7 .

Links