Nilvariety

En nilmanifold er en glat manifold med en transitiv nilpotent gruppe af diffeomorfismer , der virker på denne manifold. En nilmanifold er et eksempel på et homogent rum og er diffeomorf til et kvotientrum , kvotientgruppen af en nilpotent Lie -gruppe N af en lukket undergruppe H. Udtrykket blev introduceret af Anatoly I. Maltsev i 1951. $N/H$

I den Riemannske kategori er der også en udtømmende definition af en nul-manifold. En Riemannmanifold kaldes en homogen nilmanifold, hvis der eksisterer en nilpotent gruppe af isometrier, der virker transitivt på den. Kravet om, at en transitiv nilpotent gruppe virker ved isometrier, fører til følgende karakterisering: enhver homogen nilvarietet er isometrisk til en nilpotent Lie-gruppe med en venstre-invariant metrik (se Wilsons artikel [1] ).

Nilmanifolds er vigtige geometriske objekter og optræder ofte i konkrete eksempler med specifikke egenskaber. I Riemannsk geometri har disse rum altid blandet krumning [2] , næsten flade manifolds opstår som kvotientrum af nilmanifolds [3] , og kompakte nilmanifolds er blevet brugt til at konstruere elementære eksempler på sammenbruddet af Riemann-metrikker i Ricci-strømme [4] .

Ud over deres vigtige rolle i nilmanifoldets geometri, er der en stigende interesse for dem som havende en rolle i aritmetisk kombinatorik (se artiklen af Green og Tao [5] ) og ergodisk teori (se f.eks. artiklen af Host og Cra [6] ).

Kompakte nilmanifolds

En kompakt nilmanifold er en nilmanifold, der er kompakt. En måde at konstruere sådanne rum på er at overveje en simpelt forbundet nilpotent Lie-gruppe N og en diskret undergruppe . Hvis en undergruppe virker kokompakt (via højre multiplikation) på N , så er kvotientvarianten en kompakt nilvarietet. Som Maltsev viste, kan enhver kompakt nilmanifold opnås på denne måde [7] . $\gamma$ $\gamma$ $N/\Gamma$

En undergruppe som ovenfor kaldes et gitter i N . En nilpotent Lie-gruppe tillader kun et gitter, hvis dens Lie-algebra tillader en basis med rationelle strukturkonstanter - dette er Maltsev-kriteriet. Ikke alle nilpotente Lie-grupper indrømmer gitter. For detaljer, se artiklen af M. S. Raunathan [8] . $\gamma$

En kompakt Riemann-nilmanifold er en kompakt Riemann-manifold, der er lokalt isometrisk til en nilpotent Lie-gruppe med en venstre-invariant metrik. Disse rum er konstrueret på følgende måde. Lade være et gitter i en simpelt forbundet nilpotent Lie gruppe N som ovenfor. Vi udstyrer N med en venstre-invariant (Riemannsk) metrisk. Derefter virker undergruppen ved hjælp af isometrier på N via venstre multiplikation. Så er kvotientrummet et kompakt rum lokalt isometrisk med N . Bemærk, at dette rum er naturligt diffeomorf . $\gamma$ $\Gamma$ $\Gamma \backslash N$ $N/\Gamma$

Kompakte nilmanifolds opstår også som et hovedbundt . Overvej for eksempel en 2-trins nilpotent Lie-gruppe N , der tillader et gitter (se ovenfor). Lad være kommutatoren af undergruppen N . Betegn med p dimensionen af kommutatoren Z og med q kodimensionen af Z , dvs. dimensionen af N er lig med p+q. Det er kendt (se Raghunathans artikel), at der er et gitter i Z . Derfor er en p -dimensionel kompakt torus. Da Z er central i N , virker gruppe G på et kompakt nulmanifold med et kvotientrum . Denne basismanifold M er en q -dimensionel kompakt torus. Det er blevet vist, at ethvert hovedark af tori over en torus har denne form, se papiret af Police og Stewart [9] . Mere generelt er en kompakt nilmanifold en bunke af tori over en bunke af tori over en bunke af tori ... over en torus. $Z=[N,N]$ $Z\cap \Gamma$ $G=Z/(Z\cap \Gamma )$ $P=N/\Gamma$ $M=P/G$

Som nævnt ovenfor er næsten flade sorter i det væsentlige kompakte nul-manifolder. Se den relaterede artikel for mere information.

Komplekse nilmanifolds

Historisk set betyder en kompleks nilmanifold kvotienten af en kompleks nilpotent Lie-gruppe ved et cocompact gitter . Et eksempel på en sådan nul- sort er Iwasawa-sorten . Siden 1980'erne har en anden (mere generel) forestilling om en kompleks nilmanifold gradvist fortrængt denne forestilling.

En næsten kompleks struktur på den virkelige Lie-algebra g er en endomorfi , hvis kvadrat er −Id g . Denne operator kaldes en kompleks struktur, hvis dens egenrum svarende til egenværdierne er subalgebraer i . I dette tilfælde definerer I en venstre-invariant kompleks struktur på den tilsvarende Lie-gruppe. En sådan sort ( G , I ) kaldes en kompleks gruppesort . Således opnås ethvert forbundet komplekst homogent manifold udstyret med en fri transitiv holomorf virkning på en rigtig Lie-gruppe på denne måde. $I\colon \;g\rightarrow g$ $\pm {\sqrt {-1}}$ $g\otimes {\mathbb {C} }$

Lad G være en rigtig nilpotent Lie-gruppe. En kompleks nilmanifold er en mangfoldig faktor af en kompleks gruppe ( G , I ) udstyret med en venstre-invariant kompleks struktur af et højrevirkende diskret cocompact gitter.

Komplekse nilmanifolds er normalt ikke homogene som komplekse manifolds.

I kompleks dimension 2 er de eneste komplekse nilmanifolds den komplekse torus og Kodaira-overfladen [10] .

Egenskaber

Kompakte nilmanifolds (med undtagelse af torus) er aldrig formelle [11] [12] . Dette indebærer umiddelbart, at kompakte nilmanifolds (med undtagelse af torus) ikke tillader en Kähler-struktur (se også artiklen af Benson og Gordon [13] ).

Topologisk kan alle nilmanifolds opnås som itererede skiver af tori over en torus. Dette er let at se fra den faldende midterrække [14] .

Eksempler

Nilpotent Lie grupper

Det fremgår klart af definitionen ovenfor for en homogen nilvarietet, at enhver nilpotent Lie-gruppe med en venstre-invariant metrisk er en homogen nilvariety. De bedst kendte nilpotente Lie-grupper er matrixgrupperne, hvis diagonale elementer er lig med 1, og alle subdiagonale elementer er nul.

For eksempel er Heisenberg-gruppen en 2-trins nilpotent Lie-gruppe. Denne nilpotente Lie-gruppe er også speciel, fordi den tillader en kompakt kvotient. Gruppen kan være øvre trekantede matricer med heltalselementer. Den resulterende nilmanifold er tredimensionel. Et muligt fundamentalt domæne er (isomorfisk til) [0,1] 3 med ansigter korrekt identificeret. Dette skyldes, at et element af en nilvariety kan repræsenteres af et element i det fundamentale domæne. Her betyder "gulv"-funktionen af x , og betyder brøkdelen af . Fremkomsten af "gulv"-funktionen her er et hint om forbindelsen af nilmanifolds med additiv kombinatorik - de såkaldte parentespolynomier eller generaliserede polynomier er vigtige i højordens Fourier-analyse [5] . $\Gamma$ ${\begin{pmatrix}1&x&z\\&1&y\\&&1\end{pmatrix}}\Gamma$ ${\begin{pmatrix}1&\{x\}&\{zx\lfloor y\rfloor \}\\&1&\{y\}\\&&1\end{pmatrix}}$ $\lgulv x\rgulv$ ${\displaystyle \{x\))$

Abelian Lie grupper

Det enkleste eksempel er enhver Abelian Lie-gruppe. Dette skyldes, at enhver sådan gruppe er en nilpotent Lie-gruppe. For eksempel kan vi tage gruppen af reelle tal ved addition og den diskrete co-kompakte undergruppe af heltal. Den resulterende 1-trins nilmanifold er en velkendt ring . Et andet velkendt eksempel er et kompakt 2-torus eller euklidisk rum ved addition. $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$

Generaliseringer

infranil manifold
Solvmanifold . En parallel konstruktion baseret på en opløselig Lie-gruppe giver en klasse af rum kaldet solvmanifolds (eller solvable manifolds). Et vigtigt eksempel på opløselige manifolder er Inoue-overfladerne kendt i kompleks geometri .

Noter

↑ Wilson, 1982 .
↑ Milnor, 1976 , s. 293-329.
↑ Gromov, 1978 , s. 231-241.
↑ Chow, Knopf, 2004 , s. xii+325.
↑ 1 2 Green, Tao, 2010 , s. 1753-1850
↑ Vært, Kra, 2005 , s. 397-488.
↑ Maltsev, 1949 , s. 9-32.
↑ Raghunathan, 1972 .
↑ Palais, Stewart, 1961 , s. 26-29.
↑ Hasegawa, 2005 , s. 749-767.
↑ En minimal differentialgraderet algebra A over K er formel, hvis der eksisterer en morfisme af differentialgraderede algebraer fra A til , sådan at den genererer en identitet på kohomologien med antiderivativ d = 0 på (Hasegawa, s. 68). $\psi$ $H^{\ast}(A\;K)$ $\psi$ $H^{\ast}(A\;K)$
↑ Hasegawa, 1989 , s. 65-71.
↑ Benson og Gordon 1988 , s. 513-518.
↑ Rollenske, 2009 , s. 425-460.

Litteratur

Edward N. Wilson. Isometrigrupper på homogene nilmanifolds // Geometriae Dedicata . - 1982. - T. 12 , no. 3 . - doi : 10.1007/BF00147318 .
John Milnor. Krumninger af venstre invariante metrikker på Lie-grupper // Fremskridt i matematik . - 1976. - T. 21 , no. 3 . - doi : 10.1016/S0001-8708(76)80002-3 .
Mikhail Gromov. Næsten flade manifolds // Journal of Differential Geometry . - 1978. - T. 13 , no. 2 . - doi : 10.4310/jdg/1214434488 .
Bennett Chow, Dan Knopf. Ricci-strømmen: en introduktion. - Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. - V. 110. - (Mathematical Surveys and Monographs). — ISBN 0-8218-3515-7 .
Benjamin Green, Terence Tao. Lineære ligninger i primtal // Annals of Mathematics . - 2010. - T. 171 , no. 3 . - doi : 10.4007/annals.2010.171.1753 . - arXiv : math.NT/0606088 .
Bernard Host, Bryna Kra. Ikke-konventionelle ergodiske gennemsnit og nulmanifolds // Annals of Mathematics . - 2005. - T. 161 , no. 1 . doi : 10.4007 / annals.2005.161.397 .
A. I. Maltsev. På en klasse af homogene rum . - Izv. USSR's Videnskabsakademi. Ser. Mat.. - 1949. - T. 13.

Raghunathan MS Kapitel II // Diskrete undergrupper af Lie-grupper. - New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1972. - V. 68. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete). - ISBN 978-3-642-86428-5 .
Palais RS, Stewart TE Torus bundter over en torus // Proc. amer. Matematik. Soc.. - 1961. - T. 12 .
Keizo Hasegawa. Complex and Kähler structures on Compact Solvmanifolds // J. Symplectic Geom.. - 2005. - V. 3 , No. 4 .
Keizo Hasegawa. Minimal modeller af nilmanifolds // Proc. amer. Matematik. Soc .. - 1989. - T. 106 , nr. 1 .
Chal Benson, Carolyn S. Gordon. Kähler og symplektiske strukturer på nilmanifolds // Topologi . - 1988. - T. 27 , no. 4 . - doi : 10.1016/0040-9383(88)90029-8 .
Sonke Rollenske. Geometri af nilmanifold med venstre-invariant kompleks struktur og deformationer i den store . — Proc. London matematik. Soc.,, 2009. - T. 99.