Endelig forskelsmetode

Den endelige differensmetode er en numerisk metode til løsning af differentialligninger baseret på udskiftning af derivater med differensskemaer . Det er en gittermetode.

Finite difference-metode til løsning af elliptiske problemer

For at løse det elliptiske problem ved hjælp af den endelige differensmetode bygges et gitter på beregningsdomænet, derefter vælges et differensskema, og der skrives en differensligning for hver gitterknude (analogt med den oprindelige ligning, men ved hjælp af et differensskema). så tages grænsebetingelserne i betragtning (for randbetingelser af anden og tredje art konstrueres også et vist differensskema). Det viser sig et system af lineære algebraiske ligninger , der løser hvilke i svaret de får omtrentlige værdier af løsningen ved noderne.
Metodens hovedproblem er konstruktionen af et korrekt differensskema, der vil konvergere til løsningen. Ordningen er konstrueret ud fra egenskaberne for den oprindelige differentialoperatør.

Sammenligning med finite element-metoden

En anden metode til at løse elliptiske problemer er finite element-metoden , som har både fordele og ulemper i forhold til finite difference-metoden.

Fordele ved MKR	Fordele ved FEM
For simple problemer er konstruktionen af en forskelsordning hurtigere	Metoden er projektion, det vil sige stabil Giver dig mulighed for at arbejde med geometrisk mere komplekse områder Løsningen er umiddelbart en funktion, og værdierne på ethvert tidspunkt kan beregnes med det samme (i MCS skal du først bygge en spline)

Eksempel

Lad et endimensionelt elliptisk problem gives:

$-{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=f(x),~x\in [0,1]$
$u(0)=u(1)=0$

Lad os bygge et gitter med et konstant trin . Til tilnærmelse vil vi vælge en trepunktsskabelon, det vil sige, for at tilnærme den afledte på et punkt , vil vi bruge point . Så vil differensligningen se sådan ud: $h={\frac {1}{4))$ $x_i$ $\venstre\{x_{{i-1}},x_{i},x_{{i+1}}\right\}$

${\frac {-u_{{i-1}}+2u_{i}-u_{{i+1}}}{h^{2}}}=f_{i},~i=1,2,3$

Givet grænsebetingelserne vil systemet af lineære ligninger af formen , for at finde en løsning, se sådan ud: $Au=b$

$A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\-16&32&-16&0&0\\0&-16&32&-16&0\\0&0&-16&32&-16\\0&0&0&0&1\\\\end{pmatrix{}}~~b=b {pmatrix}0\\f({\frac {1}{4)))\\f({\frac {1}{2)))\\f({\frac {3}{4)))\ \0\\\end{pmatrix}}$ .

Finite difference-metode til løsning af ikke-stationære problemer

At løse problemer ved hjælp af finite difference-metoden, når processen ændrer sig i tid, er en iterativ proces - ved hver iteration finder vi en løsning på et nyt tidslag. For at løse sådanne problemer bruges eksplicitte, implicitte skemaer og en prædiktor-korrektor (et par specielt udvalgte eksplicitte og implicitte skemaer). Eksplicitte skemaer og prædiktor-korrektor skemaer genberegner simpelthen værdien ved hjælp af information fra tidligere tidslag, brugen af et implicit skema fører til løsningen af en ligning (eller ligningssystem).
Til parabolske og hyperbolske ligninger bruges ofte blandingsmetoder - tidsafledte tilnærmes ved hjælp af et differensskema, og rumoperatoren tilnærmes ved hjælp af en endelig elementformulering [1] .

Et eksempel på løsning af en almindelig differentialligning

Lad en ligning gives med startbetingelsen . For at løse bruger vi følgende forskelsskemaer: ${\frac {du}{dt}}=u$ $u(0)=1$

Eksplicit Euler-skema . Differenceligning :. ${\Bigl .}{\frac {du}{dt}}{\Bigr |}_{{t=t_{i}}}={\frac {u_{{i}}-u_{{i-1} }}{h}}$ $u_{{i+1}}={\frac {1}{1-t}}u_{{i}}$
Implicit Euler-skema . Differenceligning :. ${\Bigl .}{\frac {du}{dt}}{\Bigr |}_{{t=t_{i}}}={\frac {u_{{i+1}}-u_{{i} }}{h}}$ $u_{{i+1}}=(1+h)u_{i}$

Med trin . Den nøjagtige løsning er eksponenten : $h=0,25$ $u=e^{t}$

Resultatet af beregningen for de første par trin
t værdi	Præcis løsning	Eksplicit Euler-skema	Implicit Euler-skema
$0,25$	$1,28...$	$1,25$	$1,33...$
$0,50$	$1,64...$	$1,56...$	$1,77...$
$0,75$	$2.11...$	$1,95...$	$2,36...$

Når trinnet falder, øges nøjagtigheden af metoden. Da den oprindelige ligning er en lineær differentialligning , blev der for det implicitte skema også opnået en lineær ligning, hvorfra det er muligt at udtrykke (hvilket blev gjort) løsningen.

Et eksempel på løsning af en parabolligning

Dette eksempel viser, hvordan endelige elementformuleringer og forskelsskemaer kombineres. Lad parabolligningen være givet:

$-\Delta u+{\frac {\partial u}{\partial t))=f({\mathbf {r)),t),~i~\Omega$
$u=g~on~\partial \Omega ,~{\Bigl .}u{\Bigr |}_{{t=0))=\chi ({\mathbf {r)))$

Til tilnærmelse i tid, ved hjælp af det implicitte Euler-skema, får vi:

$-\Delta u^{{i+1}}+{\frac {u^{{i+1}}-u^{{i}}}{\tau }}=f({\mathbf {r}} ,t^{{i+1}})$

Da værdien på det foregående lag allerede er kendt, opnås der, når den overføres til højre side, en elliptisk ligning med hensyn til : $u^{{i+1}}$

$-\Delta u^{{i+1}}+{\frac {1}{\tau }}u^{{i+1}}=f^{{i+1}}+{\frac {1} {\tau }}u^{{i}}$

For at løse denne ligning kan du anvende Galerkin-metoden , så vil den resulterende SLAE have følgende form:

$\left(G+{\frac {1}{\tau }}M\right)x^{{i+1}}=b^{{i+1}}+{\frac {1}{\tau }} Mx^{{i}}$ .

Her: er stivhedsmatricen, er massematricen, er vektoren forbundet med højre side af den oprindelige ligning, er vektoren af vægte af basisfunktionerne på laget nummereret . $G$ $M$ $b$ $x^i$ $jeg$

Den rumlige løsning kan dog også søges ved hjælp af et forskelsskema, der ligner eksemplet vist ovenfor.

Se også

Litteratur

Samarsky A.A. , Nikolaev E.S. Metoder til løsning af gitterligninger. - Moskva: Nauka , 1978. - 592 s.
Stetter H. Analyse af diskretiseringsmetoder for almindelige differentialligninger. - Moskva: Mir , 1978. - 461 s.

Noter

↑ Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Finite element-metode til skalar- og vektorproblemer. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 s. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Endelig forskelsmetode
Generelle artikler	Endelig forskelsmetode forskelsordning forskelsligning
Typer af forskelsordninger	Euler metode Runge-Kutta metode Adams metode Werlet integration Tidsdomæne endelig forskelsmetode

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder