Adams metode

Adams-metoden er en finit-difference-multitrinsmetode til numerisk integration af førsteordens almindelige differentialligninger . I modsætning til Runge-Kutta-metoden , for at beregne den næste værdi af den ønskede løsning, bruger den ikke én, men flere værdier, der allerede er blevet beregnet på tidligere punkter.

Opkaldt efter den engelske astronom John C. Adams , som foreslog det i 1855 .

Definition

Lad systemet af differentialligninger af første orden være givet

{\displaystyle y'=f(x,y),y(x_{0})=y_{0))

for hvilket det er nødvendigt at finde en løsning på et gitter med et konstant trin . Beregningsformlerne for Adams-metoden til løsning af dette system er som følger: [1] $x_{n}-x_{0}=(n-1)h$

a) ekstrapolation - Adams -Bashforth metode

y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{\lambda =0}^{k}{u_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda } )}

b) interpolation eller implicit - Adams -Multon metode

y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{\lambda =-1}^{k-1}{v_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n- \lambda})}

hvor er nogle beregnede konstanter. $u_{-\lambda },v_{-\lambda }$

For den samme formel er b) mere nøjagtig [2] , men kræver løsning af et ikke-lineært ligningssystem for at finde værdien af . I praksis findes en tilnærmelse ud fra a), og derefter gives en eller flere justeringer efter formlen $k$ $y_{n+1}$

y_{n+1}^{(i+1)}=y_{n}+h\sum _{\lambda =0}^{k-1}{v_{-\lambda }f(x_{n-\ lambda },y_{n-\lambda })}+hv_{1}f(x_{n+1},y_{n+1}^{(i)})

Egenskaber

th-ordens Adams metoder kræver forudberegning af løsningen ved de indledende punkter. Til at beregne startværdierne anvendes normalt et-trins metoder, for eksempel 4-trins Runge-Kutta-metoden af 4. nøjagtighedsorden. $k$ $k$

Den lokale fejl i Adams-metoderne af th orden er . Fejlstrukturen i Adams-metoden er sådan, at fejlen forbliver begrænset eller vokser meget langsomt i tilfælde af asymptotisk stabile løsninger af ligningen. Dette gør det muligt at bruge denne metode til at finde stabile periodiske løsninger, især til at beregne bevægelsen af himmellegemer. $k$ $O(h^{k})$

Adams-Bashforth metoder

Eksplicitte Adams-Bashforth-metoder [3]

y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})

, ( Euler metode )

{\begin{aligned}y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {3}{2}}f(t_{n+1},y_{n+1} )-{\frac {1}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\venstre({ \frac {23}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {4}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1 })+{\frac {5}{12}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\venstre( {\frac {55}{24}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {59}{24}}f(t_{n+2},y_{n+ 2 })+{\frac {37}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {3}{8}}f(t_{n},y_{n })\right),\\y_{n+5}&=y_{n+4}+h\left({\frac {1901}{720}}f(t_{n+4},y_{n + 4})-{\frac {1387}{360}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {109}{30}}f(t_{n+2}, y_{n+2})-{\frac {637}{360}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {251}{720}}f(t_{n },y_{n})\right).\end{aligned}}

Adams-Multon metoder

Implicitte Adams-Multon-metoder [3]

y_{n}=y_{n-1}+hf(t_{n},y_{n})

, (implicit Euler-metode)

{\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{n+1},y_{n+1})+ f(t_{n},y_{n})\højre),\\y_{n+2}&=y_{n+1}+h\venstre({\frac {5}{12}}f(t_ {n+2},y_{n+2})+{\frac {2}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{12} }f(t_{n},y_{n})\højre),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\venstre({\frac {3}{8}}f( t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {19}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {5}{24 }}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {1}{24}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n +4}&=y_{n+3}+h\left({\frac {251}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})+{\frac {646}{ 720}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {264}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {106}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {19}{720}}f(t_{n},y_{n})\right). \end{aligned}}

Noter

↑ Matematisk encyklopædisk ordbog . - M . : "Ugler. encyklopædi" , 1988. - S. 43 .
↑ Interpolation er mere nøjagtig end ekstrapolation.
↑ 12 Hairer , Ernst; Nørsett, Syvert Paul & Wanner, Gerhard (1993), Løsning af almindelige differentialligninger I: Ikke-stive problemer (2. udg.), Berlin: Springer Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0 .

Bibliografi

Berezin I.S., Zhidkov N.P. Computational methods, bind 2, M., 1959.
Bakhvalov N. S. , Numeriske metoder, 2. udg. M. 1975.

Endelig forskelsmetode
Generelle artikler	Endelig forskelsmetode forskelsordning forskelsligning
Typer af forskelsordninger	Euler metode Runge-Kutta metode Adams metode Werlet integration Tidsdomæne endelig forskelsmetode